2011年北京朝阳区高三一模 - 数学 - 文

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学测试题（文史类） 2011.4

（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若集合M??xx?2?0?，N??x(x?3)(x?1)?0?，则M?N=

(A) ?x2?x?3? （B）?xx?1? （C）?xx?3? （D）?x1?x?2? 2. 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从这两个班随 机选出16人参加军训表演，则一班和二班分别选出的人数是 （A）8人，8人 （B）15人，1人 （C）9人，7人 （D）12人，4人 3．函数y?cosx?1在下列哪个区间上为增函数 （A）[0, π2] （B）[π2, π] （C）?0, π? （D）?π, 2π?

24. 已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1?3，a2a4?144，则S5的值是

（A）

692 （B） 69 （C）93 （D）189

5．已知a，b是两条不重合的直线，?，?是两个不重合的平面,下列命题中正确的是 （A） a//b，b//?，则a//? （B） a，b??，a//?，b//?，则?//? （C） a??，b//?，则a?b （D） 当a??，且b??时，若b∥?，则a∥b 6. 已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，

俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于

3 （A）

2323 （B）3323

正视图

1 侧视图 （C）

2 （D）3 俯视图

7．已知函数y?f(x)是奇函数， 当x?0时，f(x)=lgx，则f(f(

（A）

1lg21100))的值等于

（B）?1lg2 （C）lg2 （D）?lg2

128．已知x?R，用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}?x?[x]，若a?(0, 1)，则{a}与{a?（A）不确定（与a的值有关） （B）{a}<{a? （C）{a}={a?12} （D）{a}>{a?1212} }

}的大小关系是

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知i为虚数单位，则

3?i1?i22= .

10．过原点且倾斜角为60?的直线被圆x?y?4x?0所截得的弦长为 .

????????11. 已知两点A(?3, ?2)，B(3,6)，点C满足AC?CB，则点C的坐标是 ，

????????AB?AC= .

12．抛物线y?4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|?4，则点M的横坐标x= . 13．执行右图所示的程序框图，若输入x?5.2，

则输出y的值为 ．

否 y≤1? y?|x?2| 2开始 输入x x?y 是 输出y 结束 14．对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,?,in) (n是不小于2的正整数)，对于任意p,q?{1,2,3,?,n}，当

p?q时有ip?iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆

序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c?2a，C?（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求cos(2A?

?3)的值.

?4.

16．（本小题满分13分）已知集合A={-2，0，2}，B={-1，1}. （Ⅰ）若M={(x,y)|x?A,y?B}，用列举法表示集合M；

?x?y?2≥0,D：??x?y?2≤0,?y≥?1?（Ⅱ）在（Ⅰ）中的集合M内，随机取出一个元素(x,y)，求以(x,y)为坐标的点位于区域内

的概率.

17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，?ABC?90?，侧面PAD?底面ABCD，?PAD?90?. 若AB?BC?（Ⅰ）求证：CD?平面PAC；

（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，求证：BE?平面PCD.

f(x)?2x?alnx12AD. P E A D C B 18．（本小题满分13分）已知函数

，a?R.

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点P(1,f(1))处的切线垂直于直线y?x?2，求a的值； （Ⅱ）求函数f(x)在区间(0, e]上的最小值.

19．（本小题满分14分）已知A(?2, 0)，B(2, 0)为椭圆C的左右顶点，F(1, 0)为其右焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；

（Ⅱ）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P（不同于A，B），与椭圆在点B处的切线交于点D．当直线l绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分14分）

?有n(n≥3, n?N)个首项为1，项数为n的等差数列，设其第m(m≤n, m?N)?个等差数列的第k项为

amk(k?1,2,3,?,n)，且公差为dm. 若d1?1，d2?3， a1n,a2n,a3n,?,ann也成等差数列．

（Ⅰ）求dm（3≤m≤n）关于m的表达式；

（Ⅱ）将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5，d6，d7，d8，d9）?，

4（每组数的个数组成等差数列），设前m组中所有数之和为(cm)(cm?0)，求数列{2cmdm}的前n项和Sn；

（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n?N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式

150(Sn?6)?dn成立的所有N的值．

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学测试题答案（文史类）

2011.4

一、选择题 题号 答案 二、填空题 题号 答案 （9） 1?2i （1） (2) （3） （4） （5） （6） （7） （8） A C B C C B D A （10） 2 （11） (0, 2) 50 （12） 3 （13） 0.8 （14） 4 三、解答题（共80分） 15.（满分13分）

解：（Ⅰ）因为c?2a，C?asinA24?4，

24由正弦定理

?csinC得：sinA?. ?????????5分

（Ⅱ）因为sinA?，c?2a可知a?c，A??4.

则cosA?1?sin2A?14474.

sin2A?2sinAcosA?,cos2A?2cosA?1?234.

则cos(2A??3)=cos2Acosπ3?sin2Asinπ3=

3?821. ??????13分

16. （满分13分）

解：（Ⅰ）M ={(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)}. ?????6分 （Ⅱ）记“以(x，y)为坐标的点位于区域D内”为事件A.

集合M中共有6个元素，即基本事件总数为6，区域D含有集合M中的元素4个， 所以P(A)?46?23.

23故以(x，y)为坐标的点位于区域D内的概率为

17. （满分13分）

解：（Ⅰ）因为 ?PAD?90?， 所以PA?AD.

又因为侧面PAD?底面ABCD，

. ???????????13分 P E A D C B

且侧面PAD?底面ABCD?AD， 所以PA?底面ABCD. 而CD?底面ABCD， 所以PA?CD. 在底面ABCD中，

因为?ABC??BAD?90?，AB?BC?2212AD，

所以 AC?CD?AD， 所以AC?CD.

又因为PA?AC?A， 所以CD?平面PAC. ???????????6分

（Ⅱ）设侧棱PD的中点为F，

连结BE，EF，FC，

则EF?AD，且EF?12AD.

P E A B C F D 由已知?ABC??BAD?90?， 所以BC?AD. 又BC?12AD，

所以BC?EF. 且BC?EF.

所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE?CF. 因为BE?平面PCD，CF?平面PCD，

所以BE?平面PCD. ?????????????????????13分

18. （满分13分）

解: （Ⅰ）直线y?x?2的斜率为1.

函数y?f(x)的导数为f?(x)??则f?(1)??（Ⅱ）f?(x)?2122x2?ax，

?a1??1，所以a?1. ????????????5分

ax?2x2，x?(0,??).

2x2①当a?0时，在区间(0, e]上f?(x)???0，此时f(x)在区间(0, e]上单调递减，

则f(x)在区间(0, e]上的最小值为f(e)?②当

2a2e.

?0，即a?0时，在区间(0, e]上f?(x)?0，此时f(x)在区间(0, e]上单调递减，

2e?a.

则f(x)在区间(0, e]上的最小值为f(e)?③当0?2a?e，即a?2e时，在区间(0,2a2a)上f?(x)?0，此时f(x)在区间(0,2a)上单调递减；在区间(2a2a,e]2a上f?(x)?0，此时f(x)在区间(④ 当

2a≥,e]上单调递增；则f(x)在区间(0, e]上的最小值为f()?a?aln.

e，即0?a≤2e(x)≤0，时，在区间(0, e]上f′此时f(x)在区间(0, e]上为单调递减，则f(x)在

区间(0, e]上的最小值为f(e)?综上所述，当a值为a?aln2a≤2e?a.

2e?a；当a?2e2e时，f(x)在区间(0, e]上的最小值为时，f(x)在区间(0, e]上的最小

. ????????????????13分

19. （满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为

xa22?yb22?1(a?b?0)，半焦距为c，

因为A(?2, 0)、B(2, 0)为椭圆C的左、右顶点，F(1, 0)为其右焦点， 所以a?2， c?1． 又因为a?b?c，所以b?故椭圆C的方程为

x2yDE222a?c22?13．

OP4?y23?1，离心率为．??5分

AFBx2（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切. 证明如下：

由题意可设直线l的方程为y?k(x?2)(k?0)， 则点D坐标为(2, 4k)，BD中点E的坐标为(2, 2k)．

?y?k(x?2),?22222由?x2得(3?4k)x?16kx?16k?12?0． y??1,?3?416k2设点P的坐标为(x0,y0)，则?2x0?22?1223?4k．

所以x0?6?8k3?4k，y0?k(x0?2)?12k3?4k2．

因为点F坐标为(1, 0)， 当k??12时，点P的坐标为(1, ?32)，点D的坐标为(2, ?2)，

22直线PF?x轴，此时以BD为直径的圆(x?2)?(y?1)?1与直线PF相切． 当k??12时，则直线PF的斜率kPF?4k1?4k2y0x0?1?4k1?4k2.

所以直线PF的方程为y?(x?1)．

8k点E到直线PF的距离d?1?4k2?2k?16k224k1?4k?122k?8k?1?4k1?4k|1?4k2223?2|k|． |(1?4k)2又因为|BD|?4|k| 所以d?12|BD|．

故以BD为直径的圆与直线PF相切．

综上得，当直线l绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．???14分

20. （满分14分）

解（Ⅰ）由题意知，amn?1?(n?1)dm．

a2n?a1n?[1?(n?1)d2]?[1?(n?1)d1]?(n?1)(d2?d1)，同理， a3n?a2n?(n?1)(d3?d2)，a4n?a3n?(n?1)(d4?d3)，?， ann?a(n?1)n?(n?1)(dn?dn?1)．

a1n,a2n,a3n,?,ann成等差数列，

所以a2n?a1n?a3n?a2n???ann?a(n?1)n， 故d2?d1?d3?d2???dn?dn?1.

即{dn}是公差是d2?d1?3?1?2的等差数列． 所以，dm?2m?1（3≤m≤n，m,n?N）． ?????????5分

**（Ⅱ）由（Ⅰ）知dm?2m?1 (m?N)．

数列{dm}分组如下：(1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，?． 按分组规律，第m组中有2m?1个奇数，

所以第1组到第m组共有1?3?5???(2m?1)?m个奇数． 注意到前k个奇数的和为1?3?5???(2k?1)?k，

4422424所以前m个奇数的和为(m)?m，即前m组中所有数之和为m，所以(cm)?m．

22 因为cm?0，所以cm?m，从而 2cmdm?(2m?1)?2(m?N)．

m*n?1n234所以 Sn?1?2?3?2?5?2?7?2???(2n?3)?2?(2n?1)?2.

2Sn?1?2?3?2?5?2???(2n?3)?2?(2n?1)?2234nn?1，

nn?1234故?Sn?2?2?2?2?2?2?2???2?2?(2n?1)?2

?2(2?2?2???2)?2?(2n?1)?223nn?1

?2?2(2?1)2?1n?2?(2n?1)?2n?1?(3?2n)2n?1?6，

n?1所以 Sn?(2n?3)2?6． ??????????????10分

n?1**（Ⅲ）由（Ⅱ）得dn?2n?1 (n?N)，Sn?(2n?3)2?6 (n?N).

故不等式

150(Sn?6)?dn 就是(2n?3)2n?1n?1?50(2n?1)．

n?1考虑函数f(n)?(2n?3)2?50(2n?1)?(2n?3)(2n?1?50)?100．

当n?1,2,3,4,5时，都有f(n)?0，即(2n?3)2而f(6)?9(128?50)?100?602?0，

?50(2n?1)．

注意到当n≥6时，f(n)单调递增，故有f(n)?0. 因此当n≥6时，(2n?3)2n?1?50(2n?1)成立，即

150(Sn?6)?dn成立．

所以满足条件的所有正整数N?5,6,7,?,20．?????????????14分

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