08级高数II(A)（B卷答案）

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 姓名: 学号: 系别: 年级专业: 东莞理工学院（本科）试卷（B 卷）

2008--2009 学年第二学期

《 高等数学(A)II 》试卷 （答案）

开课单位： 数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器、尺规 入场

题序 得分 评卷人 一 二 三 四 总 分 一、选择题（共27分 每小题3分）

1．设两平面的法向量分别是n1??a1,b1,c1?，n1??a2,b2,c2?，则这两平面垂直的充要条件是 （C ）

_____________ ________ （A）a1a2?b1b2?c1c2?1 （B）a1a2?b1c1?b2c2

（C）a1a2?b1b2?c1c2?0 （D）a12．设一直线过点（3，-1，2）且平行于直线

a2?b1c1??1 b2c2x?3z?1?y?，则该直线的 43方程是 （ A ）

x?3y?1z?2x?3z?1???y? （A） （B） 41343x?4yz?3x?4z?3???y? （C） （D） 3?12433．yoz平面上曲线z?y2绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为

( B )

（A）z?y2?1 （B）z?y2?x2 （C）z?y2?x2?1 （D）z?y2?x

4．二元函数z?y?x的定义域为 （A）

《 高等数学(A)II(本科)》试卷第 1页 共 8 页

（A）?(x,y)|y?x,x?0? （B）?(x,y)|x?1?0?

（C）?(x,y)|y2?x? （D）?(x,y)|x?0,y?0?

5．交换积分顺序：

11?10dx?f(x,y)dy = （B ）

x1 （A）?0dy?yf(x,y)dx （B）?0dy?0 （C）?0dy?11y1yf(x,y)dx f(x,y)dy

f(x,y)dx

（D）?0dx?11x6．空间闭区域?由曲面x2?y2?z2?1所围成，则三重积分（ D ）

（A）3 （B）2? （C）4? （D）4?

37．函数z?z(x,y)由方程x2?y2?z2?4z?0所确定，则

???3dv=

??z= （A ） ?y （A） （C）

?y 2?z （B） （D）

x2?y

z 2?zx 2?zxn8．幂级数?n的收敛域是 （D ）

n5n?1 （A） （C）

??5,5? （B）?0,5?

??5,5? （D）??5,5?

1，则它的通解39．已知微分方程y???2y??3y?3x?1的一个特解为y*??x?是

（ A）

1 （A）C1e3x?C2e?x?x? （B）C1x?C2x2?xex

31 （C）C1x?C2x2?ex （D）C1ex?C2e?x?x?

3二、填空题（共15分 每小题3分）

《 高等数学(A)II(本科)》试卷第 2页 共 8 页

1．曲面x2?y2?z在点(0,1,1)处的切平面的方程是2Y?z?1?0． 2．若级数

?un收敛，则数列?u?当n??时的极限是?n?1n? 0 ．

sin2n3．级数?2的敛散性是 收敛（或绝对收敛） ．

nn?14．二元函数f(x,y)?(x2?y2)sin1 。

y5．微分方程y'??1的通解为_x1，当?x,y????,??时的极限等于

x2?y2cxy??)____________．

x2三、解答题（共54分 每小题6分）

1．设平面过点(1,2,1)且垂直于两平面

?1：x?2y?z?0 ?2：x?y?z?0

求此平面的方程．

解：设所求平面的法向量为n，则n?1???i1?j?21?k1??1,2,3? (4分) ?1所求平面方程为 x?2y?3z?8 (6分)

2．求两个底圆半径都等于2的直交圆柱面所围成的立体的体积。 解：设两个圆柱面的方程分别为

x2?y2?4 x2?z2?4 （2分） 由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以8即可。

2V?4?xdxdy 1?? （4分）

D《 高等数学(A)II(本科)》试卷第 3页 共 8 页

??20?4?x2?24?xdy?dx （5分） ??0??128 （6分） 3 ?16 3 从而所求立体的体积为V?8V1?

22v3．设z?ue，而u?x?y，v?xy，求dz．

解：

?z?z?u?z?v?????ev?2x?uev?y?exy(2x?x2y?y3) ?x?u?x?v?x(2分)

?z?z?u?z?v?????ev?2y?uev?x?exy(2y?x3?xy2) (4分) ?y?u?y?v?ydz?exy(2x?x2y?y3)dx?exy(2y?x3?xy2)dy (6分)

4．计算三重积分???x2?y2dv，其中?是曲面z??x2?y2

及平面z?1所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）．

解：?: r?z?1, 0?r?1, 0???2? (2分)

????x2?y2dv??d??rdr?rdz （5分）

00r2?11 ?

?6 （6分）

《 高等数学(A)II(本科)》试卷第 4页 共 8 页

5．求内接于半径为a2的球而体积为最大的长方体的体积。

解：设长方体的长、宽、高分别为2x,2y,2z，则题设问题归结为约束条件 ?(x,y,z)?x2?y2?z2?a2?0

下，求函数V?8xyz（x,y,z均大于0）的最大值。 （2分）

作拉格朗日函数

L(x,y,z,?)?8xyz??(x2?y2?z2?a2) （4分） 由方程组

?LX?8yz?2?x?0? ?Ly?8xz?2?y?0 （5分）

??Lz?8xy?2?z?0 进而解得唯一可能的极值点 x?y?z?3a 3 由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为 V?

6．计算曲线积分??ydx?2xdy，其中L是由点A(a,0)到点O(0,0)的上半

L33a （6分） 9aa圆周(x?)2?y2?()2的有向弧段．

22解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭

区域记为D，根据格林公式 （2分）

?

L?ydx?2xdy???3dxdy???ydx?2xdy (4分)

DOA ?3??2a2?0?3?2a (6分) 2《 高等数学(A)II(本科)》试卷第 5页 共 8 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/310r.html