四川省成都市2019届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理)试题
更新时间:2024-04-10 14:54:01 阅读量: 综合文库 文档下载
成都市2019届高中毕业班第一次诊断性检测
数学试题(理科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U?{x|x?0},集合P?{1},则eUP? (A)[0,1) (C)(??,1)(1,??) (B)(??,1) (1,??) (D)(1,??)
2.若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形,则这个几何体的俯视图不可能是
(A) (B) (C) (D) 3.已知复数z??4?3i(i是虚数单位),则下列说法正确的是
(A)复数z的虚部为?3i (B)复数z的虚部为3 (C)复数z的共轭复数为z?4?3i (D)复数z的模为5
?x3?1,x?0?4.函数f(x)??1x的图象大致为
?(),x?0?3y y y y O x O x O x O
(A) (B) (C) (D)
5.已知命题p:“若x?a?b,则x?2ab”,则下列说法正确的是 (A)命题p的逆命题是“若x?a?b,则x?2ab” (B)命题p的逆命题是“若x?2ab,则x?a?b ”
·1·
222222x
(C)命题p的否命题是“若x?a?b,则x?2ab” (D)命题p的否命题是“若x?a?b,则x?2ab”
6.若关于x的方程x?ax?4?0在区间[2,4]上有实数根,则实数a的取值范围是 (A)(?3,??) (B)[?3,0] (C)(0,??) (D)[0,3]
22222x2y27.已知F是椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PF?x轴.
ab若PF?1AF,则该椭圆的离心率是 41313 (B) (C) (D) 4422 (A)
8.已知m,n是两条不同直线,?,?是两个不同的平面,且m//的是
?,n??,则下列叙述正确
(A)若?//?,则m//n (B)若m//n,则?//? (C)若n??,则m?? (D)若m??,则???
9.若sin2?? (A)
?3?510],则???的值是 ,sin(???)?,且??[,?],??[?,425107?9?5?7?5?9? (B) (C)或 (D)或 444444AA1上,且HA1?1.在侧面BCC1B110.如图,已知正方体ABCD?A1BC11D1棱长为4,点H在棱
内作边长为1的正方形EFGC1,P是侧面BCC1B1内一动点,且点P到平
D1EB1FGC1P运动时,面CDDC HP的最小值是 11距离等于线段PF的长.则当点
(A)21
(B)22 (C)23 (D)25
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
·2·
H2A1PDCAB11.若非零向量a,b满足a?b?a?b,则a,b的夹角的大小为__________.
312.二项式(x?)的展开式中含x的项的系数是__________.(用数字作答)
21x613.在?ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c?2a,b?4,cosB?面积S?__________.
1,则?ABC的414.已知定义在R上的奇函数f(x),当x?0时,f(x)?log3(x?1).若关于x的不等式
f[x2?a(a?2)]?f(2ax?2x)的解集为A,函数f(x)在[?8,8]上的值域为B,若“x?A”是
“x?B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是__________.
15.已知曲线C:y?2x?a在点Pn(n,2n?a)(a?0,n?N)处的切线ln的斜率为kn,直线ln交x轴,y轴分别于点An(xn,0),Bn(0,yn),且x0?y0.给出以下结论: ①a?1;
②当n?N*时,yn的最小值为③当n?N*时,kn?2sin25; 41; 2n?1 ④当n?N*时,记数列{kn}的前n项和为Sn,则Sn?2(n?1?1).
其中,正确的结论有 (写出所有正确结论的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)
口袋中装有除颜色,编号不同外,其余完全相同的2个红球,4个黑球.现从中同时取出3个球. (Ⅰ)求恰有一个黑球的概率;
E(Ⅱ)记取出红球的个数为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X).
F17.(本小题满分12分)
如图,?ABC为正三角形,EC?平面ABC,DB//EC,F为
CBEA的中点,EC?AC?2,BD?1.
(Ⅰ)求证:DF//平面ABC;
A(Ⅱ)求平面DEA与平面ABC所成的锐二面角的余弦值. 18.(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn?2an?2;数列{bn}满足b1?1,bn?1?bn?2.n?N*.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
·3·
D(Ⅱ)记cn?anbn,n?N*.求数列{cn}的前n项和Tn. 19.(本小题满分12分)
某大型企业一天中不同时刻的用电量y(单位:万千瓦时)关于时间t(0?t?24,单位:小时)的函数y?f(t)近似地满足f(t)?Asin(?t??)?B(A?0,??0,0????),下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y与时间t的大致图象. (Ⅰ)根据图象,求A,?,?,B的值; (Ⅱ)若某日的供电量g(t)(万千瓦时)与时间t(小时)近似满足函数关系式
g(t)??1.5t?20(0?t?12).当该日内
供电量小于该企业的用电量时,企业就必须停产.请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻(精确度0.1). 参考数据:
t(时) g(t)(万千瓦时) 10 11 12 2.5 2 11.5 2.48 2.75 11.25 2.462 3.125 11.75 11.625 11.6875 2.496 2.375 2.490 2.563 2.493 2.469 f(t)(万千瓦时) 2.25 2.433 5 3.5 20.(本小题满分13分)
x2y2已知椭圆?:2?2?1(a?b?0)的右焦点为(22,0),且椭圆?上一点M到其两焦
ab点F1,F2的距离之和为43.
(Ⅰ)求椭圆?的标准方程; (Ⅱ)设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆?交于不同两点A,B,且AB?32.若点P(x0,2)满足PA?PB,求x0的值. 21.(本小题满分14分)
mx2mx2 已知函数f(x)??,g(x)?m?mx,其中m?R且m?0.e?2.71828lnxe数的底数.
(Ⅰ)当m?0时,求函数f(x)的单调区间和极小值;
为自然对
(Ⅱ)当m?0时,若函数g(x)存在a,b,c三个零点,且a?b?c,试证明: ?1?a?0?b?e?c;
(Ⅲ)是否存在负数m,对?x1?(1,??),?x2?(??,0),都有f(x1)?g(x2)成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
·4·
数学(理科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)
1.A; 2.C; 3.D;4.A;5.C;6.B;7.B;8.D;9.A;10.B.
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)
11.90? 12.?20 13.15 14.[?2,0] 15.①③④ 三、解答题:(本大题共6个小题,共75分) 16.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)记“恰有一个黑球”为事件A,则
21C2?C441 P(A)???.……………………………………………………………4分 3C6205(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,则
3C441 P(X?0)?3??……………………………………………………………2分
C620512C2?C4123 P(X?1)??? ………………………………………………………2分 3C6205 P(X?2)?P(A)? ∴X的分布列为
X P
1 ………………………………………………………………2分 50 1 51 3 52 1 5 ∴X的数学期望EX?0?131?1??2??1.…………………………………2分 555E17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:作AC的中点O,连结BO.
//1EC,又据题意知,BD?//1EC. 在?AEC中,FO?z DF22//BD,∴四边形FOBD为平行四边形. ∴FO? ∴DF//OB,又DF?平面ABC,OB?平面ABC.
∴DF//平面ABC.……………………………………4分
·5·
Cy BO Ax
(Ⅱ)∵FO//EC,∴FO?平面ABC.
在正?ABC中,BO?AC,∴OA,OB,OF三线两两垂直. 分别以OA,OB,OF为x,y,z轴,建系如图. 则A(1,0,0),E(?1,0,2),D(0,3,1). ∴AE?(?2,0,2),AD?(?1,3,1). 设平面ADE的一个法向量为n1?(x,y,z),
????2x?2z?0?n1?AE?0 则?,即?,令x?1,则z?1,y?0.
???x?3y?z?0??n1?AD?0 ∴平面ADE的一个法向量为n1?(1,0,1). 又平面ABC的一个法向量为n2?(0,0,1). ∴cos 当n?2时,Sn?1?2an?1?2 ? ???得,an?2an?2an?1,即an?2an?1(n?2). 又当n?1时,S1?2a1?2,得a1?2. ∴数列{an}是以2为首项,公比为2的等比数列, ∴数列{an}的通项公式为an?2?2n?1?2n.………………………………………4分 又由题意知,b1?1,bn?1?bn?2,即bn?1?bn?2 ∴数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列, ∴数列{bn}的通项公式为bn?1?(n?1)?2?2n?1.……………………………2分 ·6· n (Ⅱ)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,cn?(2n?1)2………………………………………………1分 23 ∴Tn?1?2?3?2?5?2??(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n ? ?(2n?5)?2n?1?(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1 ④ 2Tn? 由??④得 1?22?3?23?23 ?Tn?2?2?2?2?2?23 ?Tn?2(1?2?2??2?2n?1?2?2n?(2n?1)?2n?1 …………………1分 ?2n?12n)?(2n?1)?2n?1 2?2n?2?(2n?1)?2n?1…………………………………………………1分 ∴?Tn?2?1?2n?1n?1n?1n?1 ∴?Tn?2?2?4?2n?2?2 即?Tn?(3?2n)?2?4 n?1 ∴Tn?(2n?3)2?4 n?1 ∴数列{cn}的前n项和Tn?(2n?3)2?4………………………………………3分 19.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由图知T?12,???6y?yy?y2.5?1.512.5?1.5 A?maxmin??,B?maxmin??2.……………2分 22222 ∴y?0.5sin(.………………………………………………………1分 ?6x??)?2. 又函数y?0.5sin( 代入,得??综上,A?即f(t)??6x??)?2过点(0,2.5). ?2?2k?,又0????,∴???2.…………………………………2分 ?1?1,??,??,B?. ………………………………………1分 22621??sin(t?)?2. 262(Ⅱ)令h(t)?f(t)?g(t),设h(t0)?0,则t0为该企业的停产时间. 由h(11)?f(11)?g(11)?0,h(12)?f(12)?g(12)?0,则t0?(11,12). 又h(11.5)?f(11.5)?g(11.5)?0,则t0?(11.5,12). ·7· 又h(11.75)?f(11.75)?g(11.75)?0,则t0?(11.5,11.75). 又h(11.625)?f(11.625)?g(11.625)?0,则t0?(11.625,11.75). 又h(11.6875)?f(11.6875)?g(11.6875)?0,则t0?(11.625,11.6875).…4分 ∵11.6875?11.625?0.0625?0.1. ……………………………………………1分 ∴应该在11.625时停产.……………………………………………………………1分 ( 也 可 直 接 由 h(11.625)?f(11.625)?g(11.625)?0, 得出t0?(11.625,11.6875);答案在11.625—11.6875h(11.6875)?f(11.6875)?g(11.6875)?0, 之间都是正确的;若换算成时间应为11点37分到11点41分停产) 20.(本小题满分13分) (Ⅰ)由已知2a?43得a?23,又c?22. ∴b?a?c?4. 222x2y2??1.…………………………………………………4分 ∴椭圆?的方程为 124?y?x?m,?22 (Ⅱ)由?x2y2得4x?6mx?3m?12?0 ① ………………………1分 ?1,???124 ∵直线l与椭圆?交于不同两点A、B,∴△?36m?16(3m?12)?0, 得m?16. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两根, 2223m2?123m 则x1?x2??, x1?x2?. 42 ∴AB?1?k2x1?x2?2?923m?(3m2?12)?2??m2?12. 44 又由AB?32,得?32m?12?9,解之m??2.……………………………3分 4 据题意知,点P为线段AB的中垂线与直线y?2的交点. ·8· 设AB的中点为E(x0,y0),则x0? ?当m?2时,E(?x1?x23mm,y0?x0?m?, ??24431,) 2213??(x?),即y??x?1. 22 ∴此时,线段AB的中垂线方程为y? 令y?2,得x0??3.…………………………………………………………………2分 ?当m??2时,E(,?) ∴此时,线段AB的中垂线方程为y?321213??(x?),即y??x?1. 22 令y?2,得x0??1.………………………………………………………………2分 综上所述,x0的值为?3或?1. 21.(本小题满分14分) 2xlnx?x2?解:(Ⅰ)f?(x)??m12(lnx)21x?mx?2xlnx?mx?(1?2lnx)(x?0且x?1). (lnx)2(lnx)212∴由f?(x)?0,得x?e;由f?(x)?0,得0?x?e,且x?1.……………………1分 ∴函数f(x)的单调递减区间是(0,1),(1,e),单调递增区间是(e,??).………………2分 ∴f(x)极小值?f(e)??2me.………………………………………………………………1分 2mxemx?mx2emxmmx(mx?2)?,(m?0). (Ⅱ)g?(x)??2mxmxee∴g(x)在(??,0)上单调递增,(0,∵函数g(x)存在三个零点. 22)上单调递减,(,??)上单调递增. mm?m?0?g(0)?0?2??4???0?m?. ∴?2eg()?0?m?0?m??m?e2?∴0?me?2…………………………………………………………………………………3分 由g(?1)?m?me?m(1?e)?0. ·9· mmme2e2∴g(e)?m?em?m(1?em)?0.……………………………………………………1分 ee综上可知,g(e)?0,g(0)?0,g(?1)?0, 结合函数g(x)单调性及a?b?c可得:a?(?1,0),b?(0,e),c?(e,??). 即?1?a?0?b?e?c,得证.…………………………………………………………1分 (III)由题意,只需f(x)min?g(x)max ∵f?(x)?mx(1?2lnx) 2(lnx)1212由m?0,∴函数f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,??)上单调递增. ∴f(x)min?f(e)??2me.………………………………………………………………2分 ∵g?(x)?12mx(mx?2) emx22)上单调递增,(,0)上单调递减. mm由m?0,∴函数g(x)在(??,∴g(x)max?g(24)?m?2.……………………………………………………………2分 mem4422∴?2me?m?2 ,不等式两边同乘以负数m,得?2me?m?2. eme442m?∴(2e?1)m?2,即. e2(2e?1)e2由m?0,解得m??22e?1. e(2e?1)22e?1)满足题意.……………………………1分 e(2e?1)综上所述,存在这样的负数m?(??,? ·10·
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