2018年初三上学期数学期中复习卷11（教师）1份

2018年初三上学期数学期中复习卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题） 1．（2012?济南）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（ ）

A．（2，0）

B．（﹣1，1）

C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣1）

【考点】D1：点的坐标．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；2A：规律型．

【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的长宽分别为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．

【解答】解：矩形的长宽分别为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；

②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；

③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；

…

此时甲、乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵2012÷3=670…2，

故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇； 此时相遇点的坐标为：（﹣1，﹣1）， 故选：D．

第1页（共40页）

【点评】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题． 2．（2015?台湾）已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3．若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差多少？（ ） A．6 B．9 C．12 D．18

【考点】95：二元一次方程的应用．菁优网版权所有

【分析】分别设设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，根据寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，可得方程1016﹣x+y=1028﹣3x+3y，整理得：x﹣y=6，所以开学时乙校的人数为：1028﹣3x+3y=1028﹣3（x﹣y）=1028﹣18=1010（人），即可解答．

【解答】解：设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，

∵寒假结束开学时甲、乙两校人数相同， ∴1016﹣x+y=1028﹣3x+3y， 整理得：x﹣y=6，

开学时乙校的人数为：1028﹣3x+3y=1028﹣3（x﹣y）=1028﹣18=1010（人）， ∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；1028﹣1010=18（人）， 故选：D．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是关键题意列出方程．

3．（2013春?温州期末）不等式组（ ） A．a＞1

的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是

B．a≤3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a≤3

【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有 【专题】11：计算题．

【分析】根据题中所给条件，结合口诀，可得a﹣1与3之间、5和a+2之间都存在一定的不等关系，解这两个不等式即可． 【解答】解：根据题意可知a﹣1≤3 即a+2≤5 所以a≤3

又因为3＜x＜a+2 即a+2＞3 所以a＞1 所以1＜a≤3 故选：D． 【点评】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时（如：x＞a，x＜a），没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同

第2页（共40页）

大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

4．（2016?繁昌县一模）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只因是（ ） A．a＞b C．a＜b

【考点】C9：一元一次不等式的应用．菁优网版权所有 【分析】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因． 【解答】解：根据题意得到5×

＜3a+2b，

的价格把羊卖给乙发现赔钱

元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱，赔钱的原

B．a=b

D．与a、b大小无关

解得a＞b 故选：A．

【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．

5．（2014?巴中）今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：

①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③2000名考生是总体的一个样本；④样本容量是2000． 其中说法正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．菁优网版权所有

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【解答】解：这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体； 每个考生的数学中考成绩是个体；

2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，样本容量是2000． 故正确的是①④． 故选：C．

【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 6．（2016春?迁安市月考）如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）

第3页（共40页）

A．19.2°

【考点】IJ：角平分线的定义；K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质．菁优网版权所有

B．8°

C．6°

D．3°

【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算．【解答】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1， ∴∠ABC=2∠A1BC，∠A1CD=∠ACD

根据三角形的外角的性质得，∠A1CD=（∠ABC+∠A）=（2∠A1BC+∠A）=∠A1BC+∠A， 根据三角形的外角的性质得，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴∠A1=∠A 同理：∠A2=∠A1， ∴∠A2=∠A1=×∠A=同理：∠A3=∠A4=∠A5=

∠A， ∠A=

×96°=3°， ∠A

∠A

故选：D．

【点评】此题主要考查角平分线的定义和三角形内角与外角的性质，有点难度． 7．（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）

第4页（共40页）

A．8 B．6 C．4 D．2

【考点】KF：角平分线的性质．菁优网版权所有

【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4． 【解答】解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD，

∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选：C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 8．（2016?洛阳模拟）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（ ）秒时．△ABP和△DCE全等．

A．1

B．1或3

C．1或7 D．3或7

【考点】KB：全等三角形的判定．菁优网版权所有 【专题】25：动点型．

【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16﹣2t=2即可求得．

【解答】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE， 由题意得：BP=2t=2， 所以t=1，

因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE， 由题意得：AP=16﹣2t=2， 解得t=7．

所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等． 故选：C．

第5页（共40页）

【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL． 9．（2017?滨海县二模）已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a

【考点】47：幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小． 【解答】解：∵a=8131=（34）31=3124 b=2741=（33）41=3123； c=961=（32）61=3122． 则a＞b＞c． 故选：A．

【点评】变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．

10．（2011?齐齐哈尔）分式方程A．0和3

B．1

=

有增根，则m的值为（ ）

C．1和﹣2

D．3

【考点】86：解一元一次方程；B5：分式方程的增根．菁优网版权所有 【专题】11：计算题．

【分析】根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可． 【解答】解：∵分式方程

=

有增根，

∴x﹣1=0，x+2=0， ∴x1=1，x2=﹣2．

两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m， 整理得，m=x+2，

当x=1时，m=1+2=3，

当x=﹣2时，m=﹣2+2=0， 当m=0时，方程为

﹣1=0，

此时1=0， 即方程无解，

∴m=3时，分式方程有增根， 故选：D．

【点评】本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．

11．（2017春?萧山区校级期中）如果一个三角形的三边长分别为

﹣|2k﹣5|的结果是（ ）

A．﹣k﹣1

、k、，则化简

B．k+1 C．3k﹣11

第6页（共40页）

D．11﹣3k

【考点】15：绝对值；73：二次根式的性质与化简；K6：三角形三边关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题．

【分析】求出k的范围，化简二次根式得出|k﹣6|﹣|2k﹣5|，根据绝对值性质得出6﹣k﹣（2k﹣5），求出即可． 【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为、k、， ∴﹣＜k＜+， ∴3＜k＜4，

﹣|2k﹣5|，

=

﹣|2k﹣5|，

=6﹣k﹣（2k﹣5）， =﹣3k+11， =11﹣3k， 故选：D．

【点评】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 12．（2018?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）

A．

【考点】KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理．菁优网版权所有

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD，

∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF，

第7页（共40页）

B． C． D．

∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG，

∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴

=

，

∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴

=

，

∵FC=FG， ∴

=

，

解得：FC=， 即CE的长为． 故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．

13．（2017?天门模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ）

A．②③

B．②④

C．②③④

D．①③④

【考点】KQ：勾股定理；LG：正方形的判定与性质．菁优网版权所有

【分析】根据角平分线性质求出DE=DF，证△AED≌△AFD，推出AE=AF，再一一判断即可． 【解答】解：根据已知条件不能推出OA=OD，∴①错误；

∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中，

第8页（共40页）

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF，

∵AD平分∠BAC，

∴AD⊥EF，∴②正确；

∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∵AE=AF，

∴四边形AEDF是正方形，∴③正确； ∵AE=AF，DE=DF，

∴AE2+DF2=AF2+DE2，∴④正确； ∴②③④正确， 故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，角平分线性质的应用，能求出Rt△AED≌Rt△AFD是解此题的关键．

14．（2014?常州）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

【考点】E6：函数的图象．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合．

【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．

【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确； ②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度=10÷④设乙出发x分钟后追上甲，则有：

×x=

=15千米/时；故②正确；

×（18+x），解得x=6，故④正确；

=6km，故③错误；

③由④知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6×所以正确的结论有三个：①②④，

第9页（共40页）

故选：B．

【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．

二．填空题（共15小题） 15．（2013?永州）已知

【考点】15：绝对值．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题．

【分析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：∵∴a、b异号， ∴ab＜0， ∴

=

=﹣1．

+

=0， +

=0，则

的值为 ﹣1 ．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b异号是解题的关键．

16．（2013?临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=

．例如4﹡2，因

为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1

﹡x2= 3或﹣3 ．

【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；23：新定义．

【分析】首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=

，求出x1﹡x2的值即可．

【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，

∴（x﹣3）（x﹣2）=0， 解得：x=3或2，

①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3； ②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3． 故答案为：3或﹣3． 【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键． 17．（2015?南昌）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2= 25 ．

【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有

第10页（共40页）

【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．

【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根， ∴m+n=4，mn=﹣3，

则m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=16+9=25． 故答案为：25． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

18．（2015?乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是 ①③⑤ ．（填写正确结论的序号）

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题．

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．

【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，

根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0， 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0， ∴abc＞0，故①正确；

直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴﹣3a+4c＞0，

即a﹣2b+4c＞0，故②错误；

∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（当x=﹣时，y=0，即

整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确； ∵b=2a，a+b+c＜0，

第11页（共40页）

=﹣1，可得b=2a，

，0）， ，

∴，

即3b+2c＜0，故④错误； ∵x=﹣1时，函数值最大， ∴a﹣b+c≥m2a﹣mb+c， ∴a﹣b≥m（am﹣b），所以⑤正确； 故答案为：①③⑤．

【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 19．（2014?扬州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 0 ．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合．

【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可． 【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q， ∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0）， ∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），

把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c， ∴4a﹣2b+c=0， 故答案为：0．

【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键． 20．（2015?沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为

，则AK= 2﹣3 ．

第12页（共40页）

【考点】R2：旋转的性质．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题．

【分析】连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK． 【解答】解：连接BH，如图所示：

∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，

由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°， ∴∠ABE=60°，

在Rt△ABH和Rt△EBH中，

，

∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）， ∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH， ∴∠BHA=∠BHE=60°，

∴∠KHF=180°﹣60°﹣60°=60°， ∵∠F=90°，∴∠FKH=30°， ∴AH=AB?tan∠ABH=

×

=1，

∴EH=1，

∴FH=﹣1，

在Rt△FKH中，∠FKH=30°， ∴KH=2FH=2（﹣1），

∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2故答案为：2﹣3．

﹣3；

【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟

第13页（共40页）

练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

21．（2016?西宁）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为

．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；R2：旋转的性质．菁优网版权所有

【分析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．

【解答】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°， ∴F、C、M三点共线， ∴DE=DM，∠EDM=90°， ∴∠EDF+∠FDM=90°， ∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°， 在△DEF和△DMF中，

，

∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF=MF， 设EF=MF=x，

∵AE=CM=1，且BC=3， ∴BM=BC+CM=3+1=4，

∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x， ∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2， 即22+（4﹣x）2=x2， 解得：x=，

第14页（共40页）

∴FM=． 故答案为：．

【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

22．（2014?绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 2 ．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质；R2：旋转的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题．

【分析】根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可． 【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置， 由题意可得出：△DAF≌△BAF′， ∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′， ∴∠EAF′=45°， 在△FAE和△EAF′中

，

∴△FAE≌△EAF′（SAS）， ∴EF=EF′，

∵△ECF的周长为4，

∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4， ∴2BC=4， ∴BC=2．

故答案为：2．

第15页（共40页）

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．

23．（2016?枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋

﹣1 ．

【考点】R2：旋转的性质．菁优网版权所有

【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解． 【解答】解：如图，连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′，

在△ABC′和△B′BC′中，

，

∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D， 则BD⊥AB′，

∵∠C=90°，AC=BC=， ∴AB=

=2，

第16页（共40页）

∴BD=2×=，

C′D=×2=1，

∴BC′=BD﹣C′D=﹣1． 故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 24．（2014?张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．

【考点】M2：垂径定理；P2：轴对称的性质．菁优网版权所有 【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值

【解答】解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H． 根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3， ∴OE=OF=

==

=3， =4，

∴CH=OE+OF=3+4=7， BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，

在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7则PA+PC的最小值为． 故答案为：

，

第17页（共40页）

【点评】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．

25．（2016?宿迁）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 2 ．

【考点】M2：垂径定理．菁优网版权所有

【分析】如图，作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD．

【解答】解：如图，作CE⊥AB于E．

∵∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣20°﹣130°=30°， 在Rt△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2， ∴CE=BC=1，BE=∵CE⊥BD， ∴DE=EB，

∴BD=2EB=2． 故答案为2．

CE=

，

【点评】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型．

26．（2015?河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交点E，以点O为圆心，OC的长为半径作

于

交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为

第18页（共40页）

+ ．

【考点】MO：扇形面积的计算．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题．

【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：连接OE、AE， ∵点C为OA的中点，

∴∠CEO=30°，∠EOC=60°， ∴△AEO为等边三角形， ∴S扇形AOE=

=π，

∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE） =

=π﹣π+=

+

．

+

．

﹣

﹣（π﹣×1×

）

故答案为：

【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=

27．（2014?温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 12或4 ．

．

第19页（共40页）

【考点】LB：矩形的性质；MC：切线的性质．菁优网版权所有 【专题】121：几何图形问题；16：压轴题．

【分析】过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=：2，得：EG：EN=1，依据勾股定理即可求得AB的长度．

【解答】解：边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时， 如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N， ∴EN=NF，

又∵EG：EF=：2， ∴EG：EN=：1， 又∵GN=AD=8， ∴设EN=x，则，根据勾股定理得：

，解得：x=4，GE=

设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2 得：r2=16+（8﹣r）2 ∴r=5．∴OK=NB=5， ∴EB=9， 又AE=AB，

∴AB=12．

同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH， ∴OH=AN=5， ∴AE=1． 又AE=AB， ∴AB=4．

故答案为：12或4．

，

：

第20页（共40页）

【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．

28．（2015?宁德）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k= 3 ．

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题．

【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，在求出△OCE的面积，即可得出k的值． 【解答】解：连接OB，如图所示： ∵四边形OABC是矩形，

∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积， ∵D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴△OAD的面积=△OCE的面积，

∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3， ∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=， ∴k=3；

故答案为：3．

第21页（共40页）

【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．

29．（2015?烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数y=（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为 ．

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有 【分析】由A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），得到P（2，1），求得k=2，得到反比例函数的解析式为：y=，求出D（4，），E（1，2）于是问题可解． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴AB=OC，BC=OA，

∵A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2）， ∴OA=4，OC=2，

∵P是矩形对角线的交点， ∴P（2，1），

∵反比例函数y=（x＞0）的图象过对角线的交点P， ∴k=2，

∴反比例函数的解析式为：y=，

∵D，E两点在反比例函数y=（x＞0）的图象的图象上， ∴D（4，），E（1，2）

∴S阴影=S矩形﹣S△AOD﹣S△COF﹣S△BDE=4×2﹣×2﹣×2﹣××3=

第22页（共40页）

．

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质三角形的面积的求法，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．

三．解答题（共11小题） 30．（2018春?建德市期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，交BC的延长线于点E，连结BF． （1）求证：BE=CD；

（2）若点F是CD的中点． ①求证BF⊥AE；

②若∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有 【专题】555：多边形与平行四边形． 【分析】（1）先判断出AD∥BC，AB=CD，进而得出∠BAE=∠EAD=∠E，即可得出结论' （2）①先判断出CF=DF，进而得出△ADF≌△ECF，即可得出结论；

②先判断出△ABE是等边三角形，进而求出△ABE的面积，S△ADF=S△ECF，即可得出结论． 【解答】解：（1）ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD． ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=∠E， ∴BA=BE． 又∵AB=CD， ∴BE=CD；

（2）①∵点F是CD的中点， ∴CF=DF，

在△ADF和△ECF中，∴△ADF≌△ECF， ∴AF=EF

又∵BE=BA， ∴BF⊥AE；

②∵∠BEA=60°，

∴△ABE是等边三角形， 又∵AB=4，

第23页（共40页）

，

∴S△ABE=

×AB2=4

，

∵△ADF≌△ECF， ∴S△ADF=S△ECF，

∴行四边形ABCD的面积=S△ADF+S四边形ABCF=S△CEF+S四边形ABCF=S△ABE=4

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出△ADF≌△ECF是解本题的关键．

31．（2015?齐齐哈尔）甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：

（1）乙车的速度是 60 千米/时，t= 3 小时；

（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．

【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；17：推理填空题． 【分析】（1）首先根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，然后根据路程÷速度=时间，用两地之间的距离除以乙车的速度，求出乙车到达A地用的时间是多少；最后根据路程÷时间=速度，用两地之间的距离除以甲车往返AC两地用的时间，求出甲车的速度，再用360除以甲车的速度，求出t的值是多少即可．

（2）根据题意，分3种情况：①当0≤x≤3时；②当3＜x≤4时；③4＜x≤7时；分类讨论，求出甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可．

（3）根据题意，分3种情况：①甲乙两车相遇之前相距120千米；②当甲车停留在C地时；③两车都朝A地行驶时；然后根据路程÷速度=时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可． 【解答】解：（1）根据图示，可得 乙车的速度是60千米/时， 甲车的速度是：

（360×2）÷（480÷60﹣1﹣1） =720÷6

第24页（共40页）

=120（千米/小时）

∴t=360÷120=3（小时）． 故答案为：60；3．

（2）①当0≤x≤3时，设y=k1x， 把（3，360）代入，可得 3k1=360， 解得k1=120，

∴y=120x（0≤x≤3）． ②当3＜x≤4时，y=360． ③4＜x≤7时，设y=k2x+b，

把（4，360）和（7，0）代入，可得

解得

∴y=﹣120x+840（4＜x≤7）．

综上所述：甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为

y=

（3）①（480﹣60﹣120）÷（120+60）+1 =300÷180+1 =

=（小时）

②当甲车停留在C地时， （480﹣360+120）÷60 =240÷60 =4（小时）

③两车都朝A地行驶时，

设乙车出发x小时后两车相距120千米， 则60x﹣[120（x﹣1）﹣360]=120， 所以480﹣60x=120， 所以60x=360， 解得x=6． 综上，可得 乙车出发

后两车相距120千米．

第25页（共40页）

【点评】（1）此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

（2）此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间． 32．（2015?淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 100+200x 斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

【考点】AD：一元二次方程的应用．菁优网版权所有 【专题】124：销售问题． 【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可； （2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．

【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+（斤）；

（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300， 解得：x=或x=1，

当x=时，销售量是100+200×=200＜260；

当x=1时，销售量是100+200=300（斤）． ∵每天至少售出260斤， ∴x=1．

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．

【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解． 33．（2014?株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【考点】AD：一元二次方程的应用．菁优网版权所有 【专题】153：代数几何综合题． 【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

第26页（共40页）

×20=100+200x

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．

34．（2012?宿迁）（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′， 求证：DE′=DE．

（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）． 求证：DE2=AD2+EC2．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；R2：旋转的性质．菁优网版权所第27页（共40页）

有

【专题】16：压轴题；2B：探究型．

【分析】（1）先根据∠DBE=∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，故可得出∠DBE′=∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBE′，故可得出结论；

（2）把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，所以∠DAE′=90°，由（1）证DE=DE′，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠DBE=∠ABC， ∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC， ∵△ABE′由△CBE旋转而成， ∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE， ∴∠DBE′=∠DBE， 在△DBE与△DBE′中， ∵

，

∴△DBE≌△DBE′， ∴DE′=DE；

（2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′， ∵BA=BC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠BCE=45°，

∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合， ∴AE′=EC，

∴∠E′AB=∠BCE=45°， ∴∠DAE′=90°，

在Rt△ADE′中，DE′2=AE′2+AD2， ∵AE′=EC，

∴DE′2=EC2+AD2，

同（1）可得DE=DE′， ∴DE′2=AD2+EC2， ∴DE2=AD2+EC2．

第28页（共40页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/30m8.html