2020-2021学年度安徽省安庆市高考二模考试理科数学试题及答案

高三模拟考试（二模）

数学试题（理）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合}1|{<=x x A ，集合}11|{<=x x B ，则=B A I （ ） A ．? B ．}1|{

2．已知复数z 满足：i z i -=+1)2(，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）

A ．i 5351-

B ．i 5351+

C ．i -31

D ．i +3

1 3．ABC ?三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,则“b a >”是“B A 2cos 2cos <”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分也不必要条件

4．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为

1=xy ，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分

的概率为（ ）

A ．42ln 23-

B ．42ln 21+

C ．4

2ln 25- D ．42ln 21+- 5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x 值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．16

D ．32

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A ．12

B ．16

C ．332

D ．24 7．函数||log |

1|1)(x x x x f a ++=（10<

8．已知函数)sin()(?ω+=x x f （2||,0π?ω<

>）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3

π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ） A. 关于点)0,12(π

对称 B. 关于点)0,12(π

-对称

C. 关于直线12π

=x 对称 D. 关于直线12π

-=x 对称

9．在ABC ?中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得μλ+=，则=+μλ（ ）

A ．21

B ．2

1- 2 C ．2 D ．2- 10．在锐角ABC ?中，B A 2=，则

AC AB 的取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1( C ．)3,2( D ．)2,1(

11．已知实数y x ,满足????

?????≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则

1+x y 的最大值为（ ） A ．52 B ．92 C ．136 D ．2

1 12．已知函数)0(4)(>+

=x x x x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ?是定值；②PB PA ?是定值；③||||OH OG ?（O 是坐标原点）是定值；④PH PG ?是定值. 其中正确的是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①②③

D ．①②③④

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．如果n x x )13(-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中

41x 的系数是. 14．设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足FB AF λ=，若23||=

AF ，则λ的值为. 15．已知由样本数据点集合}.,2,1|),{(n i y x i i Λ=求得的回归直线方程为5.05.1?+=x y

，且3=x .现发现两个数据点)1.2,1.1(和)9.7,9.4(误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，那么，当2=x 时，y 的估计值为.

16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某

双曲线型冷却塔是曲线122

22=-b

y a x )0,0(>>b a 与直线0=x ，0=y 和b y =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为.

三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列.

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设11+

=n n n a a b ，*N n ∈，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使19

3

（1）求证：平面⊥ACD 平面BCD ；

（2）当2=AD

AB 时，求二面角B AC D --的余弦值. 19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；

（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*N n ∈）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.

20．已知直线1l ：x y 33=

，2l ：x y 3

3-=，动点B A ,分别在直线1l ，2l 上移动，32||=AB ，M 是线段AB 的中点.

（1）求点M 的轨迹E 的方程；

（2）设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交轨迹E 于点Q P ,，点R 满足OQ OP OR +=，若点R 在轨迹E 上，求四边形OPRQ 的面积.

21．已知函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为x y 2=. （1）求a 和b 实数的值；

（2）设)()()(2R m mx x x f x F ∈+-=，)0(,2121x x x x <<分别是函数)(x F 的两个零点，求证

0)('21

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，点)6

,

2(π

A ，)3

2,

32(π

B ，

C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是???+-==θ

θ

sin 22cos 2y x （θ

为参数）.

（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；

（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于Q P ,两点，求CQ CP ?的值. 23．选修4-5：不等式选讲

已知|12|)(++-=x x x f ，不等式2)(

（2）设M b a ∈,，证明：||||1||2b a ab +>+.

高三模拟考试（二模） 数学试题（理）参考答案

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项

D

B

C

A

B

B

C

A

B

D

C

C

1．【解析】因为{}1101B x

x x x x ??

=<=<>????

或，所{}0A B x x =

=+13i 55=-，所以z 的共轭复数为13

i 55

+.故选B. 3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得2

2

cos 2cos 212sin 12sin A B A B

22sin sin sin sin A B A B ?>?>a b ?>.故选C.

4.【解析】根据条件可知，122E ??

???

，，阴影部分的面积为()2

2

1122

1112d 2ln 22ln 2ln 32ln 222x x x x ?

??

???-=-=---=- ? ? ??

??

????，

所以，豆子落在阴影部分的概率为

4

2

ln 23-.故选A.

5.【解析】0110x t k ===，，；228x t k ===，，；1636x t k ===，，；144x t k ===，，.故选B.

6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为12222222162??+????=（3cm ）.故选B.

7.【解析】()()log 11()log log 101log 0.a a a a

x x x f x x x x x x x --<-??+==--<?，，，，，故选C. 8.【解析】由函数()y f x =图象相邻两条对称轴之间的距离为π2可知其周期为π，所以2π2πω==， 所以()()sin 2f x x ?=+.将函数()y f x =的图象向左平移

π3

个单位后，得到函数

数学试题（理）参考答案（共11页）第1页 πsin 23y x ?????=++ ????

???图象.因为得到的图象关于y 轴对称，所以ππ2π32k ??+=+，z k ∈，即ππ6k ?=-，z k ∈.

又π2?<，所以π6?=-，所以π()sin 26f x x ??=- ??

?，其图象关于点π012?? ???，对称. 故选A. 9. 【解析】因为点D 在边BC 上，所以存在R t ∈，使得()

BD tBC t AC AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r . 因为M 是线段AD 的中点，所以

()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 又BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，所以()112t λ=-

+，12t μ=， 所以12λμ+=-

.故选B. 10.【解析】sinB )3sin(sin sin B B C AC AB -==π2sin 33-4sin sinB B B ==.

因为ABC ?是锐角三角形，所以()π02π022π0π22B B B B ?<

AB B =-∈，.故选D. 11. 【解析】 作可行域，如图阴影部分所示.

1

y x +表示可行域内的点()x y ，与点()10-，连线的斜率. 易知1142A ?? ???，，1123B ?? ???，，9342C ?? ???

，. 当直线()1y k x =+与曲线y x =相切时，12k =，切点为()11，

，所以切点位于点A 、C 之间. 因此根据图形可知，1y x +的最大值为12

.故选C.

数学试题（理）参考答案（共11页）第2页

拓展：思考：如何求2122y x y x ++++的取值范围呢？答案：134[,]205

更一般地，当直线1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=的交点不在可行域内时，111222

a x

b y

c m ax by c ++=++的取值范围均能求出。 12． 【解析】① 设4P m m m ?

?+ ???

，，则4||||||||222m m m PA PB m +-?==?=，为定值，所以①正确；②因为四边形OAPB 四点共圆，所以0135=∠APB ，又由①知22||||=?PB PA ，

所以2)22(22-=-

?=?PB PA ，为定值，故②正确； ③ 因为24()1f x x '=-，所以过点4P m m m ??+ ??

?，的曲线()y f x =的切线方程为()2441y x m m m m ????=--++ ? ?????，所以()22G m m ，，80H m ?? ???，，所以

8|||||||

OG OH m m ?=?=. ④22224441682PG PH m m m m m m m m m m m ???????=-?--=---=-- ? ? ??????

?u u u r u u u r ，，，不是定值， 故④不正确, 故选C.

拓展：①从以上证明不难看出： OH OG ?为定值。而且PAB ? ，OGH ?的面积也均为定值。

②如果P 是()y f x =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的平行线，交y 轴和直线x y =分别为A 、B ，则||||PB PA ?是定值；PB PA ?是定值；PAB ?、OAB ?、平行四边形OAPB 的面积也为定值 。

③以上结论在标准双曲线122

22=-b

y a x 中也成立。

数学试题（理）参考答案（共11页）第3页

二、填空题

13．-189； 14．2

1； 15．3.8； 16． 24π3a b . 13. 【解析】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n .由2128n

=，得7n =，所以展开式的通项为737217(1)3

r r r r r T C x --+=-??. 由7342r -=-，得5r =，展开式中41x

的系数是57557(1)3189C --??=-. 14. 【解析】设()11A x y ，，()22B x y ，.

因为抛物线x 2

=4y 的焦点为(0,1)F ，准线为1y =-， 所以由32AF =u u u r ，得1312y +=，所以112

y =，x 12=4y 1=2. 由 AF FB λ=u u u r u u u r 得()121211x x y y λλ-=???-=-??，， 即21121111 1.2x x y y λλλ?=-???-?=+=+??

， 因为x 22=4y 2，所以)121(4)1(21+=-

λλx .解得1=2λ或1λ=-（舍）. 注：若知抛物线22(0)x py p =>的焦点弦的如下性质：

112||||FA FB p +=，可更快地求出结果。 15. 【解析】：将3=x 代入5.05.1?+=x y 得5y =. 所以样本中心点为(35)，，由数据点(1.1,2.1)和(4.9,7. 9)

知：

1.1 4.9

3

2

+

=，

2.17.9

5

2

+

=，故去除这两个数据点后，样本中心点不变.

设新的回归直线方程为? 1.2

y x b

=+，将样本中心点坐标代入得： 1.4

b=，

所以，当2

x=时，y的估计值为3.8.

16. 【解析】设点()

00

A x y，，则

00

a

B y y

b

??

?

??

，，所以圆环的面积为

2

2

00

ππ

a

x y

b

??

- ?

??

.

因为

22

00

22

1

x y

a b

-=，所以

22

22

02

a y

x a

b

=+，所以圆环的面积为

2

22

22

2

πππ

a y a

a y a

b b

????

+-=

? ?

??

??

.

数学试题（理）参考答案（共11页）第4页

根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为a、高为b的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：222

14

πππ

33

a b a b a b

+=.

三、解答题

17．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a的公差为d，则2(1)

n

a n d

=+-，*N

n∈.

由

1

1

a+，

2

1

a+，

4

1

a+成等比数列，得()()()

2

214

111

a a a

+=++，………………2分即()()

2

3333

d d

+=+，得0

d=（舍去）或3

d=. ………………4分

所以数列{}n a的通项公式为31

n

a n

=-，*N

n∈. ………………6分

（Ⅱ）因为

()()

1

11111

313233132

n

n n

b

a a n n n n

+

??

===-

??

-+-+

??

，………………8分

所以

()

111111111111

325358331323232232 n

n

S

n n n n

????????

=-+-++-=-=

????????

-+++

????????

L.

由

3

19

n

S<，即

()

3

23219

n

n

<

+

，得12

n<. ………………10分

所以使319n S <成立的最大的正整数11n =. ………………12分 18．【解析】（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE

则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥.

因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，

所以BC AD ⊥.

数学试题（理）参考答案（共11页）第5页

又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ?平面ACD ，

所以平面ACD ⊥平面BCD .

……………… 5分

（II ）方法1：在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME .

因为DE ⊥平面ABC DE AC ?⊥，又DM ∩DE=D

所以AC ⊥平面DME EM AC ?⊥，

所以DME ∠为二面角D AC B --的平面角.………………8分

设AD a =，则2AB a =.

在ADC ?中，易求出5a AM =，25a DM =. 在AEM ?中，15tan 2EM a BAC EM AM =∠=?=， 所以1cos 4

EM DME DM ∠==. ………………12分 方法2：以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB

所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ………………6分

设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，. 由（I ）知AD BD ⊥，又2AB AD

=，所以30DBA ∠=°，60DAB ∠=°，那么1cos 2AE AD DAB a =∠=，32BE AB AE a =-=，3sin DE AD DAB a =∠=，

所以302D a ??- ? ???，

，所以102AD a ??= ? ???u u u r ，，()20AC a a =-u u u

r ，，.………8分 设平面ACD 的一个法向量为()m x y z =u r ，，，则00m AD m AC ??=???=??u r u u u r u r u u u r ，，

即102220.

ay ax ay ?+

=???-+=?

，

数学试题（理）参考答案（共11页）第6页

取1y =，则2x =

，z =

，所以123m ?=- ??

u r ，，.………………10分 因为平面ABC 的一个法向量为()001n =r

，，，

所以1cos 4m n m n m n

???===-u r r

u r r u r r ，

. 所以求二面角D AC B --的余弦值为

1

4

. ……………… 12分 19．【解析】：(I)因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为

3

1， 用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～），（3

15B ，

所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率243

8031322

3

25

＝＝???

????? ??C P . …………4分

(II)ξ的可能取值为：0，1，2，…，n . ………………5分

31)0(==ξP ，212(1)339P ξ==?=，2

21(2)33P ξ??

==? ???

，

……， 3132)1(1

??

?

?

??=-=-n n P ξ， n

n P ??

?

??==32)(ξ. ………………7分 所以ξ的分布列为：

8分

ξ的数学期望为：

231212*********(1)333333333n n E n n ξ-????????=??+??+??++-??+? ? ? ? ?????????L ，(1) 2311221212121212(2)(1)3333333333n n n E n n n ξ-+??????????=??+??++-??+-??+? ? ? ? ? ???????????L . (2)

数学试题（理）参考答案（共11页）第7页

(1)－(2)得： 23111212121212212(1)()3333333333333n n n n E n n n ξ-+????????????=?+?+?++?+?--??-??? ? ? ? ? ???????????????L

…………10分

2311212121212133333333333n n E ξ-????????=?+?+?++?+? ? ? ? ???????

??L ， 2312222233333n n E ξ-????????=+++++ ? ? ? ???????

??L 22133213n ????-?? ???????=-2213n ????=-?? ???????. 所以2223n E ξ??=-? ???

.………………12分 20.【解析】（I

）根据条件可设)A m ，

，()

B n ，

，由AB =: 223()()12m n m n ++-=.………………2分

设()M x y ，

，则)22

m n x m n y ?-=???+?=??，，

得2.m n m n y ?-=???+=?② 将①和②代入22

3()()12m n m n ++-=中并化简得： 2

219x y +=. 所以点M 的轨迹E 的方程为2

219

x y +=. ………………5分 （II ）设直线l 的方程为y kx m =+，),(11y x P ，),(22y x Q ，()00R x y ，.

将y kx m =+代入2

219

x y +=，整理得 0)1(918)91(222=-+++m kmx x k . 则 1221819km x x k

+=-+，222191)1(9k m x x +-=. ………………6分 数学试题（理）参考答案（共11页）第8页

212121222182()221919k m m y y kx m kx m k x x m m k k

+=+++=++=-+=++. 因为OR OP OQ =+u u u r u u u r u u u r ，则有：01221819km x x x k =+=-+，0122

219m y y y k =+=+. …… 7分 因为()00R x y ，在椭圆上，191299118222

2=??

? ??++??? ??+-k m k km ， 化简得：22419m k =+. ………………8分 所以m

k x x 2921-=+，22214)1(9m m x x -=， 因为]4))[(1(||212212x x x x k PQ -++=]4)1(94)29)[(1(2222

m m m k k -?--+= )449)(1(||23222+-+=m k k m )1(3|

|232k m +=.……………… 9分 又点O 到PQ 的距离为21|

|k m h +=. ………………10分

由OR OP OQ =+u u u r u u u r u u u r ，可知四边形OPRQ 为平行四边形，

h PQ S S OPQ OPRQ ?==?||22331||)1(3||2322=+?+=k

m k m .……………… 12分 拓展: 此题结论可推广到更一般情形:

第(Ⅰ))题中, 直线1l 、2l 只要不垂直,轨迹均为椭圆,1l 、2l 垂直时,轨迹为圆; 第(Ⅱ)题中结论可推广到更一般情形:

设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交椭圆:)0(122

22>>=+b a b

y a x 于点P 、Q ，点R 满足OR OP OQ =+u u u r u u u r u u u r . 若点R 在椭圆上，则四边形OPRQ(或OPQ ?)的面积为定值。

21．【解析】（I ）由2()ln f x x ax b x =++，得(1)1f a =+，()2b f x x a x

'=++，(1)2f a b '=++，所以曲线()y f x =在点处()1(1)f ，的切线方程()()()211y a b x a =++-++（*）.

数学试题（理）参考答案（共11页）第9页

将方程（*）与2y x =比较，得()()22210.a b a b a ++=???-++++=??， 解得 1a =，1b =-.………………5分

（II ） ()

()222()()ln 1ln F x f x x mx x x x x mx m x x =-+=+--+=+-. 因为1x ，2x ()12x x <分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11221ln 01ln 0m x x m x x +-=???+-=??，，

两式相减，得()()()12121ln ln 0m x x x x +---=， 所以1212

ln ln 1x x m x x -+=-.……………… 7分 因为1()1F x m x '=+-，所以

.(

)1212ln ln 1x x F m x x -'=+=-

要证0F '<

，即证1212ln ln 0x x x x -<-. 因120x x <<

，故又只要证1122ln ln 0ln 0x x x x ->?>.

令()01t =，，则即证明12ln 0t t t -+>. 令1()2ln t t t t ?=-+，01t <<，则()222121()10t t t t t

?--'=--=<. 这说明函数()t ?在区间()01，上单调递减，所以()(1)0t ??<=， 即12ln 0t t t -+>成立.

由上述分析可知0F '<成立. ……………… 12分 22.【解析】（Ⅰ）将点A ，B 的极坐标化为直角坐标，得

A 1)和

B (3). 所以点

C 的直角坐标为(02)，

. ………………3分 将2cos 22sin x y θθ

=??=-+?，消去参数θ，得22(2)4x y ++=，即为曲线Ω的普通方程.………5分 数学试题（理）参考答案（共11页）第10页

（Ⅱ）解法一：直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=??

=+?，， （t 为参数，α为直线l 的倾斜角） 代入22(2)4x y ++=，整理得：28sin 120t t α++=.

设点P 、Q 对应的参数值分别为1t 、2t .则12t 21=t ，

12|||||12CP CQ CP CQ t t ?===u u u r u u u r u u u r u u u r . ……………… 10分

解法二：过点作圆1O ：22

(2)4x y ++=的切线，切点为T ，

连接1O T ，因为点由平面几何知识得： |||CP CQ CP CQ ?=u u u r u u u r u u u r u u u r

2221||||16412GT CO R ==-=-=，

所以|||12CP CQ CP CQ ?==u u u r u u u r u u u r u u u r . ———— 10分

23.【解析】（Ⅰ）当12x ≥-时，()211f x x x x =-++=+. 由()2f x <，得1x <，所以112x -

≤<. 当12

x <-时，()2131f x x x x =---=--. 由()2f x <，得1x >-，所以112x -<<

. 综上，{|11}M x x =-<<.………………5分

（Ⅱ）因为a ，b M ∈，所以1a -<，1b <， 即1a <，1b <.

所以()()

211ab a b ab ab a b +-+=++-+ ()()110ab a b =+-->，所以21ab a b +>+.………………10分