线性代数第一章课后习题答案

习题1.1

1、写出下列随机试验的样本空间.

（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.

（2）在单位园中任取一点记录其坐标.

（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）??{4,5,6,7,8?} （2）??{(x.y)x?y?1} （3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}

2、同时掷两颗骰子，

1

22x、y分别表示第一、二

两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.

解：

B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}

3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试

B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

2

BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

用语言描述下列事件.

A?A2 （1）1(A?A)A123 （2）

（3）A1A2?A1A2 解：（1）第1，2次都没有中靶

（2）第三次中靶且

第1，2中至少有一次中靶

（3）第二次中靶

4．设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：

（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ； （2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ； （3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ； （4）“三次全部击中靶子”可表示为 ； （5）“三次均未击中靶子”可表示为 ； （6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 .

3

解：（1）A1?A2?A3; (2) A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3; (3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) A1A2A3

(6) A1A2A3 5.证明下列各题

（1）A?B?AB （2）A?B?(A?B)?(AB)?(B?A)

证明：（1）右边=A（??B）?A?AB=????A且??B??A?B=左边

（2）右边=（AB)?(AB)?(BA）=????A或??B??A?B 习题1.2

1.设

A、B、C

三事件，

P(A)?P(B)?P(C)?14P(AC)?P(BC)?18,P(AB)?0，求A、B、C至少有一个发生的概率.

解：?P(AB)?0?P(ABC)?0

P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

=3?14?2?118?2 2.已知p(A)?0.5 ，P(AB)?0.2 ， P(B)?0.4，求 （1）P(AB)(2)P(A?B)， (3)P(A?B)， (4)P(AB).

解：（1）

?A?B,?AB?A?P(AB)?P(A)?0.1

（2）

?A?B,?A?B?B?P(A?B)?P(B)?0.5

3.设P(A)=0.2 P(A?B)=0.6 A.B互斥，求P(B). 解：?A,B互斥，P(A?B)?P(A)?P(B) 故P(B)?P(A?B)?P(A)?0.6?0.2?0.4

,

4

， 4.设A、B是两事件且P(A)=0.4,P(B)?0.8

（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=1.2?P(A?B)

（1）由于当A?B时A?B?B，P(A?B)达到最小， 即

P(A?B)?P(B)?0.8，则此时P(AB)取到最大值，最大值为0.4

（2）当P(A?B)达到最大， 即P(A?B)?P(?)?1，则此时P(AB)取到最小值，最小值为0.2 5.设

P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(A?B?C)?, 4816求P(A?B?C).

解：P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?151?, 1616P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

=3?1117?3??? 481616习题1.3

1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.

解：设事件A={3张中至少有2张花色相同} 则A={3张中花色各不相同}

3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1??0.602 3C522.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.

3

解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有C50种取法，而发生“某

5

3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法，其概率为3?，而10

C501960033个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为

p??pi?i?110101 ?1960019603解法二 样本空间的样本点的总数为C50，而发生“一个部件强度太弱”这13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有C10C3种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为

13C10C31 p??31960C503.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.

解法一 设A表示“取出的3个数之积能被10整除”， ， A1表示“取出的3个数中含有数字5”， A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”

P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2）?P(A1A2) ?8??5??4??1??????????1?0.786?0.214?9??9??9?解法二设Ak为“第k次取得数字，Bk为“第k次取得偶数”，5”k?1,2,3。 则A?(A1?A2?A3)(B1?B2?B3)

333A?(A1A2A3)?(B1B2B3)

P(A)?P(A1A2A3)?P(B1B2B3)?P(A1A2A3B1B2B3) 由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且

85，P(B1)?P(B2)?P(B3)? 994P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)?

9P(A1)?P(A2)?P(A3)? 6

?8??5??4?因此P?A??1?PA?1?[????????]?1?0.786?0.214

?9??9??9?4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率.

5解 共10个钱币，任取5个，基本事件的总数N?C10，有利的情况，即5

??333个钱币总数超过一角的情形可列举6种（1）5，5，2，2，2；（2）5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为

2322121223131122N(A)?C2C3?C2C3C3?C2C3C5?C2C5?C2C3C5?C2C3C5?1?3?5?3?10?10?2?5?2?3?10?126

故所求概率为P?1261? 52C105.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件， （1）求其中恰有k(k?min(M,n))件次品的概率； （2）求其中至少有2件次品的概率.

kn?knn?1CMCNCN?M?M?MCN?M解：（1） （2）1- nnCNCN6．设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边； （2）甲、乙、丙三人坐在一起；

（3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率.

（n?1）! 解（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为

而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为(n?2)!

于是P(A)?(n?2)!1?

(n?1)!n?1（n?1）!，而事（2）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为

件B为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人

7

3占“一个”座位，有利于事件B发生的样本点个数为A3?(n?3)!

3A3(n?3)!6于是P(B)? ?(n?1)!(n?1)(n?2)（3）n个人并列坐在一张长桌的一边，样本空间样本点总数为n!， 而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为(n?1)!

于是P(A)?(n?1)!1? n!n而事件B为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件B发生的样本点个数为3!(n?2)!

于是P(B)?6(n?2)!6? n!n(n?1)7.在一分钟内，一个正常信号与一个干扰信号均随机地各出现一次，设正常信号出现后持续10秒钟，干扰信号出现后持续5秒钟，若这两个信号相遇，则系统就受干扰了，求系统受干扰的概率.

解

样本空间的面积S(?)?602?3600

11系统受干扰的面积（阴影部分面积）S(A)?602??502??552

22 8

系统受干扰的概率P(A)?S(A)?0.2326 S(?)8.两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1h和2h，求有一艘轮船停靠泊位时不需要等待一段时间的概率.

解

Y X

P(A)?1?S(A)?1?S(?)242?11?222??23222=0.8793 224习题1.4

1.一盒中有新旧两种乒乓球100只，其中新球中有40只白的和30只黄的，旧球中有20只白的和10只黄的.现从中任取一只，则： （1）取到一只新球的概率是 ； （2）取到一只黄球的概率是 ；

（3）已知取到的是新球，该球是黄球的概率是 ； （4）取到一只新黄球的概率是 .

解（1）0.7 （2）0.4 （3）3/7 （4）0.3 2.已知P(A)?

111 P(BA)? P(AB)? 求P(A?B)

3249

解P(AB)?P(A)P(BA)?111?? 4312P(B)?P(AB)1/121??

P(AB)1/263.已知P?A??0.5,P?B??0.6,P?BA??0.8，求P?AB?及PAB. 解P(AB)?P(A)P(BA)?0.5?0.8?0.4

??PAB?PA?B?1?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3

4.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）.

解法一 设事件A为“两颗骰子点数之和为7”，事件B“一颗骰子点数为1”，所求概率为

P(BA)??16????P(AB)P(A)162CC1?112?3C6C63

解法二 点数为7的种数为3（6，1；5，2；3，4），其中一个点数为1的种数为1，则所求概率为1、

5.已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率.

（1）两只都是正品， （2）两只都是次品， （3）一只是正品，一只是次品， （4）第二次取出的是次品.

C8228解（1）P1?2?

C1045（2）P2?11? 245C1011C8C16（3）P3?22?

45C10（4）第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率

P41?1618?? 45245 10

A.P?BA??0 B.P?AB??P?A? C.P?AB??0 D.P?AB??P?A?P?B? 答案:C

（4）设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 . A.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”， B.“甲种产品滞销”， C.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”. D.“甲、乙都畅销”， 答案：A

3、设事件A,B,C满足ABC??，试把下列事件表示为互不相容的事件的和： A?B?C,AB?C,B?AC.

答案：（1）ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC （2）(A?B)?C （3）ABC?ABC?ABC

4.设A,B为两事件，且设P(B)?0.3,P(A?B)?0.6, 求P(AB). 解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A?B)?P(B)?0.6?0.3?0.3

5.在某城市中发行三种报纸A,B,C经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A,B,C报的有3%，试求下列事件的概率：

（1）只订A报的； （2）只订A及B报的； （3）只订一种报纸的；

（4）正好订两种报纸的； （5）至少订阅一种报纸的. 解：（1）

P(ABC)?P(AB?C)?P(A)?P[A(B?C)] ?P(A)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)?0.45?0.10?0.08?0.03?0.30（2）P(ABC)?P(AB?C)?P(AB)?P(ABC)?0.10?0.03?0.07

16

（3）P(ABC?ABC?ABC) =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.30?P(B?B(A?C))?P(C?C(A?B))

?0.30?P(B)?P(BA)?P(BC)?P(ABC)?P(C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?0.30?0.35?0.10?0.05?0.03?0.30?0.08?0.05?0.03?0.73

(4) P(ABC?ABC?ABC) =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

?P(AB)?P(ABC)?P(AC)?P(ABC)?P(BC)?P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?3P(ABC)

?0.10?0.08?0.05?3?0.03?0.14（5）P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) =0.45+0.35+0.30-0.10-0.08-0.05+0.03=0.90 （6）P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?0.90?0.10

6.从5个数字1，2，3，4，5中等可能地，有放回地连续抽取3个数字，试求下列事件的概率：事件A“三个数字完全不同”，事件B“三个数字不含1和5”，事件C“三个数字中5恰好出现两次”，事件D“三个数字中5至少出现一次”.

解：（1）P(A)?5?4?312? 32553327（2）P(B)?3?

1255?1??4?（3）P(C)?C52????= 0.096

?5??5??4?（4）P(D)?1????0.512

?5?7.将n个球随机地放入N（N≥n）个盒子中去，设盒子的容量不限，试求 （1）每个盒子至多有一只球的概率；

523 17

（2）n个盒子中各有一球的概率.

n解：（1）每个盒子至多有一只球共有AN种不同的方法，每一个 球都可以放nAN入N个盒子中的任意一个盒子，共有N种不同的方法，故所求概率为n

Nnn（2）n个盒子可以有CN种不同的选法，对于选定的n个盒子，每个盒子各

有一个球的放法有n!种。故所求概率为

N!

Nn(N?n)!8.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项同时都投资的概率为0.19，

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ （2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？ 解：记A={把资金投入基金}，B={购买股票}，依题意有

P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19

（1）所求概率为：P(BA)?P(AB)19? P(A)58P(AB)19? P(B)28（2）所求概率为：P(AB)?9.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8、0.7，在两批种子中任意选取一颗，试求：（1）这两颗种子都能发芽的概率.(2)至少有一颗发芽的概率.

解：A={甲发芽}，B={乙发芽} （1）P(AB)?P(A)P(B)?0.56

（2）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.94

10.某商场各柜台受到消费者投诉的事件数为0,1,2三种情形，其概率分别为0.6,0.3,0.1有关部门每月抽查商场的两个柜台，规定：如果两个柜台受到投诉的事件数之和超过1，则给商场通报批评；若一年中有三个月受到通报批评，则该商场受挂牌处分一年，求该商场受处分的概率.

解：记A={商场某月受到通报批评}

Bi={第一个柜台受i(i?0,1,2)次投诉的事件}

18

Ci={第二个柜台受i(i?0,1,2)次投诉的事件} 则P(A)?P(B2C0?B0C2?B0C0)

?P(B2)P(C0)?P(B0)P(C2）?P(B0)P(C0)

?0.1?0.6?0.6?0.1?0.4?0.4?0.28

以X记一年中受到通报批评的次数，则

P{X?3}?1?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}

012210?1?C12(0.28)0(0.72)12?C120.28(0.72)11?C12（0.28）（0.72）?0.696

11.第一个盒子中有5只红球，4只白球，第二个盒子中有4只红球，5只白球，先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.

解;设Bi为“从第一个盒子中取到i(i?0,1,2)只白球” A为“从第二个盒子中取到白球” 由全概率公式

P(A)??P(Bi)P(ABi)

i?0n112C47C45C526C553??2??2??2? 11C911C911C99912.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.

解：设A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙击中飞机，Bi表示有i(i?1,2,3)个人击中飞机

P(B1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

19

P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.41

P(B3)?P(A1A2A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)

?0.4?0.5?0.7?0.14

由全概率公式

P(B)?P(B1)P(BB1)?P(B2)P(BB2)?P(B3)P(BB3)

?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458

13.有两批产品：第一批20件，有5件特级品；第二批12件，有两件特级品，今按下列两种方法抽样：

（1）将两种产品混在一起，从中任取2件；

（2）从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第2批中任取2件； 试分别求出两种抽样情况下所抽两件都是特级品的概率. 解：设A为“取到的两件是第一批的产品” B为“取到的两件是第二的产品”

AB为“取到的两件，一个是第一批的，一个是第二批的“ C为“所抽两件都是特级品”

2C721（1）解法一P(C)?2?

C32496解法二：P(C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

112C52C2C5C21 ?2?2?22?496C32C32C32（2）设Ai为“从第一批中任取2件有i(i?0,1,2)件特级品” 由全概率公式

P(C)?P(A0)P(CA0)?P(A1)P(CA1)?P(A3)P(CA3)

20

21122C15C15C5C32C52C4C23 ?2?2?????2222C20C14C20C14C20C1413314.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格，如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2，如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6，如果三个部件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9.

（1）求仪器的不合格率；

（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大. 解：设B为“仪器不合格”

Ai为“仪器上有i(i?0,1,2,3)个部件不是优质品”

P(BA0）?0，P(BA1）?0.2，P(BA2）?0.6，P(BA3）?0.9 P(A0)?0.8?0.7?0.9?0.504

P(A1)?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.9?0.8?0.7?0.1?0.398

P(A3)?0.2?0.3?0.1?0.006

P(A2)?1?P(A0)?P(A1)?P(A3)?0.092 （1）由全概率公式，有

P(B)??P(Ai)P(BAi)

i?0n?0.504?0?0.398?0.2?0.092?0.6?0.006?0.9?0.1402

（2）由贝叶斯公式，有

P(A0B）?0 P(A1B）?P(A1)P(BA1)P(B)?796 1402552 1402P(A2B）?P(A2)P(BA2)P(B)? 21

P(A3B）?P(A3)P(BA3)P(B)?54 1402由此可知，一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.

第一章复习题(B)

1.填空题

（1）设事件A、B、C相互独立,且 ABC??，P(A)?P(B)?P(C)?0.5,

P(A?B?C)?9,则P(A)= . 16解：

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C) ?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) P(A)?3[P(A)]2?9 16解方程得

P(A)?13或 44由题意P(A)?0.5 故P(A)?1 41（2）设事件A，B相互独立,且A和B都不发生的概率为，A发生B不发

9生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)= .

解：根据题意设有

P(A?B)?1?P(A?B)?1 9P(AB)?P(BA)

注意到A?AB?AB,B?BA?BA

P(A)?P(AB)?P(AB),P(B)?P(BA)?P(BA) 由P(AB)?P(BA)有P(A)?P(AB)?P(B)?P(BA)

22

于是P(A)?P(B)，由事件的独立性及P(A?B)?1?P(A?B)?1得91?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?P2(A)?2P(A)?11?(P(A)?1)2?9解方程得

24或（舍去） 332故P(A)?

3P(A)?

（3）设事件A、B、C,且P(A?B)?0.9,P(A?B?C)?0.97,则

P(AB?C)= . 解：

P(AB?C)?P(AB)?P(ABC)?[1?P（AB）]?[1?P(ABC)]?[1?P(A?B)]?[1?P(A?B?C)]?(1?0.9)?(1?0.970）?0.07

2.选择题

（1）设当事件A与B同时发生时C也发生，则 .

A.P(C)?P(A?B), B.P(C)?P(A)?P(B)?1, C.P(C)?P(A?B), D. P(C)?P(A)?P(B)?1. 解：已知AB?C

P(C)?P(AB)?1?P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB) ?P(A)?P(B)?1?P(AB)?P(A)?P(B)?1故选(D)

解法二：已知AB?C，P(AB)?P(C)

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1?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(C)于是，P(C)?P(A)?P(B)?1，选(D)

（2）设0?P(B)?1，P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B)，则下列结论正确的是 .

A.P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B), B.P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B), C.P(A1?A2)?P(A1|B)?P(A2|B), D. P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2). 解：依题意设0?P(B)?1

P(AB)?P(AB) P(B)P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B)即P(A1B?A2B)P(A1B)P(A2B)

??P(B)P(B)P(B)从而P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B) 故选B

（3）设事件A、B、C两两相互独立,则A、B、C相互独立的充要条件为 ,

A.A与BC独立. B.AB与A?C独立. C.AB与AC独立. D.A?B与A?C独立. 解：应该选择A，证明如下：

必要性：设A、B、C相互独立的事件 则有P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(BC) 故事件A与BC独立，从而必要性成立。

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充分性：设A、B、C两两相互独立,且A与BC独立. 于是有

P(AB)?P(A)P(B)P(BC)?P(B)P(C)P(AC)?P(A)P(C)P(ABC)?P(A)P(BC)?P(A)P(B)P(C)

由定义知A、B、C相互独立，从而充分性成立。

3.设A、B独立，AB?D，AB?D，证明：P(AD)?P(A)P(D). 证明：因为AB?D，AB?D，D?A?B

AD?AB?DB

P(AD)?P(AB)?P(DB)而P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(DB)

P(DB)?P(A)P(DB)

?P(AD)?P(AB)?P(DB) ?P(A)P(B)?P(DB) ?P(A)P(DB)?P(A)P(DB)

?P(A)[P(DB)?P(DB)]?P(A)P(D)

于是 P(AD)?P(A)P(D)

4.从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率.

解法一 设A表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”

A表示“4只鞋子均不成双”

4样本点的总数为P10，

A的样本点为10?8?6?4（因为第一只鞋子是从5双中选一只有10种选法，

第二只鞋子是从4双中选一只有8种选法，第三只鞋子是从3双中选一只有6种选法，第四只鞋子是从2双中选一只有4种选法）

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P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?

10?9?8?7214解法二 样本点的总数为C10，

4A的样本点为C5?24（因为从5双中任选4双，再从每双中任意取一只）

C54?2413P(A)?1?P(A)?1?? 421C105.4张卡片标着1到4，面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡上的号码，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中一个的概率p是多少？

解：A表示“至少猜中一个’

A表示“4个全部猜错” P(A)?1?P(A)?1?3?3?15? 4！86.一袋中装有N?1只黑球1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第k次摸球时，摸到黑球的概率是多少？

解：设A表示“第k次摸球时，摸到黑球”

A表示第k次摸球时，摸到白球”

因为袋中只有一只白球，而每次摸到白球时换入一只黑球放入，故为了第k次摸到白球，则前k?1次一定摸到的是黑球

(N?1)k?1?1?1?故P(A)??1???NNk??k?11 Nk?11??于是所求概率为P(A)?1?P(A)?1??1???N?1 N7.设B、C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求方程

x2?Bx?C?0有实根的概率p和有重根的概率q.

解：一枚骰子接连掷两次，样本点总数为36，方程组有实数根的充分必要条

B2件为B?4C即C?

42注意到

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B B2使C?的样本点个数 4B2使C?的样本点个数 41 2 3 4 5 6 0 1 2 4 6 6 0 1 0 1 0 0 由此可见，方程x2?Bx?C?0有实根的概率p?方程x2?Bx?C?0有重根的概率为q?1 1819 368.随机地向半圆0?y?2ax?x2（a为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于

?的概率. 4（x,y)应该落在如图的阴影部解：以D表示半圆0?y?2ax?x2，由题设，点

分G，G的面积为（在极坐标系中计算）

?S(G)??4d??02acos?0?1rdr??4?r20?2?2?2acos?0??d? ???2a2?40cos?d??a2?40??1?(1?cos2?)d?????a2

?42?1个圆的面积） 4（或G的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上

y D G x

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??1?2???aS(G)?42?11??? 故P(A)?12S(D)2??a29.设0?P(A)?1，0?P(B)?1，证明：A、B独立?P(A|B)?P(A|B)?1. 证明：P(A|B)?P(A|B)?1?P(A|B)?1?P(A|B)?P(AB)

?P(AB)P(AB)??P(AB)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB) P(B)1?P(B)?P(AB)?P(B)[P(AB)?P(AB)]?P(B)P(A)?A、B独立

10.设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两只盒子中各取一只球.

(1)求至少有一只兰球的概率； (2)球有一只兰球一只白球的概率；

(3)已知至少有一只兰球，求有一只半求一只白球的概率. 解：设Ai={从第i只盒子中取得一只白球}i?1,2

Bi={从第i只盒子中取得一只蓝球}i?1,2 由题设在不同盒子则取球是相互独立的 （1）所求的概率为

P(B1?B2)?P(B1)?P(B2)?P(B1B2) ?P(B1)?P(B2)?P(B1)P(B2)

?32325???? 79799（2）因为B1B2??，则(B1A2)(B2A1)?? 所求的概率为

P(B1A2?B2A1)?P(B1A2)?P(B2A1) ?P(B1)P(A2)?P(B2)P(A1)

?342216???? 79976328

（3）B1A2?B2A1?B1?B2 所求的概率为

P(B1A2?B2A1B1?B2)P[(B1A2?B2A1)(B1?B2)] ?P(B1?B2)?P(B1A2?B2A1)16 ?P(B1?B2)3511. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？

解：设Bi={随机地取3件乐器，其中有i件是音色不纯的}（i?0,1,2,3） A={这批乐器被接收}

P(AB0)?(0.99)3，P(AB1)?(0.99)2?0.05，P(AB2)?0.99?(0.05)2 P(AB3)?(0.05)3

213123C96C96C4C96C4C4，P(B3)?3 P(B0)?3，P(B1)?3，P(B2)?3C100C100C100C100故由全概率公式有

P(A)??P(ABi)P(Bi)?0.8629

i?0312.设一枚深水炸弹击沉一艘水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.

解：设A为“施放4枚深水炸弹，击沉潜水艇” B为“施放4枚深水炸弹，均未击中潜水艇” C为“施放4枚深水炸弹，恰有一枚击则潜水艇”

?1?11?1?P(B)???，P(C)?C4????

62?6???

29

431283?1?11?1? P(A)?1?P(B)?P(C)?1????C4?????2?6?1296?6?

43 30

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