浙江工商大学04-05(一章乃器学院)微积分(上)选拔考试卷解答

浙江工商大学2004/2005学年第一学期

章乃器学院选拔考试微积分(上)试卷解答

一、填空题(每小题2分，共20分)

11．设f?1(lgx)?x2?1，则f(x)=lg(x?1)．

21解 由题设得f(x2?1)?lg[(x2?1)?1]，所以，f(x)?lg(x?1)．

2?2x?2, x??1?xx?2, x?1?2, x?1??x?2 ?1?x?0 2．设f(x)??，?(x)??2，则f(?(x))=?x?1．

?x, x?1?x?1, x?1?2, 0?x?2?x2?1, x?2?2?2x?2, x??1??2?(x), ?(x)?1?x?2 ?1?x?0 解 f(?(x))?f[?(x)]??． ??x?1?(x), ?(x)?12, 0?x?2???x2?1, x?2?23．limxsinx??2x=2． 2x?12x?2． x2?1解 原式=limx?x??(x2?3)arccotx4．lim=0．

x??2x?x3x2?3解 ?lim?0， |arccotx|??．

x??2x?x3 ?原式=0．

5．已知limx?0f(2x)1f(3sinx)3=． ?，则limx?04x2tanx33f(2?sinx)sinxf(3sinx)22?解 lim=lim x?0x?03tanxtanxsinx233sinx133f(2?sinx)22?lim=lim=??． x?0tanxx?03224sinx26．曲线y?(1?x)3的渐近线为=x?0、y?x?．

2x3232(1?x)??，

x?0x?0x ?x?0是曲线的一条垂直渐近线． 解 ?limy?lim??第 1 页 共 8 页

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?a=limx???y(1?x)?lim?1， 3xx???x23232(1?x)?xx=limb=lim(y?ax)=limx???x???x???x(1?x)3?x3 3??x?(1?x)2?xx???=limx???3x?3x?13??x?(1?x)2?xx???231?xx23=lim=． 3x???2?1?1?2?1?x???3? ?y?x?3是曲线的一条斜渐近线． 2x??7．设y?(1?sinx)x，则dy=??dx．

xcosx???解 y?=(1?sinx)x?xln(1?sinx)?=(1?sinx)x?ln(1?sinx)?，

1?sinx??? ?dyx??=y?(?)dx???dx．

8．如果本金为100元，银行的年利率为0.05，并以连续复利计息，则一年后可得本金共

100e0.05元．

解 一年后本利和为

??0.05??0.05??100lim??1? lim100?1???m??m??mm??????m0.05m0.05?????100e0.05(元)．

(n?1)x，则f(x)的间断点是x?0．

n??nx2?11(1?)xx1(n?1)xn?lim?2?， 解 f(x)?limn??nx2?1n??1x2xx?n ?f(x)的间断点是x?0．

9．设f(x)?lim10．若解

?f(x)dx?cosx?C，则

2?x2f(3x3?1)3x3?1dx=

2cos(3x3?1)?C． 9?x2f(3x3?1)3x3?11f(3x3?1)2dx=?d(3x3?1)=?f(3x3?1)d(3x3?1)

993x3?122=cos(3x3?1)2?C=cos(3x3?1)?C． 99二、单项选择题(每小题2分，共10分)

1．设f(x)?xsinx?cosx，下列命题正确的是(B)． (A)f(0是极大值，f(?)是极小值 2第 2 页 共 8 页

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?)是极大值 2? (C)f(0是极大值，f()也是极小值

2? (D)f(0)是极小值，f()也是极小值

2解 f?(x)?sinx?xcosx?sinx?xcosx， f??(x)?cosx?xsinx．

??? ?x?0，x?是f(x)的驻点，又f??(0)?1?0，f??()???0．

222? ?x?0是f(x)的极小点，x?是f(x)的极大点．

22．设{an}，{bn}，{cn}均为正数数列，且liman?0，limbn?1，limcn??，则必有(D)． (B)f(0是极小值，f(n??n??n?? (A)an?b对任意n成立 (C)极限limancn不存在

n??

(B)bn?cn对任意n成立 (D)极

n??limbncn不存在

3．设函数f(x)?1xx?1?()?14 (A)x?都是f(x)的第一类间断点 (B)x? (C)x?，则应有(D)．

，x?1都是f(x)的第二类间断点

是f(x)的第一类间断点，x?1都是f(x)的第二类间断点

1 (D)x?0是f(x)的第二类间断点，x?1都是f(x)的第一类间断点 解 ?limf(x)?limx?0??，

?xx()?1?14 ?x?0是f(x)的第二类无穷间断点．

11 ?limf(x)?lim； ?0limf(x)?lim??1． xxx?1x?1x?1x?1??()x?1?1()x?1?144 ?x?1是f(x)的第一类跳跃间断点．

x?0????4．以下四个命题中，正确的是(C)．

(A)若f?(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界 (B)若f(x)在(0,1)内连续，则f?(x)在(0,1)内有界 (C)若f?(x)在(0,1)内有界，则f(x)在(0,1)内有界 (D)若f(x)在(0,1)内连续，则f?(x)在(0,1)内有界 解 (A)、(B)的反例：f(x)?lnx；

1． x5．设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“M?N”表示“M的充分必要条件是N”，

(D)的反例：f(x)?sin第 3 页 共 8 页

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则必成立(A)．

(A)F(x是偶函数?f(x)是奇函数 (B)F(x是奇函数?f(x)是偶函数 (C)F(x是周期函数?f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数

解 f(x)的原函数F(x)可写成F(x)??f(t)dt?C的形式．

0x (B)的反例：f(x)?cosx，F(x)?sinx?1不是奇函数． (C)的反例：f(x)?cos2x，F(x)?是周期函数．

(D)的反例：f(x)??调减少的．

三、计算题每小题(6分，共48分) 1．求极限lim(x?011x?sin2x?C，不论C取什么常数，F(x)都不241在(0,??)内是单调增加的，但F(x)??lnx在(0,??)内是单x1?x1?)． ?xx1?ex2?x?e?x?1x2?x?e?x?1解 原式=lim=lim

x?0x?0x(1?e?x)x22x?1?e?x11?e?x =lim=1?lim

x?02x2x?0x1?(?x)13 =1?lim=1?=．

2x?0x22212．求极限lim(sin?cos)x．

x???xx?21???解 原式=exp?limxln?sin?cos??

xx????x???

1x?tln(sin2t?cost)??exp?lim? t?0t??2cos2t?sint?2? =exp?lim?=e． t?0sin2t?cost??3．计算不定积分

x?sint?(2?xxdx2)1?x2．

解 原式

sint1?costdt=??(2?sin2t)cost?1?cos2td(cost)

=?arctan(cost)?C=?arctan1?x2?C．

ex(1?sinx)dx4．计算不定积分?．

1?cosx第 4 页 共 8 页

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exsinx解 原式=?dx??ex?dx

1?cosx1?cosxexx =?dx??extandx

x22cos22xx =?exd(tan)??extandx

22xxx =extan??tan?exdx??extandx

222x =extan?C．

25．当x?0时，kx2?1?xarcsinx?cosx，求常数k的值． 解 由 limx?01?xsinx?cosx1?xsinx?cosxlim= x?0kx2(1?xsinx?cosx)kx211?sinx1?cosx?=lim?lim??? kx?01?xsinx?cosxx?0?xx2?1113=??(1?)=k=1． k224得k?4． 36．已知隐函数y?y(x)由下列方程所确定：x2y2?ey?x3?3，(1)求y?(0)的值；(2)点x?0是否是函数y?y(x)的极值点？说明理由．

解 方程两边对x求导，得

2xy2?x2?2yy??ey?y??3x2?0， (*)

11 将x?0代入原方程得y?ln3．将x?0，y?ln3代入(*)式得y?(0)?0．

22 (*)式两边对x求导，得

2y2?2x?2y?y??2x?2yy??x2?2(y?)2?x2?2yy???ey(y?)2?eyy???6x?0 (**)

1ln23将x?0，y?ln3，y?(0)?0代入(**)式得y??(0)??．

223ln23?0，所以，x?0是y(x)的极大 由y?(0)?0知x?0是y(x)的驻点．又y??(0)??23值点．

7．已知函数f(x)?2x3?9x2?12x?a恰有两个零点，试求出常数a的值并说明理由． 解 令f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)?0得驻点x?1，x?2． 列表讨论： x (??,1) (1,2) (2,??) 1 2 ? ? ? f? 0 0 5?a极大 ? f 4?a极小 ? ? ?limf(x)???， limf(x)???． x???x???第 5 页 共 8 页

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