线性代数讲义

工 程 数 学

线性代数讲义

Linear Algebra Materials

卫 斌 教授 主讲

惠州学院数学系

Department of Mathematics Huizhou college

2009年9月

第1,2讲

第一章 行 列 式

行列式（determinant [di't?:min?nt]）是研究线性代数（linear algebra['?ld?ibr?]）的一个重要工具，在线性方程组、矩阵、二次型中都需要用到行列式.在数学的其它分支里也常常要用到行列式.因此我们在第一章里就向大家介绍行列式.

§1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

行列式的概念是从解线性方程组的问题中引进来的.所谓线性方程组是指未知量的最高次数是一次的方程组.例如，解二元一次方程组

(1)?a11x1?a12x2?b1 ?

ax?ax?b(2)?2112222用加减消元法（为消x2，以a22×⑴－a12×⑵，为消x1，以a11?(2)?a21?(1)）得

a1a)21x? (a11a2?221ba1?22b ,a (a11a22?a12a21)x2?b2a11?b1a21. 于是，当 a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解：

1

x1?b1a22?b2a1a11a2?a212a,2 x2?21b2a11?b1aa11a2?a22112a. （3）

1为便于记忆上述公式，引进记号

a1a211aa12:?a11a22. 2 1 （4） ?aa1222这样规定的式子

a11a21a12a22称为2阶（级）行列式，它表示一个数，数a11a22?a12a21叫二阶

行列式的值.利用2阶行列式的概念，公式（3）中的分子与分母可分别写成

b1b2a12a22，

a11a21b1b2.

于是上述结论可叙述为：二元一次方程组当它的系数组成的行列式

a1a211aa12?0

b1a12a22a12a22a11b1b2a12a2222时，有唯一解，并且这个解可以用公式表示： x1?b2a11a21， x2?a21a11a21.（5）

二、三阶行列式

类似地，为了讨论三元一次方程组

?a11x1?a12x2?a13x3?b1? ?a21x1?a22x2?a23x3?b2 （6）

?ax?ax?ax?b3223333?311的解，引进记号

a11a12a22a32a13a23：＝a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 a21a31

－a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32. （7）

由（7）式定义的记号称为3阶行列式，它按对角线法则（沙路法：主对角线及其平行线上

的元素乘积为正，副（次）对角线及其平行线上元素乘积为负）展开.注：对角线法则只适于二、三阶行列式.

用消元法解三元一次方程组（6），可得到与二元一次方程组类似的结论：方程组（6），当它的系数组成的行列式

2

a11a12a22a32a13a23?0 a33 d?a21a31时，有唯一解，并且这个解可以用3阶行列式表示：

b1b2x1?b3a12a22a32da13a23a33a11a21a31b1b2b3da13a23a33a11a21a31a12a22a32db1b2b3， x2?， x3?.（8）

公式（8）容易记忆，分母是方程组（6）的系数按原来次序组成的3阶行列式，称为系数行列式.x1,x2,x3的分子是把系数行列式的第1,2,3列换成常数项，其余列不动得到的行列式. 二、三阶行列式的计算再参见教材P.3例2，例3.

习题一

1.(1) (3) (4)

§2 全排列及其逆序数

为了引进n阶行列式的概念，需要用到关于排列的一些知识.

定义1 由自然数1,2,?,n组成的一个有序数组称为一个n元排列（permutation [,p?:mju(:)'tei??n]），记作Pn.

例1 写出所有的3元排列.

解 自然数1,2,3组成的有序数组共有下列P3?6个： 123, 132, 213, 231, 312, 321. 我们知道，n元排列数Pn?n?(n?1)???3?2?1?n!个

5元排列12345，它的各个数是按照由小到大的自然顺序排列的，称它为5元自然序排列.而5元排列31452中，3比1大,但是3排在1的前面，它们跟自然顺序（由小到大）相反，这时称3和1这对数构成一个逆序.在排列31452中，构成逆序的数对还有32,42和52,共4个逆序，称排列31452的逆序数是4.一般地，有

定义2 在一个排列中，一对数如果较大的数排在较小的数之前，就称这对数构成一个

（31452）=4. 逆序.一个排列包含的逆序的总数，称为这个排列的逆序数.用?表示，例如?例2 求5元排列35412的逆序数.

解 构成逆序的数对共有 31,32,54,51,52,41,42等七对，因此，?(35412)?7. 例3 求n元排列n(n?1)?321的逆序数.

解 因为在这个排列中，n后面比它小的数有n?1个，n?1后面比它小的数有n?2个，?，3后面比它小的数有2个，2后面比它小的数有1个，所以

3

?(n(n?1)?321)?(n?1)?(n?2)???2?1?n(n?1)2.

一个排列的逆序数在一定程度上刻画了这个排列的性质.

定义3 逆序数是偶数的排列称为偶排列；逆序数是奇数的排列称为奇排列. 逆序数的计算，再参见教材P.5例4.

习 题 一

2.(3) (5) (6)

§3 对 换 (P.8 §4)

在许多问题中，需要把一个n元排列变成另一个n元排列，最简单的变换是；把某两个数互换位置，而其余数不动.例如，排列31452，把1和5互换位置，其余数不动，就得到排列35412.

定义4 把一个排列的某两个数互换位置，而其余数不动，就得到另一个排列，这样一种变换称为对换，将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.

)排列31452经过1和5对换，变成排列35412，记作31452?(1,5由于31452???35412，

是偶排列，35412是奇排列，因此对换（1,5）改变了排列31452的奇偶性.一般地，有

定理1 对换改变排列的奇偶性. 证明 （参见教材P.8）

推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 证明 参见教材P.8-9

利用定理1可以证明下面一个重要结果.

定理2 在全部n元排列中偶排列和奇排列各占一半，都是n!个（n?2).

2定理3 任一n元排列都可以通过一系列对换与n元自然序排列（标准排列）123?n互换，并且所作对换的次数与这个n元排列有相同的奇偶性.（P.8推论）

?32415????32145????12345,所作对换次数3与 例如，35412???(5,2)(4,1)(3,1)?(35412)?7都是奇数.

第3,4讲 §4 n阶行列式的定义（P.5§3）

为了把2,3阶行列式的概念推广到n阶行列式，我们先来分析一下3阶行列式的特点.

4

a11a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 a21a31 ?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32 （1）

其中元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示此元素位于第j列，称为列标.

从（1）式看到：3阶行列式是6项的代数和，其中每一项都是取自不同行、不同列的3个元素的乘积，即每一项都可以表成

a1ja2ja3j， （2）

123其中行标形成3元自然序排列123，列标形成3元排列j1j2j3.现在来分析每一项前面所带的符号（正号或负号）与该项列标所成排列的奇偶性的关系.（1）式中第一、二、三项列标分别是123,231,312，它们都是偶排列，这三项前面都带正号；第四、五、六项列标所成的排列分别是321,213,132，它们都是奇排列，这三项前面都带负号，于是（2）前面所带的符号是：

(?1)?(j1j2j3)

综上所述，3阶行列式（1）可以写成：

a11a12a22a32a13a23?a33 a21a31?(j1j2j3)(?1)?(j1j2j3)a1j1a2j2a3j3 （3）

其中?(j1j2j3)是j1j2j3取遍所有3元排列的逆序数.

仿此可给n阶行列式下定义.

定义 设有n2个数，排成n行n列的数表(P.6)

a11a12a22?an2????a1na2n?ann:? D?a21?an1?(J1J2?Jn)(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn?det(aij) （4）

（4）式称为n阶行列式（determinant [di't?:min?nt]）的表达式（或完全展开式），由于n元排列共有n!个，所以共有n!项.

例1 计算行列式

5

a11a12a2200a13a23a330a14a24a34a44.

D?000象这种主对角线（从左上到右下的对角线）下方的元素全为零的行列式称为上三角形行列式.

解 据定义，得

a11a12a2200a13a23a330a14a24a34a44? D?000?(j1j2j3j4)(?1)?(j1j2j3j4)a1j1a2j2a3j3a4j4.

这个行列式有不少元素是0，从而有很多项为零，我们只要把可能不为零的项找出来再相加就可以了.先从零最多的第4行开始考虑，当j4?1,2,3时a4j?0，从而相应的项都等于零，

4只有j4?4的项a1ja2ja3ja44可能不为零；在这种项里j3不能取4（因为要求元素取自不

123同列），又j3?1,2时，项a1ja2ja3ja44?0 ，因此，只有j3?3这样的项a1ja2ja33a44可

12312能不为零，同理可知j2只能取2,j1只能取1，所以只有一项a11a22a33a44可能不为零，其余所有项都等于零，这项的列标所成的排列1234是偶排列，因此这项前带正号.所以

a11a12a2200a13a23a330a14a24a34a44?a11a22a33a44.

D?000这说明：4阶上三角行列式的值等于它的主对角线上元素的乘积.显然上述分析对于n阶上三角形行列式也完全适用，因此有

命题 上三角形行列式的值等于它的主对角线上元素的乘积.即

a11a12a22?0????a1nan?ann:?a11a22?ann.

D?0?0由此看出，上三角形行列式是很容易计算的，因此在计算一个行列式时，常常把它化成上三角形行列式.下三角形行列式也有同样结果.（见教材P.7例6）

主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形（diagonal [dai'?g?nl]）行列式，因此它的值也等于主对角线上元素的乘积.

（见教材P.6例5：

6

?1?2???1?2??n;?1?2?n(n?1)?(?1)2?1??n.）

?n

?n §5 行列式的性质及计算

a11a12a22?an2???a1na2n?anna11a21a22?a2n???an1an2?ann记 D=a21?an1， D=Ta12?a1n

行列式DT称为行列式D的转置行列式（行列互换得到的行列式）.

性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 (见教材P.9-10)

性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号. 证明 （见教材P.10）

以ri表示行列式的第i行（row [r?u]），以ci表示第i列（Colum ['k?l?m]），交换i,jri?rj两行记作

?，交换i,j两列记作

ci?cj?.

推论 两行（列）相同，行列式为零.

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数k乘此行列式.第

k?rii行（或列）乘以k，记作?（或?）

k?ci推论 行列式一行（列）的公因子可以提出去.

ri?k第i行（或列）提出公因子k记作

?（或?)

ci?k性质4 行列式中如果有两行（列）成比例，则此行列式等于零.

性质5 行列式中若有某一行（列）是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和. 例如

7

a11D?b1?c1a31a41a11a12b2a32a42a12b2?c2a32a42a13b3a33a43a14b4a34a44a13b3?c3a33a43a11?c1a31a41a14b4?c4a34a44a12c2a32a42a13c3a33a43a14c4a34a44

?b1a31a41

性质6 把某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变.

rj?k?ri例如以数k乘第i行加到第j行上，记作（

a11?ai1a12?ai2?aj2?an2???????a1n?ain?ajn?annrj?kri?）， a12?ai2?aj2?kai2?an2???????a1n?ain?ajn?kain?anna11?ai1?aj1?kai1?an1 ?aj1?an1?.(i?j).

例1 计算行列式

?23201232012320021298. 31?23200?121300?2 3 D?5035?2解 D?5035?2298?500?3315?23121?2＝0?(?70)??70. 3 ＝5005300+335由于上三角行列式很容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是：利用行列式的性质，把行列式化成上三角形行列式.

例2 计算行列式

8

1?23145?8?220?14?5 D??231.

解

1?2314?2?10052?305?8?220?14?50?1?3?20?1?(?1)?(?3)?(?20)??60.

r2?2r1r3?(?3)?r1r4?(?1)?r11000?2?17652?17?30?14?5r3?7?r2r4?6?r21?2?10052?390?1?3?11 D??2311??000

r4?3?r3

?000

例3 计算n阶行列式

（这是习题一7.（2）题，是教材P.12例8中行列式的一般形式，是一个非常有用的行列式，以后各章中有不少应用）

abbab?bbba?bbbb?b?????bbb. ?a D?b?b

解 计算n阶字母行列式需要针对具体问题用相应的技巧.譬如，这个行列式的特点是：对角线上元素全为a，其它为b，且每一行的n个元素之和等于一个常数a?(n?1)b，于是采用的技巧是：

abbab?bbab?bbba?bbba?bbbb?bbbb?b??????????bbb?abbb ?ac1?c2c1?c3??c1?cna?(n?1)ba?(n?1)bbab?bbba?bbbb?b?????bbb ?a D?b?b11?a?(n?1)b?a?(n?1)b??a?(n?1)b? 1?1 9

r2?r1r3?r1??rn?r1100?0ba?b0?0b0a?b?0b00?0?????b00?a?b??a?(n?1)b???a?(n?1)b?(a?b)n?1.

例4 计算行列式

0?a1a10?b1?b2?b3a2b10?c1?c2a3b2c10?da4b3c2. d0 D??a2?a3?a4这个行列式的特点是：第i行第j列的元素等于第j行第i列元素的负数，即

aij??aji(aii??aii,aii?0,故主对角线上元素全为零）.具有这种特点的行列式称为反对称

（dissymmetry ['dis'simitri]）行列式.例如

0?3530?2?52,00?21?420?53?150?14?310都是反对称行列式.

0?a1a10?b1?b2?b30(?1)?ra2b10?c1?c2a10?b1?b2?b3a2b10a3b2c10?da4b3c2d0a3b2c10?da4b3r?c0a1a2a3a4?a10b1b2b3?a2?b10c1c2?a3?b2?c10d?a4?b3?c2 ?d0解D??a2?a3?a4??a1(?1)?a2?a3?a45?c2?(?1)5D??D. d0?c1?c2于是 2D?0，所以D?0.

用类似上述方法可以证明：奇数阶反对称行列式等于零. 关于行列式的计算另请参看教材P.12-16的例7-11.

习 题 一

4.(2) (3) (4)

10

第5,6讲 §6 行列式按一行（列）展开

计算行列式还有没有别的方法？如何把n阶行列式用到解n元线性方程组上？为了解决这些问题，需要研究行列式按一行（或一列）展开的公式，即把一个较高阶的行列式通过几个较低阶的行列式来表达.先以3阶行列式为例来说明这个想法.

a11a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 D?a21a31 ?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32

?a11(a22a33?a23a32)?a12(a21a33?a23a31)?a13(a21a32?a22a31) ?a11a22a32a23a33?a12a21a31a23a33?a13a21a31a22a32.

由此可见一个3阶行列式可以转化成三个2阶行列式，其中

a22a32a23a33是原3阶行列式中划去元素a11所在的第1行、第1列，剩下的元

素按原来次序组成的2阶行列式，称它为元素a11的余子式，记作M11.同样地，

a21a31a23a33,a21a31a22a32是划去a12,a13所在的第1行、第2列，第1行、第3

列，剩下的元素按原来次序组成的2阶行列式，称为a12,a的余子式，记作M12,M13.于是

13a11D?a21a31a12a22a32a13a23?a11M11?a12M12?a13M13. a33上式第二项前面是负号，为了使每项前面都是正号，我们令

1?11?21?3 A11:?(?1)M11, A12:?(?1)M12 A13:?(?1)M13

这样规定的A11,A12,A13分别称为元素a11,a12,a13的代数余子式，于是有

a11a12a22a32a13a23?a11A11?a12A12?a13A13. a33 D?a21a31此式说明：一个3阶行列式等于它的第1行的元素与自己的代数余子式的乘积之和，这称为3阶行列式按第1行展开.类似可以证明：一个3阶行列式也等于它的第2行（或第3行）元素与自己的代数余子式的乘积之和.这一结论可以推广到任意n阶行列式，为此先给

11

出n阶行列式的余子式、代数余子式的定义.

定义1 n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行、第j列，剩下的元素按原来次序组成的n?1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij.令Aij:?(?1)数余子式.（P.6） 定理1 n阶行列式

a11?a12?ai2?an2?????a1n?ain?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin.(i?1,2,?,n) ?anni?jMij.称Aij是元素aij的代

D?ai1?an1这称为行列式按任一行展开定理(证见P.17-18定理3).

行列式也可按任一列展开：D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj.(j?1,2,?,n) 例1 设

60?12083040?20?3 D?501

写出D按第3行的展开式，并且算出D的值.

解D的按第3行的展开式为： D?0?A31?2?A32?0?A33?0?A34

68340?2??2?98??196. ?3 ＝ 2(?1)3?251试问：行列中某一行的元素与另外一行的相应元素的代数余子式的乘积之和等于什么呢？结论是：

定理2 n阶行列式

a11?a12?ai2?an2?????a1n?ain?aj1Ai1?aj2Ai2???ajnAin?0,i?j ?ann D?ai1?an1（证见教材P.19?20推论）

由例1看到，如果一个行列式的某一行（列）有很多零，则按这一行（列）展开，可以

12

使这个行列式转化为少数几个（甚至一个）低一阶的行列式，从而使计算变得容易.由此，我们可利用行列式的性质，使某一行（列）变成只有一、两个非零元素，然后就按这一行（列）展开.这样继续下去，就可以把一个较高阶行列式最后变成一、两个2阶行列式，这是计算行列式的另一个方法.

例2 计算行列式

5273?8?6?24?10?341?5 D??4?27.

解 把哪一行（列）变成只有一个非零元素呢？为了尽量避免分数运算，应当尽可能选择1或-1所在的行或列.然后对行列式进行初等行（列）变换.

5273?8?6?24?10?341?5?111?5076?18010?341?5131324 D??4?27c1?2c4c2?3c4c3?4c4?40?3?1?1?(?1)3?411?576?18 104?3r2?4r1r3?3r1?1?001139?261166??(?1)(?1)?812??156.

1?1

?39?266?8?3?(?2)

?(?6)?13?2例3 计算行列式

a?62a?3?4?2?4. a?3 D?2?2解

r3?r2a?6202a?3a?73?3?2?4a?7a?62c2?c3a?64a?102?2?4a?72 D??420

?(a?7)(?1)a?1?(a?7)(a?5a?14)?(a?7)(a?2).

例4 证明n阶Vandermonde（范德蒙）行列式(P.18例12)

13

111?1a1a2a3?an2D1a222a3?a2 nn?a???????(ai?aj)

1?j?i?nan?2an?2an?2?an?2123nan?1n?1n?1?n?11a2a3an这里

?(ai?aj)?(a2?a1)(a3?a1)?(an?1?a1)(an?a1)

1?j?i?n ?(a3?a2)?(an?1?a2)(an?a2) ????????? ?(an?1?an?2)(an?an?2) ?(an?an?1). 证明 对范德蒙行列式的阶数n用数学归纳法. 第一步，n?2时，计算2阶范德蒙行列式的值： D12?1a?a2?a1. 可见n?2时，结论成立.

1a2第二步，假设对于n?1阶范德蒙行列式结论成立，来看n阶范德蒙行列式 把Dn降阶：从第n行开始，后行减前行的a1倍：（不能从第二行开始）

111?1a111?1a2a3?arn?a1?rn?1nrn?1?a1?rn?222????r0aa2?a1r12?a13?a1?Da1a2a23?a2nn???????0a22?a1a2a23?a1a3?an?2n?2n?2n?2????1a2a3?anaaa?a0an?12?a21an?2an?1?an?2n?1n?1n?1n?131a3?123na2?a1a3?a1?an?a1 按第一列展开 ?a2(a2?a1)a3(a3?a1)?an(an?a1)????

an?22(a2?a1)an?23(a3?a1)?an?2n(an?a1) 14

1an?a1a2n?a1an?an?1n?an?21an

11?1提公因子(aa2a3?ani?a1) ?(a2?a1)(a3?a1)?(an?a1)????

an?22an?23?an?2n后面这个行列式是n?1阶范德蒙行列式，由归纳假设得：

11?1

a2a3?an??????(ai?aj).

2?j?i?nan?22an?23?an?2n于是上述n阶范德蒙行列式等于:

(a2?a1)(a3?a1)?(an?a1)?(ai?aj)??(ai?aj).

2?j?i?n1?j?i?n根据数学归纳法原理，对一切n?2，范德蒙行列式成立.

例5 证明

a11a1200

a21a2200b12cc12b?a11a12b1111b12a21a?22b21b.

1122c21c22b21b22证明 ：

a2200a2100左边?ab11b1211c12b11b12?a12c11b11b12 ?a11a22ab1112a21c22b21bcb21b?22b212221b21b22 ?(ab11b12b1211a22?a12a21)b?a11a12b1121b22a21a22b21b?右边.

22 习 题 一

5.(2) (4) (5) 7.(3) (4)

§7 克莱姆法则

现在我们利用行列式来讨论n元线性方程组解的问题. 一般的n元线性方程组是：

?a11x1?a12x2???a1nxn?b?1 ?a?21x1?a22x2???a2nxn?b2?.......................................... （1）

??as1x1?as2x2???asnxn?bs 15

b12b22

其中方程个数s与未知量个数n不一定相等，aij是第i个方程中第j个未知量xj的系数，bi是方程组的常数项，i?1,2,?,s,j?1,2,?n.

所谓方程组（1）的一个解x1?c1,x2?c2,?,xn?cn，是指n个数组成的一个有序数组

(c1,c2,?,cn)

把他们依次代替x1,x2,?,xn后，方程组（1）的各个方程变成恒等式.本节只讨论方程个数与未知量个数相等的线性方程组.

定理1（克莱姆法则）线性方程组（P.22）

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2 ? （2）

?..........................................?ax?ax???ax?bn22nnns?n11当它的系数行列式

a11a12a22?an2????a1na2n?annDnD

a21?an1?0 （3）

时，方程组（2）有解，并且解是唯一的，这个解可以用下述公式表示： x1?D1D, x2?D2D， ?， xn?， （4）

其中Dj是把D中第j列换成常数项，而其余各列不变所得到的行列式.

（证见教材第二章P.52）

例1 解线性方程组

?x1?3x2?2x3?5x4??4??3x1?2x2?x3?6x4??1 ?.

?2x?5x?x?7x??51234???x?8x?2x?3x?11234?解 因为

1?32?582?11?25?673

D?3?2?1??246?0，所以此方程组有唯一解.

又因为

16

4?32?58?32?58D1DD3D2?11?2?4?1?5149256735?673??738， D4??492， D2?13?2?113?2?1D2DD4D?4?1?51?32?58?246?246246?2462?11?22?11?25?673?4?1?51?246. ??246，

D1??1?511 D3?3?2?1所以 x1? x3????246?738?246??2， x2??3, x4????1， ??1.

因此(?2,1,3,?1)是这个方程组的解.

用克莱姆法则解线性方程组时有两个前提条件：一是方程个数与未知量个数相等；二是系数行列式不等于零.用克莱姆法则解n元线性方程组时，需要算n?1个n阶行列式，计算量太大，所以一般不用克莱姆法则来解线性方程组.但是克莱姆法则在理论上是相当重要的.因为它告诉我们：当方程组（2）的系数行列式不等于零时，（2）有唯一解，这表明可以直接从原方程组的系数来讨论解的情况，并且还告诉我们：在系数行列式不等于零时，方程组（2）的唯一解可以用公式（4）表示，这就把方程组的解直接用它的系数、常数项表达出来，从而可看出方程组的解与它的系数、常数项的依赖关系；而且以后会看到：克莱姆法则还可以用于一般线性方程组的讨论.

作为克莱姆法则在理论上的一个应用，我们来看下述这种线性方程组： ?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a21x1?a22x2???a2nxn?0 ? （5）

....................................??ax?ax???ax?0s22snn?s11这种常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然，x全为零是方程组（5）的一个解，称为零解（或平凡解）.而齐次线性方程组不全为零的解称为非零解.齐次线性方程

组总有零解，但何时有非零解呢？运用克莱姆法则可得到方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的一个必要条件.即

定理2 如果齐次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a21x1?a22x2???a2nxn?0 ? （6）

.....................................??ax?ax???ax?0n22nnn?n11有非零解，则它的系数行列式D?0.

定理3 如果齐次线性方程组（6）的系数行列式D?0，则齐次线性方程组（6）没有

17

非零解.

（参见教材P.25定理4、4?，5、5?及例16的讨论）

习 题 一

8. （1） 9.

第7，8讲

线性方程组可以通过矩阵来求解，并且用矩阵来判断解的情况.在自然科学和工程技术以及生产实际中还有大量问题与矩阵有关，可通过对矩阵的研究获得解决.因此矩阵成为一个非常重要的数学工具.本章介绍矩阵的概念及其运算.

§1 矩 阵

第 二 章 矩阵及其运算

定义1 由m?n个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的数表：

?a11?a21 A???...??am1a12a22...am2??......a1n??a2n? （1） ...??amn?称为m行n列矩阵，简称m?n矩阵（matrix ['meitriks]），可记作Am?n，或简记作A.这张表里的任何一个数都叫做矩阵A的一个元素.

本章只讨论元素为实数的所谓实矩阵.

行与列都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵，记作An. 只有一行的矩阵

A?(a1,a2,?,an)

称为行矩阵，又称行向量（row[rau] vector['vekt?]）.

只有一列的矩阵

?b1???b2?? 称为列矩阵，又称列向量（column['k?l?m] vector['vekt?]）. B???????bm?两个矩阵的行、列数相等时，称它们为同型矩阵。如果A?(aij)与B?(bij)是同型矩

18

阵，且它们的对应元素相等，即 aij?bij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)，就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A?B.

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O.（注意：不同型的零矩阵是不同的）

下面介绍几个特殊的矩阵： 例1 由线性变换（教材P.31)

?y1?x1??y2?x2 ?

........??y?xn?n叫做恒等变换（conversion [k?n'v?:??n]），它对应一个n阶方阵

?1?0 E??????001?0???0??0? ???1?称为单位矩阵（unit['ju:nit] matrix['meitriks]）.（特点：主对角线上元素都是1，其它元素都是0），在矩阵乘法运算中起数1的作用.

例2 由线性变换

?y1??1x1??y2??2x2 ?

.............??y??xnn?n

对应一个n阶方阵 ??1?0? ??????00??0??0? ????n?

?2?0?称为对角矩阵，简称对角（diagonal [dai'?g?nl]）阵，也记作 ??diag(?1,?2,?,?n).

例3 矩阵

?cos? ??sin??sin??? cos?? 19

?x1?xcos??ysin?对应的线性变换： ?

y?xsin??ycos??1?????x?rcos?把xoy平面上的向量OP???y?rsin??????x?rcos(???)??1?. ?变为向量OP1????y1?rsin(???)?????????表明OP?r，而辐角为???.这是把向量OP依逆时针方向旋转?角得到.(见教材P.32)

习 题 二

1. 2.

§2 矩阵的运算

一、矩阵的加法

定义2 设有两个同型的m?n矩阵A?(aij)和B?(bij)，规定： ?a11?a21 A?B:?????am1?b11?b21??bm1a12?b12a22?b22?am2?bm2???a1n?b1n??a2n?b2n? ???amn?bmn?称这个矩阵是A与B的和。

不难验证，矩阵的加法满足下列运算规律（设A,B,C,O都是同型m?n矩阵）： （ⅰ） 交换律：A?B?B?A；

(ⅱ) 结合律：(A?B)?C?A?(B?C)； （ⅲ） 零矩阵满足：A?O?A；

(ⅳ) 矩阵 ?A?(?aij)称为矩阵A的负矩阵，显然有 A?(?A)?O.

由此规定矩阵的减法为： A?B?A?(?B). 二、矩阵的数量乘法

定义2 数k与矩阵A的乘积记作kA?Ak，规定为： ?ka11?ka21?kA?

????kam1ka12ka22?kam2???ka1n??ka2n? ???kamn? 20

这个矩阵称为k与A的数量乘积.

注意：数乘矩阵是数乘矩阵的每一个元素，这与行列式的性质有区别. 数乘矩阵满足下列运算规律： （ⅰ） (kl)A?k(lA)； （ⅱ） (k?l)A?kA?lA；

(ⅲ) k(A?B)?kA?kB. 三、矩阵的乘法

矩阵的乘法很独特，它的背景来自线性变换的乘法（又如教材P.30例1.某厂向三个商店发送四种产品的数量矩阵A，四种产品的单价及单件重量矩阵B，那么该厂向每个商店发送产品的总价及总重量，应该是两个矩阵A与B的乘积）.我们再通过一个具体例子来看矩阵的乘法是怎样规定的.

?2?例1 ?4???3?1???70????8?1???9?? 10?2?(?9)?(?1)?10??22??(?4)?(?9)?0?10??28??3?(?9)?1?10????13?28??36.

??17???2?7?(?1)?(?8)?:?(?4)?7?0?(?8)???3?7?1?(?8)由上例看到矩阵乘法有如下几个要点：

1）只有左矩阵的列数与右矩阵的行数相同时的两个矩阵才能相乘；

2）两个矩阵的乘积还是一个矩阵.乘积矩阵的(i,j)元等于左矩阵的第i行与右矩阵的第j列的对应元素乘积之和；

3）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数. 一般地，我们有

定义4 设A?(aij)m?s，B?(bij)s?n，那么规定：矩阵A与矩阵B的乘积是矩阵

s??C?(cij)m?n??k?1aikbk,(i?1,2?,,m;j?1,?2,jn,. )按此定义，一个1?s行矩阵与一个s?1列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数： ?b1j??b2j (ai1,ai2,?,ais)????b?sj????ai1b1j?ai2b2j???aisbsj?????s?ak?1ikbkj?cij.

例2 设 A??

?1??11??1,B????1???1?1?? 1?21

则 AB???1??11??1???1???1?1??1??1???1?1??0???1??01??2????1???20??, 0?2??. ?2? BA???1??1可见：矩阵的乘法不适合交换律.

所谓矩阵的乘法不适合交换律是指一般情形的，但对个别矩阵，也可能出现AB?BA，例如

??2?31??5??4??00??10???5??155??5???20??00??2??5??31??. 4?如果两个矩阵A与B满足 AB?BA。则称A与B是可交换的.

从例2还看到一个奇怪的现象：A?O,B?O,然而AB?O.即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，这也是与数的乘法不同的地方.由此还说明：若AC?BC,且C?O,一般推不出A?B.例如，不难验证有

??3?4?3?41??0??6??11??2???6??40??2???1??41??. 6?1??0??6??10?? 1?但是 ?这说明矩阵的乘法不适合消去律.

但矩阵的乘法适合以下规律：

1）结合律：(AB)C?A(BC)； 2)左分配律：A(B?C)?AB?AC； 右分配律：(B?C)A?BA?CA. 设A是n阶方阵，可以定义A的m次幂： AA??A， 其中?是正整数. A:?????m个m规定：A:?E,显然有： A?A?A0klk?l,(A)?A.

klkl3）对单位矩阵有：EA?AE?A;(可见单位阵E在矩阵乘法中起类似数1的作用. 4)矩阵

??? ?E????????，称为纯量阵. ?????? (scalar['skeil?] matrix['meitriks]）

22

?y1?a11x1?a12x2???a1nxn??y2?a21x1?a22x2???a2nxn对教材P.30例3所做的线性变换? （2）

?.........................................?y?ax?ax???axm11m22mnn?m亦可利用矩阵的乘法，记作

?x1??y1?????x2y2 Y?AX,其中A?(aij),X???,Y???.

??????????x?n??ym??cos?再参看教材P.38例6， 证明：??sin??sin???cosn????cos???sinn?n?sinn???.

cosn??

习 题 二

4.（1） （4） （5） 8.

第9，10讲

四、矩阵的转置（P.38）

定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵（transposition [,tr?nsp?'zi??n]），记作AT. 显然，若矩阵Am?n，则转置矩阵An?m.

矩阵的转置也是一种运算，，满足以下运算规律： （ⅰ） (A)?A；

(ⅱ) (A?B)?A?B； (ⅲ) (kA)?kA；

(ⅳ) (AB)?BA.（证明见教材P.39） 例3 设 ?1? A??2?4?0??2?3， B????45??1?TTT?， 求：AB,(AB),BA. 3?TTTTTTTTTTT 23

解 ?1? AB?2??4??2 (AB)???1T0???23??4?5??1611?21?????163???281??11； ?19??28??； 19?234??2???5??1161128??. 19? BA??TT?2?14??1??3??0设A是n阶方阵，如果满足AT?A,即aij?aji(i,j?1,2,?,n)，那么A称为对称矩阵，简称对称（symmetrical [si'metrik?l]）阵.对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等,例如

??1?1 ???2?1???3?121?3??1?是一个三阶对称阵. 2???1???112TT222例4（教材P.40例8）设列矩阵X?(x1,x2,?,xn)满足XX?x1?x2???xn?1（是一阶方阵，也就是一个数），E为n阶单位阵，H?E?2XXT,证明H是对称阵，且HHT?E.

T证明 H?(E?2XX)?E?2(XX)?E?2XXTTTTTT?H,

所以H是对称阵. HHT?H2?(E?2XX)

TTT2?E?4XX?E?4XX?4(XX)(XX)?4X(XX)XTTTT

?E?4XXT?4XXT?E.

五、方阵的行列式

定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作A.

24

A满足下述运算规律（设A,B为n阶方阵，k为数）：

（ⅰ） AT?A；

(ⅱ) kA?knA；

（ⅲ） AB?AB. （证见教材P.40?41）

定义6? 行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵的转置 ?A11?A12*? A?????A1nA21A22?A2n???An1??An2? ???Ann?称为矩阵A的伴随（with [wie]）矩阵，简称伴随阵，记作A*.

例5 设

?1? A??3???2?2015??4 ，求伴随阵A*. ?6??解 因为 A11?01?21?20465654??4, A12???32121?34656?26, A13??32121?301?21?20??3,

A21???17, A22???4, A23????5,

A31???8,A32??54??19,A33???6.

?417?4?5?8?19. ?6**所以 A?26?3*对方阵A及伴随阵A*有关系：AA?AA?AE. （证见教材P.41例9） 六、共轭矩阵 （参见教材p.41）

当A?(aij)为复数矩阵时，用aij表示aij的共轭复数，记A?(aij),A称为A的共轭矩阵.

§3 逆 矩 阵

25

有了矩阵的乘法后，可否定义矩阵的除法？为了弄清这个问题，先看数的除法与乘法的关系.设a与b都是数，且a?0，我们都知道

b?a?b?1a.

1a由此看出，有了数的乘法以后，要做数的除法，关键是除数a必须有倒数它的逆。显然只要a?0，a就有逆，且满足下式： a?1a?1a?a?1

，a的倒数称为

相仿地，能否进行矩阵的除法，关键是起着象“除数”那样作用的矩阵A有没有“逆”？即有没有一个矩阵B能使得AB?BA?E,为此引进以下定义：

定义7 对于方阵A，如果有一个方阵B，使得 AB?BA?E

则称A为可逆矩阵，并把B称为A的逆矩阵（inverse['in'v?:s] matrix['meitriks]），记作A?1?B,并且满足：AA?1?A?1A?E, 也称A,B互为逆矩阵，且逆矩阵唯一.

下面研究：什么样的矩阵是可逆矩阵？若果A可逆，怎样求A?1?

定理1 若矩阵A可逆，则A?0，即A为非退化（the [ei:, ei; e?, e] degradation [,degr?'dei??n]） 矩阵.

证明 因为A可逆，所以有逆矩阵A?1，且满足 AA?1?E 从而 AA?1?E 即 AA?1?1 所以 A?0.

定理2 若A?0,则矩阵A可逆，且

?1 A?1AA, 其中A*为矩阵A的伴随阵.

*证明 由教材例9知

AA?AA?AE 因 A?0，故有

26

**

A1AA?*1AAA?E

*所以，按逆阵的定义，即知A可逆，且有 A?1?1AA.

*当A?0时，A称为奇异（singular ['si?gjul?]）矩阵，否则称非奇异矩阵.由上面定理可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是A?0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵. 推论 若AB?E或BA?E,则B?A?1.

证明 AB?E?1,故A?0，因而A?1存在，于是 B?EB?(A?1A)B?A?1(AB)?A?1E?A?1. 方阵的逆阵满足下述运算规律：

（ⅰ）若A可逆，则A?1亦可逆，且(A?1)?1?A；

?1（ⅱ）若A可逆，数k?0，则kA可逆，且(kA)?1kA?1；

（ⅲ）若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 (AB)?1?B?1A?1； (ⅳ) 若A可逆，则AT亦可逆，且(A)T?1?(A).

?1T例6 求例5中A是否可逆，若可逆，求A?1. 解 因为

1?20154??71?0. 6 A??32所以，A可逆，且

??41*1??A?26?A?71???317?4?5?8???19.

??6?? A?1参见 ：教材P.44例12 解简单的矩阵方程 AXB?C. 解 若A,B?1?1存在，分别用A,B?1?1?1左乘，右乘上式，有

?1?1 AAXBB

?1?ACB?1?1?X?ACB.

27

P.45例13 方阵求幂.把A与可逆阵P与对角阵?联系起来.

习 题 二

11. （2）（4） 12.（2）（4） 20. 21. 26.

第11，12讲 §4 矩阵的分块法

对矩阵的行数和列数较高的矩阵A，运算时常采用分块法，使大型矩阵化成小矩阵,在运算时，把每个小块按“数”进行运算.我们将矩阵A用若干条纵线和橫线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵（partitioned [pɑ:'ti??n] matrix['meitriks]）.

例如将

?a11??a21???a31a12a22a32a13a23a33a14??a24 ?a34?? A3?4分成子块的分法很多，下面举出三种分块形式：

按教材P.46的分法（ⅰ）－（ⅲ）讲.

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下： 按教材P.47?49的（1）－（5）讲.

采用教材的例14，例15.

对矩阵分块时，有两种分块法应予特别重视，这就是按行分块和按列分块.

矩阵Am?n有m行，称为矩阵A的m个行向量（row[rau] vector ['vekt?]）.若i行记

T作 ?i?(ai1,ai2,?,aim)

??1T??T??2?则矩阵A便记为 A??

????T????m??

矩阵Am?n有n列，称为矩阵A的n个列向量（column['k?l?m] vector ['vekt?]），若

28

?a1j???a2j?， 第j列记作?j???????a??mj??则 A?(?1,?2,?,?n).

对于矩阵A?(aij)m?s与矩阵B?(bij)s?n的乘积矩阵AB?C?(cij)m?n，若把A 按行分成m块，把B按列分成n块，便有 ?a1T??T?a2 AB????b1,b2,?,bn??????T??am????a1Tb1?T?a2b1???T?amb1?a1b2a2b2?amb2TTT???a1bn??Ta2bn??(cij)m?n. ???Tambn??T以对角阵?m左乘矩阵Am?n时，把Am?n按行分块，有

??1??????TT??a1???1a1???T??T?a?a??2???22?. ??????????T??T?m??a?a?m?????mm? ?mAm?n?2?以对角阵?n右乘矩阵Am?n时，把Am?n按列分块，有

??1??n?(a1,a2,?,an)????????(?a,?a,?,?a).

1122nn???n? Am?n?2?对于线性方程组（P.51）

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2 （11） ?........................................??ax?ax???ax?bm22mnnm?m11

?x1??b1??a11?????x2b2a21记 A?(aij),X???,b???,B???????????????xb?n??m??am1a12a22?am2???a1na2n?amnb1??b2??(A?b). ???bm?其中A称为系数矩阵，X称为未知向量，b称为常数项向量，B称为增广矩阵.利用矩阵乘法，此方程组可记作:

AX?b （12）

29

如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组AX?b可记作: ??1T??b1??T???b?2?X??2? （13） ????????T???????bm??m?

习 题 二

13.（1） 28. 29.（2） 30.（2）

第13，14讲 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

本章先引进矩阵的初等变换和初等矩阵，建立矩阵秩的概念；然后利用矩阵的秩讨论线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法.

§1 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的研究中都起着重要的作用.为引进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子.

引例 求解线性方程组

?2x1?x2?x3?x4???x1?x2?2x3?x4? ??4x1?6x2?2x3?2x4?3x?6x?9x?7x234?12,4,?4,?9,(1)

(2)(3)(4)

解 为逐次消未知元x1,x2,x3，对方程组作如下变换：

?2x1?x2?x3?x4???x1?x2?2x3?x4???4x1?6x2?2x3?2x4?3x?6x?9x?7x234?12,4,(1)(2)?4,(3)?9,(4)?x1?x2?2x3?x4?4,??2x1?x2?x3?x4?2,(1)?(2)??????(3)?2?2x1?3x2?x3?x4?2,?3x?6x?9x?7x?9,234?1(1)(2)(3)(4) 30

?x1?x2?2x3?x4?4?x1?x2?2x3?x4?4,(1)(1)??1(2)?(3)0?2x?2x?2x?0(2)?(2)(2)??0?x2?x3?x4?0,234(3)?2(1)2 ??????(??????(3)?5(2)4)?3(1)(3)(4)?3(2)?0?5x2?5x3?3x4??6(3)?0?0?0?2x4??6,?0?3x?3x?4x??3(4)?0?0?0?x??3,(4)234?4?(1)?x1?x2?2x3?x4?4,?(2)?0?x2?x3?x4?0,(3)?(4) ?(???? ?4)?2(3)(3)0?0?0?x??3,4??(4)?0?0?0?0?0,最后消x4时，常数项也消去了，得到恒等式0＝0（如果常数项消不去，就得到矛盾方程 0＝1，则说明方程无解），然后采取“回代”的方法便可求出解： ?x1?x3?4? ?x2?x3?3

?x??3?4其中x3可任意取值，称自由未知量.

上述解方程组的变换过程中，实际上只是对方程组的系数和常数进行了三种运算：（1）交换某两行；（2）数乘某行；（3）某行的倍数加到另一行上，而未知数并未参与运算.

若记方程组的增广矩阵为：

?2?1B?(A,b)???4??3?11?66?1?22?911?272??4?, 4??9?那么上述对方程组的变换就可以转换为对矩阵B的变换，把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上就得到矩阵的初等变换.

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

ij??）（ⅰ） 两行互换（互换i,j行，记作??；

r?rk?rr?kk，?)； （ⅱ） 以数k?0乘（除）某一行的所有元素（第i行乘（除）记作???(???

ii（ⅲ） 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行

ij??）. 上，记作??r?k?r把定义中的“行”，换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换??等）. 成“c”，如互换i,j列，记作?c??cij矩阵的初等行变换和初等列变换，统称初等变换。

?B. 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称它们等价，记作A?c?r 31

矩阵之间的等价“?”关系具有：反身性、对称性和传递性.注意：教材把等价符号写为相似号，予以纠正.（P.59）

下面用矩阵的初等行变换来解引例所举的线性方程组，其过程可与方程组的消元过程一一对照： ?2?1? B? ?4??3?1?0??????0??0r2?r3r3?2r1r4?3r2?11?6612?531100?1?22?9?2?25?3?2?100111011?2712?342??1r1?r2??1r3?422??????

?24???9??34?r2?2?r3?5r204?3r2??r????6??3??1?0??0??01?1?361100?2?11?9?2?100112111?174??2? 2??9?4??0? ?6???3??1?r3?r40r4?2r3??????0??04??0?. ?3??0?方程组解的回代过程也可用矩阵的初等行变换来完成，即 ?1?0 ??0??01100?2?10011104??r1?r202?r3??r????3??0??1?0??0??00100?1?10000104??3? ?3??0?最后一个矩阵对应的方程组是：

?x1?x3?4? ?x2?x3?3， 取自由未知量x3?c（常数），即得

?x??3?4?x1??c?4??1??4?????????x2c?313????????. X???c??x3??c??1??0?????????x?3??0???3??4???1?0矩阵 ??0??01100?2?10011104??1??00? 和??0?3???0??00100?1?10000104??3?. ?3??0?都称为行阶梯形矩阵，特点：每行首非零元随列标的增加而增加.

阶梯形矩阵每行的首非零元是1且这些非零元所在列的其余元素全为0，称为行最简形矩阵.

用数学归纳法不难证明，对于任何矩阵Am?n，都可以经过有限次初等行变换化为行阶

32

梯形和行最简形矩阵.

对行最简形矩阵再施以初等列变换，可化为形状更简单的矩阵，称为标准形.例如

?1?0BS???0??0?1?0??c?????3?c4?0c4?c1?c2c5?4c1?3c2?3c3??0010001000010?1?100000000104??3? ?3??0?0??0? ?F. 0??0? 矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.

?Er对于Am?n矩阵，总可以经过初等变换化为标准形：F???OO?，其中r是行阶梯?O?m?n形矩阵中非零行的行数.

例1 设

?0? A?3????2?2031???2，把(A,E)化成行最简形. ?0??解

?0? (A,E)?3????2?3??0 ??????0r3?2r3?9r2?2030?200100011?20?211649019100104010r3?30?r3?2r2?r1?r2??0???1???3?0???00?290?20?21?4001180101029?440??0 ?3??12???6 ?6??0??3r1?2r3?r2?r3?0???? 0???3???0?89?1? ????0???0r1?3r2?(?2)3244???13?(E,A). ?6??上面最后一个矩阵即为矩阵(A,E)的行最简阵.

这里提供了求可逆矩阵A的逆矩阵的方法.（下节证明）

习 题 三

33

1.（1） （3） 2. 3.（2）

第15，16讲 §2 初 等 矩 阵

矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，下面进一步介绍有关知识. 定义2 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1.对换两行或对换两列

把单位阵中第i,j两行对换（或第i,j两列对换），得初等矩阵

?1???????E(i,j)???????????????第i行???????第j行??????1??01??11?01????1

用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘矩阵A?(aij)m?n，得 ?a11????aj1? Em(i,j)A????ai1????a?m1a12?aj2?a2?am2????a1n????ajn??第i行???ain??第j行???amn??

其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i行与第j行对换(ri?rj).类似地，以n阶初等矩阵En(i,j)右乘矩阵A，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A地第i列与第j列对换(ci?cj).

2.以数k?0乘某行或某列

以数k?0乘单位阵对第i行（或列），得初等阵

34

?1???? Em(i(k))????????1k1????????第i行???1??

可以验证：以Em(i(k))左乘矩阵A，其结果相当于以数k乘矩阵A的第i行(k?ri)；以Em(i(k))右乘矩阵A，其结果相当于以数k乘矩阵A的第i列(k?ci).

3.以数k乘某一行（列）加到另一行（列）上去

以k乘E的第j行加到第i行上或以k乘E的第i列加到的j列上，得初等矩阵

?1???? E(ij(k))????????????第i行????第j行??1???1??k?1?

可以验证：以Em(ij(k))左乘矩阵矩阵A，其结果相当于把矩阵A的第j行乘k加到第

i行上(ri?k?rj)，以Em(ij(k))右乘矩阵矩阵A，其结果相当于把矩阵A的第i列乘k加到

第j列上(cj?k?ci).

综上所述，可得下述定理：

定理1 设Am?n矩阵，对其施行一次初等行变换，相当于在Am?n的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对Am?n施行一次初等列变换，相当于在Am?n的右边乘以相应的n阶初等矩阵.

由初等变换可逆，得知初等矩阵可逆，于是得下定理. 定理2 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵

P1,P2,?,Pl,使A?P1P2???Pl.

（证见教材P.64）

?E. 推论 1 方阵A可逆的充分必要条件是A与它的单位阵等价，即A??r推论2 Am?n矩阵与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵

35

Q使PAQ?B.

设有n阶矩阵A，及n?s矩阵B，求矩阵X使AX?B，如果A可逆，则X?A?1B，而当A可逆时，据定理2，有初等矩阵P1,P2,?,Pl使A?P1P2?Pl,从而A?1?Pl?1?P1?1，记Pk?1?Qk,则Qk也是初等矩阵.于是

Ql?Q1A?E ① Ql?Q1B?A?1B ② 如用分块矩阵表示上两式，则合并为 Ql?Q1(A,B)?(E,A?1B),

?1特别地，当B?E时，(A,E)?r??(E,A)，这便是上节例1所提出的结论,这也得到

求逆矩阵的第二种方法.

对n个未知数n个方程的线性方程组

AX?b

?1如果增广矩阵B?(A,b)?r??(E,X),则X=Ab，是方程组的唯一解.

例2 设 ?2? A?1????1123?3??1???1???????2,b1?2,b2?0, ???????2????2???5??求线性方程组AX1?b1和AX2?b2的解。

解 本题是相同系数矩阵的向量方程与矩阵方程的联系.

记X?(X1,X2),b?(b1,b2)，则上两个线性方程组可合并为一个矩阵方程：

AX?b，为把增广矩阵化为化成行最简形，即行简化阶梯形：

?2? (A,b)?1????1?1??0 ??????0r3?r2r2?5r3?3r2123210?3?22?20112?220?3?1?r1?r2?1r2?2r1?r3?r2?0???? 0???5???00??r1?2r2?2r31??????2??2?35?2102?300???1 ?5???1?0???0010001?40?32??1. ?2?? 36

??4??1可见， A化为单位阵的同时，b化为X?Ab?0???32??1， ?2??于是原来两个线性方程组的解分别为： ??4??2????? X1?0,X2?1.

???????3???2???2?例3 求解矩阵方程AX?A?X,其中 A?2???02110??3. ?0??解 把方程变形为(A?E)X?A ?1? (A?E,A)?2???0?1?????0???0r3?4r2r3?(?1)20121003?10?1122020221121?10??1r2?2r1?r2?r3?3???? 0???0???00?r2?r3?r1?r20??????3???1?0???021?40100010?13?22220?220?121?30??0 ?3??6???3. ??3??由于A?E化为单位阵，因此A?E可逆，且

??2??1 X?(A?E)A?2???220?16???3. ??3??

习 题 三

4.（2） 5.

第17，18讲 §3 矩 阵 的 秩

为了计算向量组的秩，并彻底解决从原方程组的系数和常数项判断线性方程组有无解以及解的结构问题，都需要用到“矩阵的秩”的概念，它是线性代数中非常有用的一个概念.

定义3 设A是一个m?n阶矩阵，取它的k行与k列(k?min(m,n))，位于这些行列交叉处的k个元素，不改变它们在A中的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶

2 37

kk子式.这样的子式共有Cm?Cn个.

定义4 矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩（rank [r??k]）.记作rank(A),或R(A).并规定：rank(0)?0.

显然，0?R(A)?min?m,n?,R(A)?R(A);

Tn阶可逆矩阵A的秩等于矩阵的阶数，因此可逆矩阵又称满秩矩阵.

例4 求矩阵A,B的秩，其中

?23??0??5,B????0?1???0?130001003?240?2??5?. ?3??0?1223?0，

?1? A?2???4237解 A的3阶子式只有一个，经计算知A?0，但有一个2阶子式

因此 rank(A)?2. B是一个阶梯形矩阵，有3个非零行，它的4阶子式全为零.而它的3阶子式是一个上三角形行列式 ?2? 0???0?1303???2?24?0 故rank(B)?3. ?4??对一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很繁的.由上例看到，对于阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知母须计算.因此自然想到用初等行变换把矩阵

化为阶梯形矩阵，但两个等价矩阵的秩是否相等呢？下面定理对此作出肯定的回答.

定理3 若A?B，则R(A)?R(B). （证见教材P.68）

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形，其非零行的行数（台阶数）即该矩阵的秩.

例5 设 ?3?3? A??2??12?206031?4565?10???1?, ?3??4?求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶子式.

38

解 先求A的秩，为此对A作初等行变换化为阶梯形矩阵： ?3?3 A???2??1?1?r3?3r20r4?4r2??????0??02?2066?400031?4?4300565?1?11440?r1?r4r?r?r32?24r1?14?3r1??r????3??4?4???14?r3??r????8???8??1?0??0??0?1?0??0??06?4?12?166?400?43912?4300?1178?11404???1? ?11???12?4???1?. ?8??0?因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以R(A)?3.

再求A的一个最高阶非零子式，A的最高阶子式为3阶，而3阶子式共有C43?C53?40个，从中去找非零子式很繁.考察A的阶梯形矩阵为：

?1?0A0???0??06?400?1??1?,R(A)?3，A的3阶子式有4个，计算它的前3行，第1、2、4

004??0?32?20565r2?r1362200511??25列在A中构成的子式 32?62115?0,

因此它便是A的一个最高阶非零子式.

?1?2例6 设 A????2??3?2?44?628?20?1??1????02?,b???，

?3?3?????6??4?求矩阵A及矩阵B?(A,b)的秩.

解 对矩阵B作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵： ?1?2B?(A,b)????2??3?2?44?628?20?103?61?r?2r?r32?2r1124?3r3??r????3?4??1?0??0??0?2000242?6?121?31??0? 5??1? 39

?1?02??????0??0r2?2r3?r2r4?3r?20002200?11001??r3?504?r3??r???5??1??1?0??0??0?20002200?11001??0?， 1??0?由此， R(A)?2,R(B)?3.

本例中的A与b是所对应的线性方程组Ax?b的系数矩阵和常数项，而B是其增广矩阵，由它的阶梯阵的第3行是0＝1，对应的矛盾方程是0x4?1，故方程组Ax?b是无解的.

?1?例7 设 A?3???5?1??0解 A??????0r2?3r3r3?5r1?11?1?3?1?2??2，已知R(A)?2,求? 与?的值. ?6??1?42??1?r3?r??4??2?? 0????4???0?11?42???4， ?0????38??35????5??1因R(A)?2，故

?5???0???5,即?

???1?0???1 ?下面讨论矩阵秩的性质：

见教材P.70－71的 ①??⑧

例8 设A为n阶方阵，证明R(A?E)?R(A?E)?n. 证明 因(A?E)?(E?A)?2E,由性质⑥，有 R(A?E)?R(E?A)?R(2E)?n，

而 R(E?A)?R(A?E),?R(A?E)?R(A?E)?n.

习 题 三

9.（2）（3） 10. 11. （2） 第19，20讲 §4 线性方程组的解

对于线性方程组

40

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2 ?， （1）

?......................................?ax?ax???ax?bm22mnnm?m11?x1??b1??a11?????x2b2a21?????,b?,B?记 A?(aij),X??????????????xb?n??m??am1a12a22?am2???a1na2n?amnb1??b2??(A?b). ???bm?其中A称为系数矩阵，X称为未知向量，b称为常数项向量，B称为增广矩阵.利用矩阵乘法，此方程组可记作

AX?b （2）

如果有解，就称它是相容（compatible [k?m'p?t?bl]）的，如果无解，就称它不相容.利用它的系数矩阵A和增广矩阵B?(A,b)的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解以及有解时是否唯一等问题，其结论是：

定理4 n元线性方程组AX?b

（ⅰ） 无解的充分必要条件是R(A)?R(A,b)； （ⅱ） 有唯一解的充分必要条件是R(A)?R(A,b)?n； （ⅲ） 有无穷多解的充分必要条件是R(A)?R(A,b)?n. 证明 见教材P.72－73.

定理4的证明过程给出了求解线性方程组的步骤，这个步骤在第一节的引例中已显示出来，现将它们归纳如下：

（ⅰ）对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B化为阶梯形后，

若R(A)?R(A,b)?R(B),则方程组无解；

（ⅱ）若R(A)?R(B)，则进一步把B化成行简化阶梯形（行最简形），而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行简化阶梯形；

（ⅲ）若R(A)?R(B)?r，把行简化阶梯形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知量，其余n?r个未知数取作自由未知量，并令自由未知量分别等于

c1,c2,?,cn?r，由B(或A）的行简化阶梯形，即可写出含n?r个参数的通解.

例9 求解齐次线性方程组

41

?x1?2x2?2x3?x4?0? ?2x1?x2?2x3?2x4?0.

?x?x?4x?3x?0234?1 解 对系数矩阵A施行初等行变换化为行简化阶梯形： ?1? A?2???121?12?2?41?r2?2r1?r3?r1?2??????3????1?r1?2r2?????0??0????1?0???00102?3?3?2202?6?6?1???4 ??4???1?r3?r2r2?(?3) ?????0??0?2102201??4?3?0??5?3??4?. 3??0??? 即得与原方程组同解的方程组

55??x?2x?x?0x?2x?x413413????33 ?， 由此即得 ?，

44?x?2x?x?0?x??2x?x234234??33??令自由未知量x3?c1,x4?c2，把方程组的解写成通常的参数形式：

5?x?2c?c21?13?4?x??2c?c2，其中c1,c2为任意实数.也可写成向量形式（略）. ?213?x3?c1??x4?c2?例10 求解非齐次线性方程组 ?x1?2x2?3x3?x4?1? ?3x1?x2?5x3?3x4?2.

?2x?x?2x?2x?3232?1 解 对增广矩阵B施行初等行变换，

?1?B?(A,b)?3???2?2?11352?1?3?21?r2?3r1?r3?2r22?????3???1?0???0?2553?4?4?1001???1 ?1?? 42

?1r3?r2?????0???0?2503?40?1001???1， ?2??可见 R(A)?2?R(B)?R(A,b)?3. 故原方程组无解. 注 例9，例10是解线性方程组的“标准程序”.

例11 求解非齐次线性方程组 ?x1?x2?3x3?x4?1? ?3x1?x2?3x3?4x4?4。

?x?5x?9x?8x?0234?1解 对增广矩阵施行初等行变换， ?1? B?3???11?15?3?3?9?14?81?r?3r12?r3?r14?????0???1?0???01?44010?36?6??3232?17?734?741??1 ??1??5?4??1??.

?4?0????1?r3?r2r2?(?4) ?????0??0?110?3?32?1?74001??1??4?0????1?r1?r2?????0??0???00即得原方程组的解

33?x?x??1234x4??37? ?x2?x3?x4?24?x3?x3??x4?x4?5414，

向量形式解为：

?3??3??5??2???4??4??x1?????????x2371????????c2? ???c1，(c1,c2?R) ?2??4??4??x3?????????100x???????4????0???1????0??

43

例12 设有线性方程组

?(1??)x1?x2?x3?0? ?x1?(1??)x2?x3?3

?x?x?(1??)x??23?1问?取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时，

求其通解.

解 一 对增广矩阵施行初等行变换将其化为阶梯形，有 ?1???1 B????1?1??????0???0r2?r1r3?(1??)r111??11111??1????0??r1?r33??????????3?????(1??)???1?1???1??11??11??11???3 ?0??????1

??(2??)1??????(3??)?1r3?r2?????0???0?0??3??.

?(1??)(3??)??? （1）当??0且???3时，R(A)?R(B)?3,方程组有唯一解；

（2）??0时，R(A)?1,R(B)?2,方程组无解；

（3）???3时，R(A)?R(B)?2，方程组有无穷多个解，这时 ?1?r?0 B?????01?30?230?3??r6????0???1?0???0010?1?10?1???2 ?0??由此便得通解

?x1??1???1?x?x?1?13?????? ?，x3为自由未知量.即 x2?c1??2,(c?R).

???????x2?x3?2???x3???1????0??解二 因系数矩阵为方阵，故方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式A?0,而

1??11??1111??c1?c2?c311111?? A?11?(3??)11??11

44

r2?r1r3?r11(3??)00110?(3??)?.

2

??0?因此，当??0且???3时，方程组有唯一解； 当?＝0时， ?111? B?111???1110??r3????0???1?0???01001000??1 ?0??知R(A)?1,R(B)?2,故方程组无解； 当???3时， ??2? B?1???11?2111?20??r3?????3???1?0???0010?1?10?1???2. ?0?? 知R(A)?R(B)?2,故方程组有无穷多个解，且通解为 ?x1??1???1??????? x2?c1??2.(c?R)

?????????x3???1????0?? 注 以上是应用定理4解带参数的方程的两种方法. 解二较简单，但只适用于系数矩阵为方阵的情形.

由定理4容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理：

定理5 线性方程 组AX?b有解的充分必要条件是：R(A)?R(A,b).

定理6 n元齐次线性方程组AX?0有非零解的充分必要条件是：R(A)?n. 把定理5推广到矩阵方程有下面定理：

定理7 矩阵方程AX?B有解的充分必要条件是：R(A)?R(A,B). 定理8 设AB?C，则R(C)?min?R(A),R(B)?. 把定理6也可推广为：

定理9 矩阵方程Am?nXn?l?0只有零解的充分必要条件是：R(A)?n.

习 题 三

12.（1）（3） 13.（2） 15. 17.

45

第21，22讲 第四章 向量组的线性相关性

本章是介绍线性代数的几何理论.把方程组的理论“翻译”成几何语言（或向量语言），

即得本章理论.因此，学习本章理论要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间的转换.

§1 向量组及其线性组合

定义1 n个数组成的一个有序数组 ?T?(a1,a2,?,an)

称为n维行向量，其中第i个数ai称为这个向量的第i个分量.

今后用希腊字母?,?,?,?表示向量（vector ['vekt?]）（手写不用黑体小写拉丁字母，而用拉丁字母a,b,c,?表示数. a,b,?）

?a1???a2??. n维列向量表作 ????????an?从2维向量的全体组成的2维向量“平面”?2，到3维向量的全体组成的3维向量“空间” ?3（这里R用花体字）

类似地，n维向量地全体所组成地集合叫做n维向量“空间” ?n.

注意 这里的向量空间与解析几何中的三维欧氏空间不同，前者只有加法与数乘运算，没有内积（数量积）等，因此丧失长度，两向量夹角等运算.

若干个同维的行向量或列向量所组成的集合叫向量组.例如m个n维列向量组成的向量组A:?1,?2,?,?m构成一个n?m矩阵，

A???1,?2,?,?m?，

TTT

m个n维行向量组成的向量组B:?1,?2,?,?m构成一个m?n矩阵， ??1T?T?2 B?????T??m???? ????因此，含有有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应.

定义2 给定向量组?:?1,?2,?,?n，对于任何一组实数k1,k2,?,kn,表达式

46

k1?1?k2?2???kn?n

称为向量组?（大写希腊字母）的一个线性组合，k1,k2,?,kn,称为这个线性组合的系数.

给定向量组?:?1,?2,?,?m，和向量?，如果存在一组数k1,k2,?,km,，使 ?＝ k1?1?k2?2???kn?m，

则向量?是向量组?:?1,?2,?,?m的线性组合，这时称向量?能由向量组

?:?1,?2,?,?m线性表出（表示）.

向量?能由向量组?线性表出，也就是方程组 ?1x1??2x2????nxn??

有解，即向量?能由向量组?:?1,?2,?,?m线性表出的充分必要条件是：以

?:?1,?2,?,?m为系数列向量，以?为常数项向量的线性方程组有解.

由上章定理5，立即可得

定理1 向量?能由向量组?:?1,?2,?,?m线性表出的充分必要条件是：矩阵

??(?1,?1,?,?m)的秩等于矩阵??(?,?)的秩，即rank(?)?rank(?).

定义3 设由两个向量 组?:?1,?2,?,?m及?:?1,?2,?,?l，若?（大写希腊字母）组中的每个向量都能由向量组?线性表出，则称向量组?能由向量组?线性表出，若向量组?，与向量组?能相互线性表出，则称这两个向量组等价，记作???.

把向量组?和?所构成的矩阵依次记作A?(?1,?2,?,?m)及B?(?1,?2,?,?l)，?组能由?组线性表出，即对每个向量?j(j?1,2,?,l)存在数k1j,k2j,?,kmj，使

?k1j???k2j?， ?(?1,?2,?,?m)??????k??mj??k12k22?km2???k1l??k2l?， ???kml? ?j?k1j?1?k2j?2???kmj?m?k11?k21?(?,?,?,?)从而 (?1,?2,?,?l ）＝12m????km1这里，矩阵Km?l?(kij)称为这一线性表出的系数矩阵.

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由此可知，乘积矩阵Cm?n?Am?lBl?n，则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表出，B为这一表出的系数矩阵：

?b11?b21? (?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?l)????bl1??1T??a11?T???2??a21??

??????T????m???am1?a1l???1T??Ta2l???2??????Taml????lb12b22?bl2???b1n??b2n?； ???bln?同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表出，A为 这一表出的系数矩阵：

a12a22?am2??????. ????同样，矩阵A?B（等价），则矩阵B的行（列）向量组能由A的行（列）向量组线性

表出，于是A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价.

向量组的线性组合、线性表出及等价，也可移于线性方程组.

按定义3，向量组?:?1,?2,?,?l能由向量组?:?1,?2,?,?m线性表出，其涵意是存在矩阵Km?l,使(?1,?2,?,?l)?(?1,?2,?,?m)K,也就是矩阵方程

(?1,?2,?,?m)X?(?1,?2,?,?l) 有解.由上章定理7，立即可得

定理2 向量组?:(?1,?2,?,?l)能由向量组?:(?1,?2,?,?m)线性表出的充分必要条件是：矩阵??(?1,?2,?,?m)的秩等于矩阵(?,?)?(?1,?2,?,?m,,?1,?2,?,?l)的秩，即R(?)?R(?,?).

推论 向量组?:(?1,?2,?,?m)与向量组?:(?1,?2,?,?l)等价的充分必要条件是： R(A)?R()?R(A,B). 其中A和B是向量组?和?所构成的矩阵.

?1??1??1??1?????????12?10例1 设 ?1???,?2???,?3???,????,

?2??1??4??3??????????2??3??0??1?证明向量?可能由向量组?1,?2,?3线性表出，并写出表达式.

证明 根据定理1，要证矩阵A?(?1,?2,?3)与B?(?,?)的秩相等.为此，把B化成行

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简化阶梯形：

?1?1B???2??212131?1401?r?r?r32?21r104?2r1??r???3??1??1?0??0??011?111?22?21???1???r??1???1??1?0??0??001003?2002???1?. 0??0?可见R(A)?R(B),因此，向量?能由向量组?1,?2,?3线性表出

?a1x1a2x2+a3x3=b有解.

由上列行最简形，可得方程

??3???(?1,?2,?3)X??的通解为：X?c2?????1???2???3c?2??????1?2c?1 ??????c?0?????从而得表达式

??(?1,?2,?3)X?(?3c?2)?1?(2c?1)?2?c?3. 其中c可任意取值.

?1??3??2??1??3????????????1101?1例2 设 ?1???,?2???,?1???,?2???,?3???,

?1??1??1??0??2????????????1312?????????0?证明向量组?1,?2与向量 组?1,?2,?3等价.

证明 记A?(?1,?2),B?(?1,?2,?3)，根据定理2的推论， 只要证R(A)?R(B)?R(A,B),为此把矩阵(A,B)化成行阶梯形： ?1??1(A,B)???1???13113201111023???1??r??2??0??1?0??0??034?2622?1312?133??2??r???1??3??1?0??0??03200210011003??1?. 0??0?可见，R(?)?R(?,?)?2.

容易看出矩阵B中有不等于零的2阶子式，故R(B)?2，又，R(B)?R(A,B)?2,于是知R(B)?2，因此R(A)?R(B)?R(A,B),即向量组?1,?2与向量 组?1,?2,?3等价.

定理3 设向量 组?:?1,?2,??l能由向量 组?:?1,?2,?,?m线性表出，则

R((?1,?2,??l)?R(?1,?2,?,?m).

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定理1，2，3之间的对应是向量组与矩阵的对应.

例3 设n维向量组?:?1,?2,?,?m构成n?m阶矩阵A?(?1,?2,?,?m)，n阶单位矩阵E?(e1,e2,?,en)的列向量叫做n维单位坐标向量，证明：n维单位坐标向量组

e1,e2,?,en能由向量组?线性表出的充要条件是：R(?)?n.

证明 根据定理2，向量组e1,e2,?,en能由向量组?:?1,?2,?,?m线性表出的充分必要条件是R(?)?R(?,E).

而R(?,E)?R(E)?n,又矩阵(?,E)含n行，知R(?,E)?n，合起来有R(?,E)?n，因此条件R(?)?R(?,E)?n.

习 题 四

2. 3. 4.

第23，24讲 §2 向量组的线性相关性

定义4 给定向量组?:?1,?2,?,?m(m?2)，如果存在不全为零的数k1,k2,?,km，使得

k1?1?k2?2???km?m?O（向量） （1）

则称向量组?:?1,?2,?,?m是线性相关（linearly dependent [di'pend?ns]）的，否则称线性无关（linearly independent [indi'pend?nt]）（只有系数k1,k2,?,km全为零，才能使（1）式成立）.

线性相关的向量组的特点是：它除了有系数全为零的线性组合是零向量外，还可以有系数不全为零的线性组合也是零向量.

m?1时，??0时线性相关.??0时线性无关.

m?2时?1,?2线性相关?分量对应成比例，几何意义是共线. m?3时是?1,?2,?3共面.

线性相关与几何语言的联系：

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