包含与排除 - 图文

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涉及互相重复的两类或三类对象的计数问题．解题可利用计算所有对象总个数的容斥原理，以及图示包含与排除关系．

1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?

【分析与解】 至少参加一个小组的同学有15+18-10=23人，所以有40-23=17人两个小组都不参加．

2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?

【分析与解】 数学、语文至少有一门得满分的学生有45-29=16人．所以语文成绩得满分的有16-10+3=9人．

3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，?，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?

【分析与解】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：

第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．

?50??50? 1?50之间，4的倍数有??=12,6的倍数有??=8，即是4的倍数又是6的倍数的

?4??6??50?数一定是12的倍数，所以有??=4．

?12?于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师．

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4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多 少支?

?100??100? 【分析与解】 1～100，2的倍数有?=50，3的倍数有=33个，因为既是2???23?????100?的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有?=16个． ??6? 于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33． 所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：

50×2+33×3+33×1=232支.

5. 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?

【分析与解】 只需先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数．

从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．

?180??180? 有1～180，3的倍数有?=60个，4的倍数有=45个，而既是3的倍数，又????3??4??180?是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有?=15个． ?12??注意到180厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以绳子被剪成89+1=90段．

6. 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?

【分析与解】 将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，

那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15-25)÷2=3幅．

7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数

23的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片

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学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：62164116 一共有多少张?

【分析与解】 设这些卡片的总数为“1”，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数．

\\??15?\，解得“1”对应36张． 所以有34即这些卡片一共有36张．

8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?

?1000??1000? 【分析与解】 l～1000之间，5的倍数有?=200个，7的倍数有=142个，????5??7??1000?因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有?=28个． ?35??所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．

9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数． 【分析与解】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C．

A=25，B=35，C=27，B?C=12，A?B =8，A?C=9，A?B?C=4. A?B?C=A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C.

所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．

即这个班有62人．

10．如图8-1，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．

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【分析与解】 设甲圆组成集合A，乙圆组成集合B，丙圆组成集合C．

A?B?C=30，A?B=6，B?C=8，A?C=5，A?B?C=73，

而A?B?C=A?B?C?A?B?B?C?A?C?A?B?C.

有73=30×3-6-8-5+A?B?C，即A?B?C=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．

那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．

11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．

【分析与解】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合G．三者都参加的学生有z人．

有A?B?C=46，A=24，B=20，C=3.5，A?C=7A?B?C，B?C=2A?B?C，

A?B=10． 因

为

A?B??C?A?B??CA??B?A?所?以C，??BCAB46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都参加的有3人．

那么参加文艺小组的有3?7=21人．

12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?

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学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：62164116 【分析与解】 设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．

A=33, B=44，C=55，A?B=29，A?C=25，B?C=36．

本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可． A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C,当A?B?C最大时，

A?B?C有最大值.

也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多． 而A?B?C最大不超过A、B、C、A?B、B?C、A?C 6个数中的最小值，所以A?B?C最大为25．

此时A?B?C=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．

13．如图8-2，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?

【分析与解】 如下图，下图中“?”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“?”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．

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14．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?

【分析与解】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；

欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端。于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．

15．甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?

【分析与解】 只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；

欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．

评注：注意与14题的区别，本题中必须是从一端连续的排下去，而14题没有要求连续．

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14．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?

【分析与解】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；

欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端。于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．

15．甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?

【分析与解】 只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；

欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．

评注：注意与14题的区别，本题中必须是从一端连续的排下去，而14题没有要求连续．

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