3-4 大样本区间估计

更新时间:2023-07-22 15:48:01 阅读量: 实用文档 文档下载

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第三章 参数估计 对未知参数 作区间估计就是确定两个统计量

1 ( x1 , x2 ,使得P 1 ( x1 , x2 ,0 1

, xn ) 2 ( x1 , x2 ,

, xn ), xn ) 1

, xn ) 2 ( x1 , x2 ,

是预先给定的数.

称随机区间 1 , 2 为 的置信水平(可靠性)为1 的置信区间。

第三章 参数估计 区间估计: P 1 ( x1 , x2 , , xn ) 2 ( x1 , x2 , , xn ) 1 大样本估计 小样本估计 极限分布 精确分布 n>=50 n无要求 任意总体 正态总体 N , 2 W

2

回顾:随机变量 X 具有数学期望 ,方差 0 X 则称 Y 为X的标准化变量. 由中心极限定理,若 X1 , X 2 , , X n 独立同分布,则2

Xk 1

n

k

n 近似

n

~ N (0,1)

Xk 1

n

k

近似

~ N n , n

2

1 n Xk 2 n k 1 ~ N (0,1) X ~ N , 近似 近似 n / n 目 录 前一页 后一页 退 出

第三章 参数估计 3.2大样本估计(n>=50,对总体的分布无要求,用极 限分布进行参数的区间估计)

极限分布1(中心极限定理)

设X 1 , , X n , 独立同分布的随机变量 序列,且

EX k ,DX k 2 0, (k 1,2, )EX , DX X

2n

,

X ~ N (0,1), ~ N (0,1) 近似 S 近似 n n

第三章 参数估计 3.2大样本估计(n>=50,对总体的分布无要求,用极 限分布进行参数的区间估计) 3.2.1 用极限分布1 对总体均值进行区间估计 设 ( x1 , x2 , , xn )为抽自均值为 方差为 σ 2 的总体的简单 ( x) 随机样本则有:U X

近似

~ N (0,1)

2-Uα

2Uα

n

0< <1,

U , P U U

P U U 1 -

( x)1.645 0.10 P U 1.960 0.05 0.01 2.576 P U U 1 - 2-Uα

2Uα

P X - U / n 1- P X U / n X U / n 1-

X P U 1- / n

n n 是 的置信度为 1 的置信区间 .

随机区间

[X -U

, X U

]

第三章 参数估计

P X U / n X U / n 1-

的点估计为 x

绝对误差限为 Δ = U α

σ n

相对误差限为 精度为 A = 1 - Δ'可靠性为 1 - α 的区间估计为∶

Δ U α Δ = = x nx

x - Δ

x + Δ

2 当总体方差 未知时,用样本方差代替总体方差

1 n 2 2 ( X X ) n 1 i 1 i

是一致估计.

当总体方差 2 未知时,

X U ~ N (0,1) S 近似 n X P U 1- S/ n

P U U 1 -

S P X - U

1- n

P X U S / n X U S / n 1-

随机区间

[X -U

S n

, X U

S n

]

是 的置信度为 1 的置信区间 .

第三章 参数估计 例3.1. 设采用重复抽样从某林地的全部林木组成的 总体抽取了 n 60株林木组成样本,样本的树高观测 数据如下(单位∶m)22.3 21.2 19.2 16.6 23.1 23.9 24.8 26.4 26.6 24.8 23.9 23.2 23.8 21.4 19.8 18.3 20.0 21.5 18.7 22.4 26.6 23.9 24.8 18.8 27.1 20.6 25.0 22.5 23.5 23.9 25.3 23.5 22.6 21.5 20.6 25.8 24.0 23.5 22.6 21.8 20.8 19.5 20.9 22.1 22.7 23.6 24.5 23.6

21.0 21.3 22.4 18.7 21.3 15.4 22.9 17.8

试以95%的可靠性对该林地上的全部林木的平均高 进行估计。

21.7 19.1 20.3 19.8

第三章 参数估计 解:计算样本的均值、均方差并查表x = 22.145, S = 2.524U0.05 = 1.96

的点估计为

x = 22.145S n = 1.96 2.524 60 = 0.639

绝对误差限为 Δ = U 0.05相对误差限为

Δ 0.639 Δ = = = 0.029 x 22.145

精度为 A = 1 - Δ' = 1 - 0.029 = 0.971 的区间估计为∶

x - Δ,

x + Δ

= [22.145 - 0.639, 22.145 + 0.639] = [21.506, 22.784]

第三章 参数估计 例1续 欲使估计精度提高到98%,问应至少再抽多 少个样本单元? U α S 1.96 2.524 = 124.76 A = 1 n= = x n (1- A) x 1- 0.98 22.145 2 2

Uα S

需要再抽取125-60=65

第三章 参数估计置信度、置信区间、精度、样本容量之间的关系?

1-α

Δ = Uα

σ n

Δ U α Δ = = x nx

A = 1 - Δ'

(1)置信区间不唯一,在置信度固定的条件下,置信 区间越短,估计精度越高. (2)在置信度固定的条件下,n 越大,置信区间越短,估 计精度越高. (3)在样本量 n 固定时,置信度越大,置信区间越长, 估计精度越低. (4)在固定置信度时,要提高估计精度,就要增大样本 量 n.

第三章 参数估计

极限分布2 (中心极限定理)设X 1 , , X n , , 独立同分布的随机变量 序列, X i ~ B(1, p), 则中心极限定理:EX i p, DX i p(1 p ) p(1 p ) EX p, DX , n X p ~ N (0,1) p(1 p ) 近似 n

X

w,

p W

例如,调查电视收视率。共需调查n户家庭,其 中收看该电视节目的家庭数m是随机变量。设

X1 , X 2 ,

, X n 表示每户人家是否收看该节目。,nDm np(1 p)

m X i ~ B( n, p)i 1

n

1, 收看 Xi , i 1, 2, 0, 未收看Em np

若n充分大,则由中心极限定理m X i ~ B( n, p) ~ N ( np, np(1 p))i 1 n 近似

m X i ~ B( n, p) ~ N ( np, np(1 p))i 1

n

近似

所以

m np np(1 p)

m p n

Xi 1

n

m p 近似 n ~ N (0,1) p(1 p) n

i

n

X, 有

p p p(1 p) n近似

近似

~ N (0,1)

或者令

X

w,

p W

w W W (1 W ) n

~ N (0,1)

三章 参数估计

3.2.2

~ W 1 - W /n

用极限分布2 对总体频率进行区间估计 近似 w -W ( x) N 0, 1 2-Uα

w -W P Uα = 1 - α W 1 - W /n

2Uα

m w= 代替 W n

,

w W w (1 w ) n

近似

~ N (0,1)

P | w - W | U α w 1 - w /n = 1 - α

P w - Uα w 1 - w /n W w + U α w 1 - w /n = 1 - α

P w - Uα w 1 - w /n W w + U α w 1 - w /n = 1 - α

第三章 参数估计

Δ = U α w 1 - w /n

Δ Δ = w

A = 1 - Δ'

1-α

w - Δ

w + Δ

为估计某针阔混交林中阔叶林所占的比例W,抽取200个观

测点作观测,结果有68个点为有阔叶林的林地. 试以95%的可靠性给出W区间估计.

第三章 参数估计解:计算样本的频率并查表W 的点估计为

w = 0.34w(1 - w ) = 1.96

U0.05 = 1.960.34 0.66 200

w = 0.34Δ = U0.05 n Δ 0.065 Δ = = 0.1912 w 0.34 = 0.065

绝对误差限为 相对误差限为 精度为

A = 1 - Δ' = 1 - 0.1912 = 0.8098

W 的区间估计为

w - , w + = 0.34 - 0.065,

0.34 + 0.065 = 0.275, 0.405

第三章 参数估计在上例中如要求估计精度提高为90%,可靠性仍为95%,问至少还需再抽取多少个样本?

(1 - w )w 1 A 1 - 1 - U w n w U 1 - w 1.96 1 - 0.34 n 745.7 (1 - A) w (1 - 0.9) 0.34需要再抽取746-200=5462 2

第三章 参数估计区间估计: 大样本估计P 1 ( x1 , x2 , , xn ) 2 ( x1 , x2 , , xn ) 1

X 近似 ~ N (0,1) n 近似 X ~ N (0,1) s n w W近似

x U / n x U / n x U s / n x U s / n

W

w(1 w ) w(1 w ) ~ N (0,1) w U w U n n w(1 w ) n

第三章 参数估计

作业:习题3:1,2,3,8, 11,13

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/2zzm.html

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