3-4 大样本区间估计
更新时间:2023-07-22 15:48:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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第三章 参数估计 对未知参数 作区间估计就是确定两个统计量
1 ( x1 , x2 ,使得P 1 ( x1 , x2 ,0 1
, xn ) 2 ( x1 , x2 ,
, xn ), xn ) 1
, xn ) 2 ( x1 , x2 ,
是预先给定的数.
称随机区间 1 , 2 为 的置信水平(可靠性)为1 的置信区间。
第三章 参数估计 区间估计: P 1 ( x1 , x2 , , xn ) 2 ( x1 , x2 , , xn ) 1 大样本估计 小样本估计 极限分布 精确分布 n>=50 n无要求 任意总体 正态总体 N , 2 W
2
回顾:随机变量 X 具有数学期望 ,方差 0 X 则称 Y 为X的标准化变量. 由中心极限定理,若 X1 , X 2 , , X n 独立同分布,则2
Xk 1
n
k
n 近似
n
~ N (0,1)
Xk 1
n
k
近似
~ N n , n
2
1 n Xk 2 n k 1 ~ N (0,1) X ~ N , 近似 近似 n / n 目 录 前一页 后一页 退 出
第三章 参数估计 3.2大样本估计(n>=50,对总体的分布无要求,用极 限分布进行参数的区间估计)
极限分布1(中心极限定理)
设X 1 , , X n , 独立同分布的随机变量 序列,且
EX k ,DX k 2 0, (k 1,2, )EX , DX X
2n
,
X ~ N (0,1), ~ N (0,1) 近似 S 近似 n n
第三章 参数估计 3.2大样本估计(n>=50,对总体的分布无要求,用极 限分布进行参数的区间估计) 3.2.1 用极限分布1 对总体均值进行区间估计 设 ( x1 , x2 , , xn )为抽自均值为 方差为 σ 2 的总体的简单 ( x) 随机样本则有:U X
近似
~ N (0,1)
2-Uα
2Uα
n
0< <1,
U , P U U
或
P U U 1 -
( x)1.645 0.10 P U 1.960 0.05 0.01 2.576 P U U 1 - 2-Uα
2Uα
P X - U / n 1- P X U / n X U / n 1-
X P U 1- / n
n n 是 的置信度为 1 的置信区间 .
随机区间
[X -U
, X U
]
第三章 参数估计
P X U / n X U / n 1-
的点估计为 x
绝对误差限为 Δ = U α
σ n
相对误差限为 精度为 A = 1 - Δ'可靠性为 1 - α 的区间估计为∶
Δ U α Δ = = x nx
x - Δ
x + Δ
2 当总体方差 未知时,用样本方差代替总体方差
1 n 2 2 ( X X ) n 1 i 1 i
是一致估计.
当总体方差 2 未知时,
X U ~ N (0,1) S 近似 n X P U 1- S/ n
P U U 1 -
S P X - U
1- n
P X U S / n X U S / n 1-
随机区间
[X -U
S n
, X U
S n
]
是 的置信度为 1 的置信区间 .
第三章 参数估计 例3.1. 设采用重复抽样从某林地的全部林木组成的 总体抽取了 n 60株林木组成样本,样本的树高观测 数据如下(单位∶m)22.3 21.2 19.2 16.6 23.1 23.9 24.8 26.4 26.6 24.8 23.9 23.2 23.8 21.4 19.8 18.3 20.0 21.5 18.7 22.4 26.6 23.9 24.8 18.8 27.1 20.6 25.0 22.5 23.5 23.9 25.3 23.5 22.6 21.5 20.6 25.8 24.0 23.5 22.6 21.8 20.8 19.5 20.9 22.1 22.7 23.6 24.5 23.6
21.0 21.3 22.4 18.7 21.3 15.4 22.9 17.8
试以95%的可靠性对该林地上的全部林木的平均高 进行估计。
21.7 19.1 20.3 19.8
第三章 参数估计 解:计算样本的均值、均方差并查表x = 22.145, S = 2.524U0.05 = 1.96
的点估计为
x = 22.145S n = 1.96 2.524 60 = 0.639
绝对误差限为 Δ = U 0.05相对误差限为
Δ 0.639 Δ = = = 0.029 x 22.145
精度为 A = 1 - Δ' = 1 - 0.029 = 0.971 的区间估计为∶
x - Δ,
x + Δ
= [22.145 - 0.639, 22.145 + 0.639] = [21.506, 22.784]
第三章 参数估计 例1续 欲使估计精度提高到98%,问应至少再抽多 少个样本单元? U α S 1.96 2.524 = 124.76 A = 1 n= = x n (1- A) x 1- 0.98 22.145 2 2
Uα S
需要再抽取125-60=65
第三章 参数估计置信度、置信区间、精度、样本容量之间的关系?
1-α
Δ = Uα
σ n
Δ U α Δ = = x nx
A = 1 - Δ'
(1)置信区间不唯一,在置信度固定的条件下,置信 区间越短,估计精度越高. (2)在置信度固定的条件下,n 越大,置信区间越短,估 计精度越高. (3)在样本量 n 固定时,置信度越大,置信区间越长, 估计精度越低. (4)在固定置信度时,要提高估计精度,就要增大样本 量 n.
第三章 参数估计
极限分布2 (中心极限定理)设X 1 , , X n , , 独立同分布的随机变量 序列, X i ~ B(1, p), 则中心极限定理:EX i p, DX i p(1 p ) p(1 p ) EX p, DX , n X p ~ N (0,1) p(1 p ) 近似 n
X
w,
p W
例如,调查电视收视率。共需调查n户家庭,其 中收看该电视节目的家庭数m是随机变量。设
X1 , X 2 ,
, X n 表示每户人家是否收看该节目。,nDm np(1 p)
m X i ~ B( n, p)i 1
n
1, 收看 Xi , i 1, 2, 0, 未收看Em np
若n充分大,则由中心极限定理m X i ~ B( n, p) ~ N ( np, np(1 p))i 1 n 近似
m X i ~ B( n, p) ~ N ( np, np(1 p))i 1
n
近似
所以
m np np(1 p)
令
m p n
Xi 1
n
m p 近似 n ~ N (0,1) p(1 p) n
i
n
X, 有
p p p(1 p) n近似
近似
~ N (0,1)
或者令
X
w,
p W
有
w W W (1 W ) n
~ N (0,1)
第
三章 参数估计
3.2.2
~ W 1 - W /n
用极限分布2 对总体频率进行区间估计 近似 w -W ( x) N 0, 1 2-Uα
w -W P Uα = 1 - α W 1 - W /n
2Uα
m w= 代替 W n
,
w W w (1 w ) n
近似
~ N (0,1)
P | w - W | U α w 1 - w /n = 1 - α
P w - Uα w 1 - w /n W w + U α w 1 - w /n = 1 - α
P w - Uα w 1 - w /n W w + U α w 1 - w /n = 1 - α
第三章 参数估计
Δ = U α w 1 - w /n
Δ Δ = w
A = 1 - Δ'
1-α
w - Δ
w + Δ
为估计某针阔混交林中阔叶林所占的比例W,抽取200个观
测点作观测,结果有68个点为有阔叶林的林地. 试以95%的可靠性给出W区间估计.
第三章 参数估计解:计算样本的频率并查表W 的点估计为
w = 0.34w(1 - w ) = 1.96
U0.05 = 1.960.34 0.66 200
w = 0.34Δ = U0.05 n Δ 0.065 Δ = = 0.1912 w 0.34 = 0.065
绝对误差限为 相对误差限为 精度为
A = 1 - Δ' = 1 - 0.1912 = 0.8098
W 的区间估计为
w - , w + = 0.34 - 0.065,
0.34 + 0.065 = 0.275, 0.405
第三章 参数估计在上例中如要求估计精度提高为90%,可靠性仍为95%,问至少还需再抽取多少个样本?
(1 - w )w 1 A 1 - 1 - U w n w U 1 - w 1.96 1 - 0.34 n 745.7 (1 - A) w (1 - 0.9) 0.34需要再抽取746-200=5462 2
第三章 参数估计区间估计: 大样本估计P 1 ( x1 , x2 , , xn ) 2 ( x1 , x2 , , xn ) 1
X 近似 ~ N (0,1) n 近似 X ~ N (0,1) s n w W近似
x U / n x U / n x U s / n x U s / n
W
w(1 w ) w(1 w ) ~ N (0,1) w U w U n n w(1 w ) n
第三章 参数估计
作业:习题3:1,2,3,8, 11,13
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