10级习题及解答1（离散信号及系统）

一．离散信号及系统

1 .已知线性移不变系统的输入为x(n),系统的单位抽样响应为h(n),试求系统的输出y(n),并画图。

(1)x(n)? ? (n)(2)x(n)? R3(n)(3)x(n)? ? (n?2)(4)x(n)? 2u(?n?1)n

,,,,h(n)?R5(n)h(n)?R4(n)h(n)?0.5R3(n)h(n)?0.5u(n)nn

解： (1) y(n)?x(n)*h(n)?R5(n(2) y(n)?x(n)*h(n)?{1,2,3,3,2,1}(3) y(n)??(n?2)*0.5R3(n)?0.5nn?1nn?2R3(n?2)(4) x(n)?2u(?n?1) h(n)?0.5u(n)当n?0 y(n)?当n??1 y(n)??0.5m???nn?m2m??13?2?n?0.5m???n?m2m43?2n2 .已知 h(n)?a?nu(?n?1),0?a?1 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 h(n)的线性移不变系统的阶跃响应。

解:x(n)?u(n)h(n)?a?nu(?n?1),0?a?1y(n)?x(n)*h(n)n当n??1时y(n)??am????1?m?a?n1?aa1?a当n??1时y(n)??a?m?m???

3. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：

(a) x(n)?Acos((b) x(n)?Asin(3?73n??8)j(n??)6

13? n) (c) x(n)?e解： (a)x(n)?Acos(3??)n?783?14?73 2?/?0?2?/

?是周期的,周期为14。(b)x(n)?Asin(13?n)3136?? 313 2?/?0?2?/ ?是周期的，周期是6。j(n??)6(c)x(n)?e?cos(n??)?jsin(n??)66n?jsinn ??cos 66 2? /?0?12? ? 是非周期的。T 是无理数

4.试判断:

(1)y(n)??m???nx(m),(2)y(n)???x?n???2,2???2?(3)y(n)?x(n)sin?n??7??9是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?

解： (1)ny(n)??x(m)m???

y1(n)?T?x1?n???y2?n??T?x2?n???ay1?n??by2?n??nn?nx1?m?

m????x2?m?

m?????ax1?m??bx2?n??

m???T?ax1?n??bx2?n?????ax1?n??bx2?n??

m???nT?ax1?n??bx2?n???ay1?n??by2?n?

?系统是线性系统

解：(2)

y(n)???x?n???

y1(n)?T?x1?n????x1?n??

22y2?n??T?x2?n????x2?n??

ay1?n??by2?n???ax1?n????bx1?n??

T??ax1?n??bx2?n??????ax1?n??bx2?n???即T??ax1?n??bx2?n????ay1?n??by2?n?2222???ax1?n???2???bx2?n???2?2abx1?n?x2?n?∴系统不是线性系统。

T?x?n?m????x?n?m??y?n?m???x?n?m??22即T?x?n?m???y?n?m??系统是移不变的解： (3)

2??y(n)?x?n?sinn?97??y1(n)?x1?n?sin2?n?? 97y2(n)?x2???n?sin?2?n???

97 ay1?n??by2?n??ax1(n)sin(2?n??)?bx2(n)sin(2?n??)

97972?? T??ax1?n??bx2?n?????ax1(n)?bx2(n)?sin(9n?7)

即有T??ax1?n??bx2?n????ay1?n??by2?n??系统是线性系统。

2?n??T?xn?m?xn?msin???????97???y?n?m??x?n?m?sin2?(n?m)??

97即T??x?n?m????y?n?m??系统不是移不变的?5. 试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？

n(1)T[x(n)]?g(n)x(n) (2)T[x(n)]?x(n?n0) (4)T[x(n)]??x(k)k?n0x(n) (3)T[x(n)]?e

解：(1) T?x(n)??g(n)x(n) T?ax1(n)?bx2(n)??g(n)[ax1(n)?bx2(n)]?g(n)?ax1(n)?g(n)?bx2(n)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]

∴系统是线性系统。

T?x?n?m???g(n)x?n?m? y?n?m??g?n?m?x(n?m) 即T?x?n?m???y?n?m??系统不是移不变的。解：(2)是一累加器 T?x(n)???k?n0nnx(k)

nnT?ax1(n)?bx2(n)???k?n0[ax1(k)?bx2(k)]??k?n0ax1(k)??k?n0bx2(k)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]系统是线性系统。

nn?mT??x?n?m????n?m?x?k?m???k?n0k?n0?mx?k?y?n?m???x?k?k?n0

即T??x?n?m????y?n?m??系统不是移不变的。解： (3) T?x(n)??x(n?n0)T?ax1(n)?bx2(n)??ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]∴系统是线性系统。

T??x?n?m????x?n?n0?m y?

?n?m??x(n?m?n0) 即T??x?n?m????y?系统是移不变的。?n?m?

解： (4) T?x(n)??ex(n)T?ax1(n)?bx2(n)??eax1(n)?bx2(n)?eax1(n)?ebx2(n)

?T[ax1(n)]?T[bx2(n)]? 系统是线性系统。也是移不变系统。

6. 以下序列是系统的单位抽样响应h(n),试说明系统是否是

(1)因果的,(2)稳定的？

(1)1n2nu(n)(2)(4)(6)1n!nu(n) (3)(5)(7) 解： 3u(n)0.3u(n)n3u(?n)0.3u(?n?1)n

? (n?4)(1) 当n?0时 , h(n)?0, ?是因果的。?

?112?|h(n)|?102??????,n????不稳定。(2) 当n?0时，h(n)?0, ?是因果的。??|h(n)|?n???11???0！1！2！?1413*2*1?18????1????1?1??1?1??稳定。12*112?

?????3(3) 当n?0时，h(n)?0, ?是因果的。??n???|h(n)|?30?3?312??????

?不稳定。

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