第四讲不等式学案

第四讲不等式 不等式的解法

(1)一元二次不等式ax＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b－4ac>0)，如果a与ax＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．

(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解． (3)解含参数不等式要正确分类讨论．

2

2

2

2

[多维演练] 1．(2014·安庆一模)在R上定义运算：x

?y＝x(1－y)．若不等

式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝ ( ) A．1 C．4

B．2 D．8

2．(2014·临川一中模拟)关于x的不等式x－a

＞0的解集为P，不 x＋1

等式log2(x－1)≤1的解集为Q.若Q?P，则a的取值范围为

( )

A．－1＜a＜0 1≤a≤1 C．a＞1

D．a≥1 B．－

2

3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝

e，x<1，???1则使得 x，x≥1，??3

f(x)≤2成立的x的取值范围是________．

x－1

基本不等式及其应用 a＋b

基本不等式：≥ab

2

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；

两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．

[典例] (1)(2014·合肥一模)已知x＞1，y＞1，

11

且ln x，，ln y成等比数列，则xy 44( )

A．有最大值e 最大值e

C．有最小值e 最小值e

(2)(2014·重庆高考)若log4(3a＋4b)

D．有B．有

＝log2ab，则a＋b的最小值是 ( )

A．6＋23

B．7＋

23

C．6＋43 43

D．7＋

利用基本不等式求函数最值的关注点

(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．

(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件.

[即时应用] 1．若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则

ab的最大值为 ( )

1A. 2C．2

2

B．1 D．4

x＋ax＋11

2．已知函数f(x)＝(a∈R)，

x＋1若对于任意的x∈N，

f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．

*

线性规划问题

1.线性规划问题的有关概念 线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．

2．解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤

(1)画出可行域；

(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；

(3)求出目标函数的最大值或者最小值．

[典例] (1)(2014·北京高考)若x，y?x＋y－2≥0，?

满足?kx－y＋2≥0，

?y≥0，?

且z＝y－x的最

小值为－4，则( )

A．2 1C. 2

k的值为

B．－2 1D．－ 2

(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，

?x＋y≥2，?

若点M(x，y)为平面区域?x≤1，

?y≤2?

???

???

上

的一个动点，则OA＋OM的最小值是_____．

含参数线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：

一、准确无误地作出可行域；

二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率比较，避免出错；

三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取

得.

[即时应用]

1．设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，??

?x－y＋2≥0，?

?x≥0，??y≥0，

若目标函数z＝ax＋

2

by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则a＋3

的最小值为 ( ) b25A. 611C. 3

8B. 3D．4

2．(2014·衡阳月考)每千克甲、乙、丙三种食物中的维生素A、维

生素D的含量及成本如下表：

??㏒???琰茞??ü 维生素A(单位/千克) 维生素D(单位/千克) 成本(元/千克) 甲 0.06 0.08 11 乙 0.07 0.04 9 丙 0.04 0.05 4 某食物营养研究所想把甲、乙、丙三种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有0.56千克维生素A和

0.63千克维生素D，则成本最低为 ( ) A．84元 元 C．86元 元

D．88B．85

(1)线性规划问题与其他知识的交汇 (2)三元方程中最值创新问题

一、线性规划问题与其他知识的交汇

近年对线性规划问题考查题目越来越灵活，与其他知识联系越来越广，常与平面向量、集合、导数、区间根等知识结合命题，考查目标函数最值、参数的值(范围)．

[例1] (2014·陕西高考)在直角坐标系 xOy中，已知点A(1,1) ，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y) 在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且 OP＝mAB＋nAC (m，n∈R)．

2

(1)若 m＝n＝，求 |OP|；

3(2)用 x，y表示 m－n，并求m－n

的最大值．

本题是线性规划问题和平面向量的交汇，破解的关键是用x，y表示m－n，把平面向量知识转化为线性规划问题，问题即可解决.

[即时应用]

1．设集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|(y－x)·(y＋

x)≤0}，M＝A∩B，若动点P(x，y)

2

2

∈M，则x＋(y－1)的取值范围是 ( )

?15?

A.?2，2? ??

?B．??25?，? 22?

?1C.?，?2?210?10?

? D.?? ，2?2??2

2

2．(2014·西安一模)设函数f(x)＝x＋ax＋b，且方程f(x)＝0在区

间(0,1)和(1,2)上各有一解，则2a－b的取值范围用区间表示为________． 二、三元方程中最值创新问题 利用基本式求最值由平时的一元、二元变量的常规问题，转化为三元变量问题，如2014年辽宁卷16题是三元方程及已知最大值时，求三元变量函数的最小值，着重考查转化与化归、分类讨论的思想，题目创新力度较大，难度较高．

[例2] (2014·辽宁高考)对于c>0 ，

当非零实数a，b满足 4a－2ab＋b－c124

＝0且使 |2a＋b|最大时，a＋b＋c 的最小值为________．

22

(1)本题两次用了转化与化归思想，一是把已知方程转化为关于2a＋b的不124

等式；二是把a＋b＋c 表示为关于c的函数．

(2)在不等式中应用“转化与化归”思想的常见题目类型有： ①已知等式求最值问题，常利用基本不等式把等式转化为一元二次不等式求解。

②求解不等式恒成立问题常用转化的方法

方法一：分离参数法，通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解．

方法二：函数思想，转化为求含参数的函数的最值问题求解.

[即时应用]

3．设正实数x，y，z满足x－3xy＋4yz

－z＝0，则当xy取得最小

2

2

值时，x＋2y－z的最大值为 ( )

A．0 C．2

9B． 89D. 4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2zx8.html