2011年高考数学试题分类汇编10——数列

十、数列

一、选择题 1．（天津理4）已知

?an?为等差数列，其公差为-2，且

a7是

a3与

a9的等比中项，

Sn为

?an?*S的前n项和，n?N，则10的值为

A．-110 B．-90 C．90 D．110 【答案】D

2．（四川理8）数列

b3??2?an?的首项为3，

a8??bn?为等差数列且

bn?an?1?an(n?N*)．若则

，

b10?12，则

A．0 【答案】B

B．3 C．8 D．11

bn?2n?8,an?1?an?2n?8,【解析】由已知知由叠加法

(a2?a1)?(a3?a2)???(a8?a7)??6??4??2?0?2?4?6?0?a8?a1?33．（四川理11）已知定义在

f(x)??x?2xSn2?0,???上的函数

f(x)x??0,2?满足f(x)?3f(x?2)，当时，

?2n?2,2n?上的最大值为an(n?N*)，且?an?的前n项

．设f(x)在

3和为，则n??limSn?5 A．3

B．2

C．2

D．2

【答案】D

f(x?2)?13f(x)【解析】由题意

,在[2n?2,2n]上，

1n1?()33?Sn??limSn?121?3

n?1,f(x)?1,n?2,f(x)?1121n?1,n?3,f(x)?()?an?()3334．（上海理18）设

{an}是各项为正数的无穷数列，

Ai是边长为

ai,ai?1的矩形面积

{A}（i?1,2,?），则n为等比数列的充要条件为

A．

{an}是等比数列。

第 1 页 共 21 页

B．C．D．

a1,a3,?,a2n?1,?a1,a3,?,a2n?1,?a1,a3,?,a2n?1,?或和和

a2,a4,?,a2n,?a2,a4,?,a2n,?a2,a4,?,a2n,?是等比数列。 均是等比数列。

均是等比数列，且公比相同。

【答案】D 5．（全国大纲理4）设

则k?

A．8 B．7 C．6 【答案】D

6．（江西理5） 已知数列{

anSn为等差数列

?an?的前n项和，若

a1?1S?Sk?24，公差d?2，k?2，

D．5

Sn?Sm?Sn?m}的前n项和

Sn满足：，且

a1=1．那么

a10=

A．1 B．9 C．10 D．55

【答案】A 7．（福建理10）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，

给出以下判断： ①△ABC一定是钝角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④ 【答案】B 二、填空题 8．（湖南理12）设

则

S9Sn是等差数列

{an}(n?N?)，的前n项和，且

a1?1,a4?7，

= ．

【答案】25

9．（重庆理11）在等差数列【答案】74

1{an}中，

a3?a7?37，则

a2?a4?a6?a8?__________

10．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=2，a4=-4，则公比q=______________；

a1?a2?...?an?12

____________。—2

2n?1?【答案】

11．（安徽理14）已知?ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的

第 2 页 共 21 页

等差数列，则?ABC的面积为_______________.

【答案】153

12．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积

成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。

67【答案】66

13．（广东理11）等差数列k=____________． 【答案】10 14．（江苏13）设

1?a1?a2???a7an前9项的和等于前4项的和．若

a1?1,ak?a4?0，则

，其中

a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，

a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________ 【答案】3 三、解答题

15．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列

已知对任意整数k?M，当整数 （1）设 （2）设

M?{1},a2?2,求a53{an}的首项a1?1，前n项和为都成立

Sn，

n?k时,Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)的值； 的通项公式

M?{3,4},求数列{an}本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生

分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。

解：（1）由题设知，当 即

n?2时,Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1)，

(Sn?1?Sn)?(Sn?Sn?1)?2S1，

从而 所以

an?1?an?2a1?2,又a2?2,故当n?2时,an?a2?2(n?2)?2n?2.a5的值为8。

k?M?{3,4},且n?k时,Sn?k?Sn?k?2Sn?2Sk?2Sn?1?2Sk （2）由题设知，当

且Sn?1?k?Sn?

1?k，

两式相减得

an?1?k?an?1?k?2an?1,即an?1?k?an?1?k?an?1?an?1?k第 3 页 共 21 页

所以当列

n?8时,an?6,an?3,an,an?3,an?6成等差数列，且

an?6,an?2,an?2,an?6也成等差数

2a?an?3?an?3?an?6?an?6.从而当n?8时，n （*）

且即

an?6?an?6?an?2?an?2,所以当n?8时,2an?an?2?an?2an?2?an?an?an?2.于是当n?9时,an?3,an?1,an?1,an?3an?3?an?3?an?1?an?1，

成等差数列，

从而

，

故由（*）式知

2an?an?1?an?1,即an?1?an?an?an?1.d?an?an?1.当n?9时，设

2a?am?am?12当2?m?8时,m?6?8，从而由（*）式知m?6

故

2am?7?am?1?am?13.

，于是

am?1?am?2d?d?d.从而

2(am?7?am?6)?am?1?am?(am?13?am?12)an?1?an?d

因此，知

S?Sn?k?2Sk?2Sk(k?{3,4})对任意n?2都成立，又由n?k可

(Sn?k?Sn)?(Sn?Sn?k)?2Sk,故9d?2S3且16d?2S47232d，

解得

a4?d,从而a2?d,a1?2

.因此，数列所以数列

{an}为等差数列，由

a1?1知d?2.

{an}的通项公式为

an?2n?1.

16．（安徽理18）

在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个数构成递增的等比数列，将这n?2个数的乘积记作（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设

Tn，再令

an?lgTn,n≥1.

{an}的通项公式；

求数列

{bn}bn?tanan?tanan?1,的前n项和

Sn.

本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：（I）设

l1,l2,?,ln?2构成等比数列，其中

t1?1,tn?2?100,则

第 4 页 共 21 页

Tn?t1?t2???tn?1?tn?2,Tn?tn?1?tn?2???t2?t1, ① ②

2①×②并利用

2t1tn?3?i?t1tn?2?10(1?i?n?2),得

,?an?lgTn?n?2,n?1.Tn?(t1tn?2)?(t2tn?1)???(tn?1t2)?(tn?2t1)?102(n?2)

（II）由题意和（I）中计算结果，知

bn?tan(n?2)?tan(n?3),n?1.

tan1?tan((k?1)?k)?tan(k?1)?tank1?tan(k?1)?tank, 另一方面，利用

tan(k?1)?tank?tan(k?1)?tanktan1

?1. 得

nn?2k

Sn? 所以

n?2?bk?1??tan(k?1)?tankk?3

??(k?3tan(k?1)?tanktan1?n.?1)?tan(n?3)?tan3tan1

17．（北京理20）

若数列记

An?a1,a2,...,an(n?2)满足

an?1?a1?1(k?1,2,...,n?1)，数列

An为E数列，

S(An)=

a1?a2?...?an．

，且

S(As)（Ⅰ）写出一个满足（Ⅱ）若

a1?12a1?as?0〉0的E数列

An；

an，n=2000，证明：E数列

An是递增数列的充要条件是

An=2011；

S?An?（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列

An，使得

=0？

如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5） （Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列， 所以

ak?1?ak?1(k?1,2,?,1999).

所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.

第 5 页 共 21 页

（II）设数列2Sn2?a12{an}的前n项和为Snn?1，即

Sn?a1?a22???an2n?1,故S1?1，

?a24???an2n.

所以，当n?1时，

Sn2a2?a1212?1412an?an?12122nn?1n?1?a1??1?(????)an2n????2?n2n?1?(1?n)?n?12?n

2所以

n.

n2n?1Sn?.

n2n?1综上，数列2{an}的前n项和Sn?n?1. ………………12分

22．（全国大纲理20）

1设数列（Ⅰ）求

?an?满足

a1?0且

1?a?n?111?an?1.

?an?bn?的通项公式；

1?an?1nn,记Sn?（Ⅱ）设

解：

?bk?1k,证明：Sn?1.

1 （I）由题设

{1?an?1?11?an?1,

11?an1} 即

是公差为1的等差数列。

11?an?n. 又

1?a1?1,故

所以

an?1?1.n

第 11 页 共 21 页

（II）由（I）得

bn?1?an?1nn?1?n?1??1nn,?nn1?

n?1，

nk

?1????8分

)?1?1n?1?1.Sn??bk?1??(k?11kk?1 ????12分

23．（全国新课标理17）

已知等比数列（I）求数列

{an}的各项均为正数，且

2a1?3a2?1,a3?9a2a62．

{an}的通项公式．

{1bn}（II）设解：

bn?log3a1?log3a2???log3an，求数列的前n项和．

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由

q?1a3?9a2a62得

a3?9a432q2?19．

所以

由条件可知c>0，故

3．

由

2a1?3a2?1得

2a1?3a2q?11，所以

a1?13．

故数列{an}的通项式为an=3． （Ⅱ ）

bn?log3a1?log3a2?...?log3ann

??(1?2?...?n)??n(n?1)22n(n?1)1bn

??2(1n?1n?112)1故

bn??

12?13)?...?(1n?1n?1))??2nn?11b1?1b2?...???2((1?)?(

第 12 页 共 21 页

{1bn}?2nn?1

所以数列的前n项和为

24．（山东理20）

等比数列 第一行 第二行 第三行 （Ⅰ）求数列（Ⅱ）若数列解：（I）当当当

?an?中，

a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且

第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 a1,a2,a3中

的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 3 6 9 ?an??bn?的通项公式； 满足：

bn?an?(?1)lnan，求数列

?bn?的前n项和

Sn．

a1?3时，不合题意；

a2?6,a3?18a1?2时，当且仅当时，符合题意；

a1?10时，不合题意。

因此

a1?2,a2?6,a3?18,所以公式q=3， 故

an?2?3n?1.

n （II）因为

?2?3?2?3?2?3n?1n?1n?1bn?an?(?1)lnannn?1

?(?1)(2?3n)?(?1)[ln2?(n?1)ln3]?(?1)(ln2?ln3)?(?1)nln3,nn

2n所以

S2n?2(1?3???32n?1)?[?1?1?1???(?1)](ln2?ln3)?[?1?2?5???(?1)n]ln3,n 所以

Sn?2?1?3n当n为偶数时，

?3?n1?3?n2ln3

n2ln3?1;

Sn?2?1?3n当n为奇数时，

1?3?(ln2?ln3)?(n?12?n)ln3

第 13 页 共 21 页

?3?nn?12ln3?ln2?1.

综上所述，

?nn3?ln3?1,n为偶数??2Sn???3n-n?1ln3-ln2-1,n为奇数??2

25．（上海理22） 已知数列

*（n?N），将集合

{an}和

{bn}的通项公式分别为

an?3n?6，

bn?2n?7{x|x?an,n?N}?{x|x?bn,n?N}**中的元素从小到大依次排列，构成数列

c1,c2,c3,?,cn,?c1,c2,c3,c4。 ；

{cn}（1）求

（2）求证：在数列（3）求数列解：⑴

{cn}中．但不在数列

{bn}中的项恰为

a2,a4,?,a2n,?；

的通项公式。

12c4,?c1?9,c2?11c,3?；

13*a?3(2n?1)?6?6n?3?bk?2k?7n?N⑵ ① 任意，设2n?1，则k?3n?2，即

a2n?1?b3n?2

k?3n?12?N*② 假设

a2n?6n?6?bk?2k?7?{cn}{bn}（矛盾），∴

。

a2n?{bn}

∴ 在数列⑶

中．但不在数列中的项恰为

，

a2,a4,?,a2n,?b3k?2?2(3k?2)?7?6k?3?a2k?1a2k?6k?6b3k?1?6k?5，，

b3k?6k?7k?6?k6 ?∵ 6k?3?6k?5?6b?a1?c1,b2?c2,a2?c3,b3?c4∴ 当k?1时，依次有1，??

第 14 页 共 21 页

∴

?6k?3(n?4k?3)??6k?5(n?4k?2)*cn??,k?N?6k?6(n?4k?1)?6k?7(n?4k)?。

26．（四川理20）

an?1n(Cnd?2Cnd122 设d为非零实数，（1）写出（II）设

解析：（1）

a1?da2?d(d?1)a3?d(d?1)02???(n?1)Cnn?1dn?1?nCnd](n?N)nn*

a1,a2,a3并判断

*{an}是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；

{bn}bn?ndan(n?N)，求数列的前n项和

Sn．

1223n?1nan?Cnd?Cnd?Cnd???Cndan?1?d(1?d)an?1an?d?1n?d(1?d)n?1

{an}n?1因为d为常数，所以

2是以d为首项，d?1为公比的等比数列。

bn?nd(1?d)20Sn?d(1?d)?2d(1?d)?3d(1?d)????nd(1?d)21222n?1（2）

?d[(1?d)?2(1?d)?3(1?d)????n(1?d)21232012n?1](1)n

n(1?d)Sn?d[(1?d)?2(1?d)?3(1?d)????n(1?d)](2)2（2）?（1）

?dSn??d[1?(1?(1?d))1?(1?d)n?dn(1?d)?d?(dn?d)(1?d)2n2

?Sn?1?(dn?1)(1?d)n

27．（天津理20）

{an}{bn}已知数列与．

满足：

bnan?an?1?bn?1an?2?0,bn?3?(?1)2n*， n?N，且

a1?2,a2?4（Ⅰ）求

a3,a4,a5的值；

第 15 页 共 21 页

（Ⅱ）设

cn?a2n?1?a2n?1,n?N*，证明：

?cn?是等比数列；

Skak?76(n?N)*4n（III）设

Sk?a2?a4?????a2k,k?N,*?证明：k?1．

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.

bn?3?(?1)2n,n?N,* （I）解：由

?1,n为奇数bn???2,n为偶数 可得

又

bnan?an?1?bn?1an?2?0,

当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3??3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4??5;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a4?4.

（II）证明：对任意

n?N,* ① ②

a2n?1?a2n?2a2n?1?0,2a2n?a2n?1?a2n?2?0,

a2n?1?a2n?2?2a2n?3?0,a2n?a2n?3. ③ ④

②—③，得

将④代入①，可得即又

a2n?1?a2n?3??(a2n?1?a2n?1)*cn?1??cn(n?N)

c1?a1?a3??1,故cn?0,cn?1因此

cn??1,所以{cn}是等比数列.

a2k?1?a2k?1?(?1)k（III）证明：由（II）可得，

*于是，对任意k?N且k?2，有

第 16 页 共 21 页

a1?a3??1,?(a3?a5)??1,a5?a7??1,?(?1)(a2k?3?a2k?1)??1.k

k将以上各式相加，得即

a2k?1?(?1)k?1a1?(?1)a2k?1??(k?1),

(k?1)，

a2k?(?1)k?1此式当k=1时也成立.由④式得从而

(k?3).

S2k?(a2?a4)?(a6?a8)???(a4k?2?a4k)??k,S2k?1?S2k?a4k?k?3.* ，

?S4m?1a4m?1?S4ma4m2m2m?3所以，对任意

4nn?N,n?2?k?1Skaknn??(am?1S4m?34m?3?S4m?2a4m?2)

)??m?1n(2m?22m2?2m?12m?2?2m?32m?13?

??m?1(2m(2m?1)n?(2m?2)(2m?2)3)

?22?313??m?252m(2m?1)5?(2n?2)(2n?3)3

n???m?2(2m?1)(2m?1)?(2n?2)(2n?3)

1)]?3(2n?2)(2n?3)?13?52?[(13?15)?(15?17)???(12n?1?2n?1

?1376?56?522n?1?1?3(2n?2)(2n?3)?.

对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意

n?N,*

第 17 页 共 21 页

S1a1?S2a2???S2n?1a2n?1S3a3?S2na2n

S2n?1a2n?1?S2na2n)?(S1a1?S2a2)?(?S4a4)???(

14n?(1?141414?1121121)?(1?142?24?(4?1)222)???(1??n(4?1)n)

?n?(?)?(142?14(4?1)22)???(14n?n4(4?1)nn)

?n?(?12)?n?.3

28．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列

111{an}的首项

a1为a（a?R）,设数列的前n

项和为

Sn，且

a1，

a2，

a4成等比数列

Sn（1）求数列

An?{an}1S1的通项公式及

1S2?1S3

Bn?1a1?1a2?1a22?1?...??...?1a2n（2）记与

BnSn，

A，当n?2时，试比较n的大小．

本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

满分14分。

(1a2)?21 （I）解：设等差数列

2{an}的公差为d，由

a1a4?1,

得

(a1?d)?a1(a1?3d)

an?na1,Sn?an(n?1)2.因为d?0，所以d?a所以

1?

（II）解：因为

An?1S1?1S2?Sn1S3211(?)ann?11Sn2a，所以

1n?1)????(1?

因为

a2n?1?2n?1a，所以

第 18 页 共 21 页

Bn?1a1?1a2n?1a220???1a2n?121n1?()1212???(1?n).1aa21?2

n当

n?2时,2?Cn?Cn?Cn???Cn?n?11n?112n1，

1??1?,即

所以，当当

a?0时,An?Bn;a?0时,An?Bn.

29．（重庆理21） 设实数数列 （I）若

{an}的前n项和

Sn，满足

Sn?1?an?1Sn(n?N)*

a1,S2?2a2成等比数列，求

S2和

43

a3；

（II）求证：对

k?3有0?ak?1?ak??S2??2a1a2,2得S2??2S2?S?a2S1?a1a2, （I）解：由题意?2，

2由S2是等比中项知由

S2?0.因此S2??2.

S2?a3?S3?a3S2解得

23.a3?S2S2?1??2?2?1?

（II）证法一：由题设条件有

Sn?1,an?1?1且an?1?SnSn?1Sn?an?1?an?1Sn,

,Sn?an?1an?1?1,故

从而对k?3有

第 19 页 共 21 页

ak?Sk?1Sk?1?1?ak?1?Sk?2ak?1?Sk?2?1ak?1??ak?1?ak?1ak?1?1ak?1?1?ak?1ak?1?ak?1?122.ak?1?12 ①

因

ak?1?ak?1?1?(ak?1?212)?2342?0且ak?1?0，由①得

ak?0

要证即证

ak?243，由①只要证

2ak?1ak?1?ak?1?12?432,

3ak?1?4(ak?1?ak?1?1),即(ak?1?2)?0.此式明显成立.

ak?43(k?3).因此

ak?1?ak22最后证

ak?1?ak.若不然

akak?ak?12?ak,

ak?0,故又因因此

ak?ak?12?1,即(ak?1)?0.矛盾.

ak?1?ak(k?3).

，

证法二：由题设知

2Sn?1?Sn?an?1?an?1Sn故方程

x?Sn?1x?Sn?1?0有根Sn和an?1??Sn?1?4Sn?1?0.2（可能相同）.

因此判别式

an?2an?2?1.Sn?2?Sn?1?an?2?an?2Sn?1得an?2?1且Sn?1?又由

an?22

因此

(an?2?1)2?4an?2an?2?1?0,即3an?2?4an?2?02，

解得

0?an?2?43

.因此

0?ak?43(k?3).

第 20 页 共 21 页

ak?Sk?1Sk?1?1Sk?0(k?3)由，得

?ak?ak(Sk?1akSk?1?1?1)?ak(Sk?1Sk?1Sk?1?12ak?1?ak?Sk?1?1)?1??akSk?1?Sk?1?12??ak(S?1)?23?0.因此ak?1?ak

(k?3).

k?124第 21 页 共 21 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2zs3.html