2018高考复习数学第一轮 第62讲 极坐标(知识点、例题、讲解、练

极坐标

（2018年5月）

一、

知识要点

1、 极坐标系：平面内由极点O，极轴Ox，选定长度单位和角的正方向（取逆时针方向），

就构成了极坐标系． 2、 极坐标：对于极坐标系平面内的任意一点M，用?表示线段OM的长度，?表示从Ox到OM的角，?叫做点M的极径，?叫做点M的极角，有序数对(?，?)就叫做点M的极坐标．

3、 极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与

直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数?、?对

?)，应惟一点P(?，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，

?（?＋2k?)或这些坐标又有规律可循的，P(?，)极点除外）的全部坐标为(?，（??，?＋(2k?1)?），(k?Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对?、?的取值范围加

0???2?或??0，以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定??0，

??????等．

4、 极坐标与直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并且在两坐标系中取相同的单

位长度，建立极坐标系，平面上任一点M的直角坐标?x,y?和极坐标??,??有如下关系：

??2?x2?y2?x??cos??和??x?0? ?yy??sin???tan??x?根据上述关系，可将点的直角坐标和极坐标互化，也可将曲线的直角坐标方程和极坐标

方程互化．

5、 曲线的极坐标方程

以极坐标方程的解为坐标的点都在曲线上，曲线上点的极坐标并不都满足极坐标方程（点的极坐标不唯一），但其中至少有一个点的坐标满足方程，则该方程称为该曲线的极坐标方程．

6、 常见曲线的极坐标方程

（1） 过极点，倾斜角为?的直线的极坐标方程：???．

（2） 过点?a,0?，垂直于极轴的直线的极坐标方程：?cos??a．

（3） 过点?a,?????，平行于极轴的直线的极坐标方程：?sin??a． 2?（4） 过点M?a,??，垂直于OM的直线的极坐标方程：?cos??????a． （5） 以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程：??r．

（6） 以点?a,0?为圆心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：??2acos?． （7） 以点?a,??为圆心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：???2acos?． （8） 以点?a,?????为圆心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：??2asin?． 2???为圆心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：???2asin?． ?（9） 以点?a,??3?2（10） 以点?a,??为圆心，a?a?0?为半径的圆的极坐标方程：??2acos?????．

二、

例题精讲

2例1、试写出由极坐标方程4?sin?2?5所确定的抛物线的顶点坐标．

答案：?

?5?,??． ?4?4?x?1?t,?????5例2、求直线?（t为参数）被曲线??2cos????所截的弦长．

4???y??1?3t?5?答案：

例3、已知锐角?AOB?2?内有一个动点P，PM?OA,PN?OB，且四边形PMON的面积等于常数c，以O为极点，?AOB的平分线Ox为极轴，试求动点P的极坐标

27． 5轨迹方程．

2c2????答案：?cos2????????．

sin2??44?2

例4、极坐标平面内，过原点O的动直线交圆??2acos??a?0?于点P，以线段OP为斜边作等腰直角三角形OPM（O、P、M按逆时针顺序排列），求点M的轨迹方程． 答案：??

???2acos????．

4??x2y2xy??1，直线l:??1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点例5、已知椭圆

1282416R，又点Q在OP上且满足：OQ?OR?OR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 答案：

22?x?1?52?3?y?1?52?1?x2?y2?0?

1015、，且长轴平行于x轴的椭圆，但23是以?1,1?为中心，长、短半轴长分别为不包括原点．

例6、在极坐标系中，P是曲线??12sin?上的动点，Q是曲线??12cos???的动点，试求|PQ|的最大值． 答案：18

例7、F是定点，l是定直线，点F到l的距离为p?????上6??p?0?，点M在直线l上滑动，动

点N在MF的延长线上，且满足条件（1） 求动点N的轨迹方程； （2） 求MN的最小值． 答案：（1）??FNMN?1． MF1（2）若0?p?2，最小值为4；若p?2，?0?cos??p?；

11?cos?pp2则最小值为．

p?1 三、

课堂练习

1、化极坐标方程?2cos????0为直角坐标方程为 ． 答案：x2?y2?0或x?1

2、点M的直角坐标是(?1,3)，则点M的极坐标为 ． 答案：(2,2?) 33、极坐标方程?cos2??0表示的曲线为 ． 答案：两条相交直线

4、直线xcos??ysin??0的极坐标方程为____________________

答案：???2??

5、已知曲线C1与C2的极坐标方向分别为 ?cos??3，??4cos?（?≥0，0≤θ<曲线C1与C2交点的极坐标为 ． 答案：(23,?），则2?6).

四、 课后作业 一、填空题

1、极坐标方程?cos??2??0化为直角坐标方程是 ． 答案：x?2和?0,0?

2、极坐标系中，圆??cos??3sin?的圆心坐标是 ，半径等于 ． 答案：?1,2????，1 ?3???7?12?????AOBO为极点，则AB? ，?,?5,?，

4???3、若A、B两点的极坐标分别为?8,的面积S? ． 答案：7，103 4、圆心为?5,????，半径为4的圆的极坐标方程为 ． ?12?????9?0 12?答案：?2?10?cos?????5、在极坐标系中，?m,答案：1或5

????6??到直线m?0?cos?????????则m? ． ??3的距离为2，

6?6、在极坐标系??,???0???2??中，曲线??2sin?与?cos???1的交点的极坐标为 ． 答案：?2,

二、选择题

7、圆??5cos??53sin?的圆心坐标是（ ）

??3?4?? ?,A (?5?4? ) 3

B (?5,?3 ) C (5,?3

) D (?5,5? )3答案：A

8、极坐标方程?cos??2sin2?表示的曲线为（ ）

A 一条射线和一个圆 B 两条直线 C 一条直线和一个圆 D 一个圆 答案：C

9、在极坐标系中与圆??4sin?相切的一条直线的方程为（ ） A ?cos ??2

B ?sin ??2?(?C ??4sin?3 ) ?(?D ??4sin?3 )答案：A

三、解答题

10、已知曲线C的极坐标方程为??2cos?，以极点为原点，极轴为Ox轴建立执教坐标系

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点M(x，y)是曲线C上的动点，求z?x?y最大值和最小值 答案：（1）(x?1)?y?1 （2）最大值1?2，最小值1?2 22

11、从极点O作直线与另一直线l:?cos??4相交于点M，在OM上取一点P，使

|OM|?|OP|?12

（1）求点P的轨迹方程

（2）设R为l上任意一点，试求PR的最小值 答案：（1）??3cos?；（2）PR的最小值为1．

12、以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的方程是

x2?y2?2x?23y?3?0.直线l的方程是?cos(??（1）求圆C的极坐标方程

?4)?2

（2）求经过圆C的圆心且和直线l垂直的直线l'的极坐标方程 答案： （1）?2?2?cos??23?sin??3?0 （2）??3?12sin(???4 )

11、从极点O作直线与另一直线l:?cos??4相交于点M，在OM上取一点P，使

|OM|?|OP|?12

（1）求点P的轨迹方程

（2）设R为l上任意一点，试求PR的最小值 答案：（1）??3cos?；（2）PR的最小值为1．

12、以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的方程是

x2?y2?2x?23y?3?0.直线l的方程是?cos(??（1）求圆C的极坐标方程

?4)?2

（2）求经过圆C的圆心且和直线l垂直的直线l'的极坐标方程 答案： （1）?2?2?cos??23?sin??3?0 （2）??3?12sin(???4 )

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2zs.html