数论 因数倍数--质数和合数 及答案

第二讲 约数倍数

知识点拨

板块一 因数倍数

一、 因数的概念与最大公因数

0被排除在因数与倍数之外 1． 求最大公因数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以(231,252)?3?7?21；

21812②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)?2?3?6；

32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

例如，求600和1515的最大公因数：1515?600?2315；600?315?1285；315?285?130；

285?30?915；30?15?20；所以1515和600的最大公因数是15．

2． 最大公因数的性质

①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；

③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n． 3． 求一组分数的最大公因数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最

b大公因数b；即为所求．

a二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以?231,252??22?32?7?11?2772； ②短除法求最小公倍数；

21812例如：396 ，所以?18,12??2?3?3?2?36；

32③[a,b]?a?b． (a,b)2. 最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤

b先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公因数b；即

a35[3,5]15为所求．例如：[,]??

412(4,12)4?14??1,4??4 注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：?,???23??2,3?三、最大公因数与最小公倍数的常用性质

1． 两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

如果m为A、B的最大公因数，且A?ma，B?mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①A?B?ma?mb?m?mab，即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公因数是A、B、A?B、A?B及最小公倍数的因数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5?6?7?210，210就是567的最小公倍数

b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：6?7?8?336，而6,7,8的最小公倍数为336?2?168

性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

四、求因数个数与所有因数的和 1． 求任一整数因数的个数

一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为23?52?7，所以它的因数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)

因数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个因数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有因数的和

一个整数的所有因数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和。

如：21000?23?3?53?7，所以21000所有因数的和为

(1?2?22?23)(1?3)(1?5?52?53)(1?7)?74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。

例题精讲

【例 1】 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能

裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

【例 2】 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物

中，三样水果各多少？

【例 3】 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？

【例 4】 一个两位数有6个因数，且这个数最小的3个因数之和为10，那么此数为几？

12.20.28.32.45.50.52.63.68.75.76.78.92.98共14个

【例 5】 用19这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公因数． 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45能被9整除

所以这326880个数都有因数9

111得优，得良，得中，其余的得差，已知723参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？ 1111÷[1-(++)]=42

732

【例 7】 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一

个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？ 【例 6】 (西城区13中入学试题)一次考试，参加的学生中有苹果每隔2人发一个，如果每人编上号码，号码间隔为3 桔子每隔4人发一个，如果每人编上号码，号码间隔为5

从第一个两种水果都拿到的人算起，下一个能两种水果都拿到的人的号码应比他多15个

有10个两种水果都拿到的人所以，第10个两种水果都拿到的人比第一个两种水果都拿到的人的号码多15*9=135 他们一共是136人

这时在第1个人的一侧加上14人，第10个人的一侧也加上14个人，总数就是所求了

136+14+14=164人

【例 8】 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．

240÷60=4 60=3×4×5 所以这两个数是3、5 根据A×B=(A,B)×[A,B]

【例 9】 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公因数的105倍，那么a、b中较大的数

是多少？ 设两个数分别为km和kn，其中（m,n)=1,m>n 显然k为两个数的最大公约数 最小公倍数为kmn

kmn/k=mn=105=1×105=3×35=5×21=7×15 ∴a=105,b=1或a=35,b=3或a=21,b=5或a=15,b=7 ∵ka-kb=120 k为整数 逐一验证得：a=15,b=7，k=15 两个数分别为：225和105 那么a,b中较大的数等于（225）

【例 10】 在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？

【例 11】 (2008年仁华考题)1001的倍数中，共有 个数恰有1001个因数．

1001=7×11×13，1001的倍数中必有a个7、b个11、c个13（a、b、c正整数）的乘积。若恰有1001个约数，则必有（a+1)(b+1)(c+1)=1001。所以a、b、c可取6、10、13这三个值。故共有3×2×1=6个这样的数。

板块二 质数合数

1． 质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数.

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 2． 质因数与分解质因数

质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数.

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30?2?3?5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12?2?2?3?22?3，2、3都叫做12的质因数，

其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3． 唯一分解定理

a3a2?p3?任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n?p1a1?p2ak?pk其中为质数，

a1?a2??ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 4. 部分特殊数的分解

111?3?37；1001?7?11?13；11111?41?271；10001?73?137；1995?3?5?7?19；1998?2?3?3?3?37；2007?3?3?223；2008?2?2?2?251；10101?3?7?13?37.

5. 判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.

例如：149很接近144?12?12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.

【例 12】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：

美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．

请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．

【例 13】 (2004年全国小学奥林匹克)自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数

字都是质数，这样的自然数有多少个？

只能是由2、3、5、7这四个数字组成的两位数，

【例 14】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？ 39 = 2+37 2*37=74

【巩固】 如果a，b均为质数，且3a?7b?41，则a?b?______.

【例 15】 7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？ 已知：有7个连续素数且和为偶数

假设这些素数全是奇数，那么和也是奇数！不符合题意 素数只有2是偶数，所以一个偶数，六个奇数，和为偶数， 符合题意，这些素数是：17，13，11，7，5，3，2

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