4函数的奇偶性与周期性学案 及作业（学生版）

函数的奇偶性与周期性

一、 函数奇偶性的判定 1．判断下列函数是否具有奇偶性。 ⑴

⑵

⑶ 偶；

(3)奇·偶=奇，奇÷偶=奇． 同步练习 2．判断下列函数的奇偶性 ⑴f(x)?x2?2x?1； ⑵f(x)?x?1； ⑶f(x)?x2,x?(?1,1] ⑷f(x)?x2?4?4?x2 f(x)?f(x)?x3?4x

C.

7．下列函数中,是奇函数的为（ ）

A．C．

B． D．

lnx2x D.y??x?1

D．y?lg

x?xf(x)?2?212．函在定义域上是

1 x?1f(x)?x2?2x

f(x)?1

8．下列函数是奇函数的有( )

A．偶函数 B.奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 ⑷

f(x)?1?x?x?1

⑸

(x)?1?x2fx?2?2

⑹

f(x)?(x?1)x?11?x ?2x?3,x?0⑺ f(x)???0,x?0的奇偶性

??2x?3,x?0

判定函数奇偶性的常用方法及思路：首先判断其定义域是否关于原点对称

1．定义法

2．图象法

[来源学科网ZXXK]

3．性质法：(1)奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶=非奇非偶；

(2) 奇·奇=偶，奇÷奇=偶；偶·偶=偶，偶÷偶=

3．判断下列函数的奇偶性 ①f(x)＝2x4＋3x2； ②f(x)＝x3－2x； 2

(1)f(x)＝lg 1－x

③f(x)＝x＋1

1＋x x；④f(x)＝x3＋1.

A．1个 B．2个C．3个 D．4个

(2)f(x)＝???x2＋x?x>0?，

??x2－x?x<0?；

9．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函

数，则下列结论恒成立的是( ) A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 (3)f(x)＝lg?1－x2?

|x2－2|－2 .

B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数

xD．|f(x)|－g(x)是奇函数

4．偶函数的是（ ）A．y?sin

B．y?x2 C．y?3x D．y?log

3x

10．设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确

5．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+?）上

的是 ( ) (A)f(x)f(?x)是奇函数 单调递减的是（ ）.

(B)f(x)f(?x)是奇函数

y?1(C) f(x)?f(?x)是偶函数 A．x B．y?e?xC．

y??x2?1D．y?lg|x| (D) f(x)?f(?x)是偶函数

11．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的（）6．下列函数中既是偶函数又在(0,??)上是增函A．y?2|x| 数的是（ ）

B．y?lg(x?x2?1)

y?1 A.

x B.y?|x|?1

C．y?2x?2?x

函数的奇偶性和周期性 1 / 6

D. 既不是奇函数也不是偶函数

13．函数f?x?????x?1?x?0???x?1?x?0? 是 ( ) A. 奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函

数 D.非奇非偶函数

二．利用函数的奇偶性求解析式和参数的值

若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f(x)是偶函数且在x＝0处有定义，就不一定有f(0)＝0，

如f(x)＝x2

＋1是偶函数，而f(0)＝1.[来源学&科&网 ]14．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝___

15．已知f(x)函数为偶函数，且当x?0时，

f(x)?x?1，则x?0，f(x)的解析式

16．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，若

f(x)?g(x)?1x?1，则f(x)＝

17．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3

18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（ ）

A．y＝x（x－2） B．y ＝x（｜x｜－1）

是 .

f?x??0的解集为 . x

29．已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)f(－1) C．f(－1)f(－5) A.f(1)?f(?2)?f(3) B.f(3)?f(?2)?f(1) C.f(?2)?f(1)?f(3) D.f(3)?f(1)?f(?2)

34．已知f?x?是定义域为???,0???0,???的奇函数，在区间?0,???上单调递增，当x?0时，

23．设f(x)?lg(211?a),x?[?,]是奇函1?x22数，则实数a=__ __

24．若f(x)为奇函数，当x?0时

f(x)?x2?ax，且f(3)?6，则实数a的值

f?x?的图像如右图所示：若：

C．y ＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2）

19．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，

f(x)?2x2?x，则f(??)?（ ）

A．?3 B． ?? C．1 D．3

20．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x?0时，f(x)?x3?x，则当x?0时，f(x)?

A.

f(x)?x3?x B.

f(x)??x3?xC.f(x)??x3?x D.f(x)?x3?x

21．已知函数f(x)的定义域为(3?2a,a?1),且

f(x?1)为偶函数,则实数a的值可以是（ ）

A．2B．4C．6 D．23

22．若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数，则a的值

为

30．f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0,+?)25．若函数f?x??ln?x2?ax?1?是偶函数，则

上是增函数，则f(-2),f(-?),f(3)的大小关系（）实数a的值为 ．

A．f(-?)>f(-2)>f(3) B．f(3)>f(-?)>f(-2)

C．f(-2)>f(3)>f(-?) 26．已知y?f(x)是定义在R上的奇函数，当

D．f(-?)>f(3)>f(-2)

x?0时，f(x)?2x?x2?1，

31．已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x?R且x?0},又f(x)在（0，+?）上是增函数，且则f(?1)? . f(-1)=0,则满足f(x)>0的x取值范围是 .

32．设函数D?x????1,x是有理数，则下列结论错三、函数的奇偶性与单调性的关系

?0,x是无理数．偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致． 误．

的是（ ） 27．已知函数f?x?是奇函数，且在区间?1,2?上单

AD(x)的值域是{0,1}调递减，则f?x?在区间??2,?1?上是（ ） BD(x)是偶函数

A. 单调递减函数，且有最小值?f?2? CD(x)不是周期函数 B. 单调递减函数，且有最大值?f?2? DD(x)不是单调函数

C. 单调递增函数，且有最小值f?2?

D. 单调递增函数，且有最大值f?2?

33．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的

28．已知函数f?x?是定义在R上的偶函数，且x1,x2?[0,??)(x1?x2)，有

f(x2)?f(x1)在???,0?上时增函数，若f??3??0，则

x?0.则

2?x1函数的奇偶性和周期性 2 / 6

x??f?x??f??x???0，则x的取值范围是

35．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为?1，则2f(?6)?f(?3)?________

四、函数奇偶性的应用

36．对于定义域R上的任何奇函数f(x)都有 （ ）

(A) f (x)－ f (－x)<0（x?R）； (B) f (x)－ f (－x)?0 （x?R）； (C) f (x)· f (－x)?0（x?R）； （D）f (x)·f (－x)>0（x?R）。

37．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)

＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.

38．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．

43． 设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，?当x?0时，有f(x)?xf(x)恒成立，则不等

1＋ax

b)内的函数f(x)＝lg是奇函数，则a＋b的

f(x)?x1＋2x式的解集是 取值范围为__________． （A） （?2，0）∪（2，??）

44．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则（B） （?2，0）∪（0，2）

39．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)?2,（C） （??，?2）∪（2，??） f(3)＝( )

A．（－1，0）∪（1，+?）B．（－1，0）∪（0，1）

C．（－?，－1）∪（1，+?） D．（－?，－1）∪（0，1）

不等式

f(x)?0的解集是__________． g(x)49．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=0，

（D）（??，?2）∪（0，2）

40．设f?x?，g?x?分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x?0时，

f??x?g?x?＋f?x?g??x??0，且g(－3)＝0，则不等式f?x?g?x??0的解集是( ) A．(－3,0)?(3，＋?) B．(－3,0)??0,3?

C．(－?，－3)?(3，＋?) D．(－?，－3)??0,3?

41．设函数f(x)＝?x＋1?2＋sin x

x2＋1的最大值为M，最

小值为m，则M＋m＝________.

42．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )．

A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4}

C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}

A．－15 B．15C．10 D．－10

当x>0时，有

xf'(x)-f(x) x2<0恒成立，则不等式

45．

f(x)>0的解集为

f(x)是定义在R上的偶函数,当x?0时,f(x)?x?f?(x)?0,且f(?4)?0A．(-1，0)

(1，+∞) B．(-1，0)

(0，1) ，则不等式xf(x)?0的解集为

C．(-∞，-1)(1，+∞) D．(-（∞， ）-1)

(0，1)

A．(?4,0)?(4,??) B．(?4,0)?(0,4)

C．(??,?4)?(4,??) D．(??,?4)?(0,4)

50．设函数f(x)???x2?x(x?0)g(x)(x?0)，且函数

?46．已知y?f(x)是偶函数，而y?f(x?1)是f(x)为偶函数，则g(?2)=

奇函数，且对任意0?x?1，f(x)递减，都

A．6B．—6C．2D．—2 有f(x)?0,则a?f(2010),

b?f(51

4),c??f(2)的大小关系是

51．已知函数y=f（x）是偶函数，当x＞0时，fA．b?c?a B．c?b?a（x）=x+

4 x.当x∈［-3，-1］时，记f（x）C．a?c?b

D．a?b?c

的最大值为m，最小值为n，则m-n=________ 47．如果f(x)为偶函数，且f(x)导数存在，则

f'(0)的值为 （ ）

52．已知y?f(x)?x2是奇函数，且f(1)?1A.2 B.1 C.0 D.?1 ，

若g(x)?f(x)?2，则g(?1)?__________ 48．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x?0时，

f(x)?xf?(x)?0，且f(1)?0，则不等式

53．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，xxf(x)?0的解集为（ ）

∈[0，?]上的图象如图，则在[－?，?]上

函数的奇偶性和周期性 3 / 6

54．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝

f(x)－f′(x)是奇函数． (1)求b，c的值；

(2)求g(x)的单调区间与极值．

五、函数的周期性及其应用

抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：

(1)若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；

(2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；

(3)若满足f(x＋a)＝1

f?x?

，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)

＋a]＝1

f?x＋a?

＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；

(4)若函数满足f(x＋a)＝－1

f?x?

，同理可得2a

是函数的一个周期；

(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．

55．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那

么f(x)在[1,3]上是( ) A．增函数 B．减函数

C．先增后减的函数 D．先减后增的函数

56．已知f(x)在R上是奇函数，且满足

f(x?4)?f(x)，当x?(0,2)时，

f(x)?3x2，则f(7)等于

57．定义在(??,??)上的偶函数f(x)满足：

f(x?1)??f(x)，且在[?1,0]上是增函数，下面关于f(x)的判断：

①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x?1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数； ④f(x)在[1,2]上是减函数； ⑤f(2)?f(0).

其中正确的判断是__________________ (把你认为正确的判断的序号都填上).

58．已知函数f(x)是(??,??)上的偶函数，若对于x?0，都有f(x?2）?f(x)，且当x?[0,2)时，f(x)?log2(x?1），则f(?2011)?f(2012)的值为（ ）

A．?2 B．?1 C．1 D．2

59．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f（x+

32），且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2005)＋f(2006)＝( ) A．－2 B．－1 C．0 D．1

60．f(x)是R上周期为3的奇函数,若f(1)?1,

课外作业1 f(2)?a2?a?1

,则a的取值范围是（ ）

65．函数f(x)＝1

A、a<0.5且a≠1 B、-1

－x的图象关于( )．

A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 或a>0 D、-1

C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称

66．若函数f(x)＝x

?2x＋1??x－a?为奇函数，则a＝

61．f(x)是周期为2的奇函数,当0?x?1时，

( )．A.123

2 B.3 C.4

D．1

[来源学科网ZXXK] f(x)?2x(1?x) 则f(-5 2)?

67．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)A.?1在区间(－5，－3)上( )．

2 B.?1114 C.4 D. 2

A．先减后增 B．先增后减 C．单调递减D．单调递增

62．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当

68．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )． 时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝A．－1B．1C．－2D．2

( )A．335 B．338 69．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区C．1 678 D．2 012 间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．

63．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是70．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 011)＋f(2 012)＝2x

－1，则f??log16

?2?

的值为( )

＝( )

A．－5

2 B．－5

A．1＋log23 B．－1＋log23 C．－1 D．1 C．－1

2 D．－6

71．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的64．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－

是( )． A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋x2＋1)

f??x＋3

2??，且f(1)＝3，则f(2 014)＝__________.

C．y＝2x＋2－

x D．y＝lg1x＋1

72．已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x＋y)

函数的奇偶性和周期性 4 / 6

＝f(x)＋f(y)，则f(x)为( )． A．偶函数 B．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

73．函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．A．－9 B．9C．－3D．0

74．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为( )．

A．{x|x＜－2，或x＞4}B．{x|x＜0，或x＞4} C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}

75．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________. 76． 定义在(-1,1)上的函数f(x)是奇函数，并且在(-1,1)上f(x)是减函数，求满足条件

f(1-a)+f(1-ａ２

）＜０的ａ取值范围（ ） Ａ．（０，１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．［０，１］ Ｄ．［－２，１］

77．已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数，当ｘ∈[0,2]时，f(x)是减函数，如果不等式f(1-m)＜f(m)成立，求实数ｍ的取值范围.（ ）Ａ．[?1,12) Ｂ．［１，２］ Ｃ．［－１，０］ Ｄ．（?1,12）

78．设f(x)是定义在（0,+?）上的单调递增函数，且对定义域内任意x,y,都有

f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,求使不等式f(x)+f(x-3)?2成立的取值范围.

79．已知y?f(x)是偶函数，其图象与x轴共有A．f(x)与g(x)均为偶函数

四个交点，则方程f(x)?0的所有实数解的和B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 是 111C．－或－ D．0或－ 424

A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减

（ ） (A)4 (B)2 (C)0

(D)不能确定

80．已知函数f(x)?x5?ax3?bx?8，且

f(?2)?10，则f(2)? ．

81．已知偶函数f(x)在[0,??)上是增函数，若f(a)?f(b)，则必有（ ）

(A)a?b (B)a?b (C)|a|?|b| (D)a?|b|

82．若?(x),g(x)都是奇函数，

f(x)?a?(x)?bg(x)?2在?0,???上有最

大值5，则f(x)在???,0?上有 （ ）

A最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-1 D．最大值-3

83．已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）

A.f（0）＜f（－1）＜f（2）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2）

C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

84．已知定义域为R的函数f(x)在(8，??)上为减函数，且函数y?f(x?8)为偶函数，则（ ）

Ａ．f(6)?f(7) Ｂ．f(6)?f(9)

Ｃ．f(7)?f(9)

Ｄ．f(7)?f(10)

85．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－

x的定义域均为R，则

C．f(x)与g(x)均为奇函数

D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 91． 函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x 1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

86．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足 f(x)＋g(x)＝ex

，则g(x)等于( ) A．ex－e－x B.1(ex＋e－

x 2

)

C.1 (e－x－ex) D.12

(ex－e－

x2)

87．已知函数f(x)是奇函数，当x?0时，

f(x)?x(1?x)，当x?0时，f(x)等于 课后作业2

1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数

又是增函数的为( )

A．y＝x＋1 B．y＝－x3

88．设函数f(x)?(x?1)(x?a)a? x为奇函数，则

C．y＝1

x

D．y＝x|x|

2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足89．已知函数f(x)?(m?2)x2?(m?1)x?3是f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝( )

偶函数，求f(x)的单调增区间及最大值． A．0 B．1

C．2 D．3

3．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 90．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)＝0，则不等式f?x?＋f?－x?

x

>0的解集为( )

且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤xA．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2) ≤1时，f(x)＝x2

.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)

的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实－

数a的值是( ) 4．已知函数f(x)＝???1－2x

，x≥0，

??

2x－1，x<0，

则该函

A．0 B．0或－1

2

数是( )

函数的奇偶性和周期性 5 / 6

C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减

5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A．f(－25)

6．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )A．(1,3) B．(－1,1)

C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 7．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

8．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．

9．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝2a－1

a＋1，则a的取值范围是

________．

10．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f(x??x－1

2??<0的解集．

a

11．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．

x(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．

函数的奇偶性和周期性 6 / 6

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