南京理工大学概率统计测试题及答案

1、设总体X的概率密度为

?6x?(??x),0?x??,f(x)???3

?0,其它,?(X1,X2,?,Xn)是取自总体X的简单随机样本。

求：（1）?的矩估计量??；（2）??的方差D(??)。 2、从一批木材中抽取100根，测量其小头

直径，得到样本平均数为x?13.2cm，已知这批木材小头直径的标准差??2.6cm，问该批木材的平均小头直径能否认为是在12cm以上？（取显著性水平?＝0.05） 附表一：

?(1.64)?0.9495?(0.2222)?0.5871,,?(1.96)?0.9750?(1.65)?0.9505,,

?(2.108)?0.9826

3、设总体X的密度函数为

??x??1,0?x?1f(x)?? 0,其它?其中?是未知参数，且??0。试求?的最大似然估计量。

4、某工厂生产的铜丝的折断力测试（斤）服从正态分布N（576，64），某日抽取10

根铜丝进行折断力试验，测得结果如下： 578 572 570 568 572 570 572 596 584 570

是否可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤（??0.05）

5、电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42，65，75，78，59，57，68，54，55，71 。问是否可以认为整批保险丝的平均熔化时间为70（min）？（??0.05，熔化时间为正态变量） 6、化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下：

98.7 100.5 101.2 98.3 99.7

99.5 101.4 100.5

已知各包重量服从正态分布N（?,?） （1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取??0.05）？

（2）求参数?2的90%置信区间。

答案

??2?1、解：（1）E(X)??xf(x)dx???3??06x2(??x)dx??2。

令2?X，则得?的矩估计量为???2X。

??2E(X)?（2）由于

????2x?f(x)dx??06x3?33?2(??x)dx?10

2223???D(X)?E(X2)?[E(X)]2??? 10220

24??)?D(2X)?4D(X)?D(X)?D(?则n5n。

2、 解：检验假设

H0:???0?12cm，H1:???0

由于显著性水平?＝0.05，查表得

z??z0.05＝1.645。

因为

u?x??0?/n?13.2?122.6/100?4.615>1.645=z??z0.05

则拒绝原假设H0:???0?12cm，即在显著性

水平?＝0.05下，认为该批木材的平均小头直径在12cm以上。

3、解：设x1,x2,?,xn是X的子样观察值，那么样本的似然函数为

L(?)??n??1x?i， i?1nn就有 lnL(?)?nln??(??1)?lnxii?1，

于是，似然方程为

dlnL(?)nn???lnxi?0， d??i?1从而，可得

????n?lnXi?1n

i22H:??84、解：假设 0

计算可得x=575.2 ，s=68016 ，从而

?2=10.65.对??0.05，自由度n?1=9 ，

22??2.7,?查表得0.9750.025?19

因为2.7??2?19 ，所以接受假设，即可以认

为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤。 假设 H0:??70

计算得： x=62.4 s=11.03 所以

x??t???2.179 s/n 所以

t?t?(n?1)2t?(n?1)?t0.05(10?1)?2.2622

22

故 接受原假设

5、需要检验的假设 H0:??70 H1:??70

计算得： x=62.4 s=11.03 所以

x??t???2.179 s/n

t?t?(n?1)2t?(n?1)?t0.05(10?1)?2.2622

22 所以

故 接受原假设 6、需要检验的假设

H0:??100. H1:??100.

x???0.050s/n 计算可得： x?99.98,s?1.122,t?2

t?(n?1)?t0.0257?2.3646 ，t?t?(n?1)

2故接受原假设。

2?（2）??0.1 ，n=8 查表得0.05(7)?14.067，

2?0.95(7)?2.167

s2?1.259 故置信区间为

(n?1)s2(n?1)s2[2,2]?[0.626,4.067] ??(n?1)??(n?1)21?2

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