直线与椭圆的综合运用（教案）

个性化教案 直线和椭圆的综合运用 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 数学 江苏 椭圆的综合问题 1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式； 2.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想 利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等综合问题. 利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等综合问题. 适用年级 课时时长（分钟） 高二 60分钟 教学重点 教学难点 教学过程

一、知识讲解

考点/易错点1 直线与椭圆的位置关系

提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系

引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系

x2y2设点P(x0,y0)，椭圆标准方程为2?2?1(a?b?0)

ab22x0y0若点P(x0,y0)椭圆上，则2?2?1；

ab22x0y0若点P(x0,y0)在椭圆内，则2?2?1；

ab22x0y0若点P(x0,y0)在椭圆外，则2?2?1；

ab2.直线与椭圆的位置关系

（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点；

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相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系

x2y2设直线l:y?kx?m,椭圆M:2?2?1(a?b?0)，联立直线与椭圆方程消去y得

ab(a2k2?b2)x2?2a2kmx?a2(m2?b2)?0

记该一元二次方程的判别式为?，则

①当??0时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当??0时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当??0时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导

设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆上的两点， AB叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.

AB?x1?x21?k2?y1?y21?1（其中k为直线AB的斜率）. k2 二、例题精析

【例题1】

x2y23【题干】已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右顶点到左焦点的距离为

2ab2?3

（1）求椭圆M的方程.

（2）若直线x?y?2m?0与椭圆M：①相交，②相切，③相离，求实数m的取值范围； （3）设直线l:y?x?t与椭圆M相交于不同的A,B两点，令AB?f(t)，求f(t).

x2?y2?1 【答案】（1）4（2）①相交：?（3）f(t)?55555，②相切： m??，③相离： ?m??m或m??2222245?t2,t?(?5,5) 5 个性化教案

?c3??【解析】（1）依据题意，则?a解方程组得a?2,c?3 2?a?c?2?3?x2?y2?1 所以椭圆方程为4?x?y?2m?0?（2）联立?x2消掉y得5x2?16mx?16m2?4?0

2??y?1?4??(16m)2?4?5(16m2?4)?16(5?4m2)

①若直线与椭圆相交，则??16(5?4m2)?0，解得?55 ?m?22②若直线与椭圆相切，则??16(5?4m2)?0，解得m??5 2③若直线与椭圆相离，则??16(5?4m2)?0，解得55 ?m或m??22?y?x?t?225x?8tx?4m?4?0 （3）联立?x2消掉得y2??y?1?4因为直线与椭圆有两个交点，则??64t?20(4t?4)?0，解得?5?t?5 设A(x1,y1)B(x2,y2)，由韦达定理，则

224(t2?1)8tx1?x2??，x1x2?

55由弦长公式，则AB?1?k2(x1?x2)2?4x1x2 8t24(t2?1) ?2?(?)?4?55?所以f(t)?【例题2】

45?t2 545?t2,t?(?5,5) 5 个性化教案

x2?y2?1， 【题干】已知椭圆M:2（1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程； （2）过Q(方程；

（3）过点(2,1)的直线l与椭圆M相交，求直线l被椭圆截得的弦中点的轨迹方程. 【答案】（1）x?4y?0，（2）2x?2y?2?0，（3）x2?2y2?2x?2y?0

【解析】(1) 设平行弦中点坐标为(x0,y0)，弦与椭圆对应的两个交点为(x1,y1)，(x2,y2)

21且A,B关于点Q对称，求直线AB的,)的直线与椭圆M相交于A,B两点，

22?x12?y12?1?(x?x2)(x1?x2)?2?(y1?y2)(y1?y2)?0 两式相减得1?22?x2?y2?12??2化简整理得

y1?y2x?x??12?2

x1?x22(y1?y2)又因为x1?x2?2x0,y1?y2?2y0，代入上式，得x0?4y0?0.

x2?y2?1内的部分). 所以平行弦中点的轨迹方程为x?4y?0 (在椭圆M:2（2）设A(x3,y3)，B(x4,y4)，则

2?x32?y3?1?(x?x4)(x3?x4)?2?(y3?y4)(y3?y4)?0曲线的范围 两式相减得3?22?x4?y2?14??2化简整理得

y1?y2x?x??12

x1?x22(y1?y2)21,)对称，则x3?x4?2,y1?y2?1 22又因为A,B关于点Q(所以kAB?y1?y2x?x2 ??12??x1?x22(y1?y2)2 个性化教案

故直线AB的方程为：2x?2y?2?0

（3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l的斜率必然存在， 设弦中点坐标为(x?,y?)，则kl?y??1………………………(i) x??2设直线与椭圆的两交点分别为(x5,y5),(x6,y6)，则x5?x6?2x?,y5?y6?2y?

2?x52?y5?1?(x?x6)(x5?x6)?2?(y5?y6)(y5?y6)?0 又?两式相减得522?x6?y2?16??2化简整理得kl?y5?y6x?xx?……………(ii) ??56??x5?x62(y5?y6)2y?22由(i)(ii)联立化简得， x??2y??2x??2y??0. 所以弦中点的轨迹为：x?2y?2x?2y?0.

22 三、课堂运用

【基础】

x2y21.椭圆2?2?1(a?b?0)上有一动点P,F为椭圆的右焦点，若

abPFmax?3?5,PFmin?3?5，则椭圆的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2??1 B．??1或??1 A．945495x2y2x2y2x2y2??1 Ｄ．??1或??1 Ｃ．955494【答案】Ｃ.

【解析】依据题意易得a?c?3?5,a?c?3?5，解得a?3,c?5 x2y2??1 所以椭圆方程为：95x22.已知直线l1过椭圆C:椭圆C的右焦点?y2?1的左焦点F1且与椭圆相交于A,B两点，

4

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【解析】证明：如图C(5)，A(0,b),B(0,?b)，设M(x0,y0)，则 直线MA的方程为：

y?by0?b……………① ?xx0y?by0?b……………② ?xx0直线MB的方程为：

由①解得x1?bx0?bx0，则 ,由②解得x2?y0?by0?b22?b2x0b2x0……………③ x1?x2??22(y0?b)(y0?b)b?y022x0y0又因为M(x0,y0)在椭圆上，则2?2?1……………④

ab22b2x0a2(b2?y0)由④解得bx?a(b?y)代入③式，得x1?x2?2??a2. 222b?y0b?y02202220所以x1?x2是定值.

x2y2??1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方3.过椭圆

164程.

【答案】x?2y?4?0

【解析】法一：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2）,则x1?x2?4,y1?y2?2

x12y12??1??① 16422x2y2??1??② 164①-②得

(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)y?y2x?x1??0，整理得1??4?12??

164x1?x2y1?y221，故直线方程为x?2y?4?0. 2所以kAB??法二：设所求直线方程为y?1?k(x?2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k2?1)x2?8(2k2?k)x?4(2k?1)2?16?0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

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8(2k2?k)， x1?x2?4k2?1x1?x24(2k2?k)??2， 又M为AB的中点，所以

24k2?1解得k??1， 2故所求直线方程为x?2y?4?0. 【拔高】

x2y231.已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右顶点到左焦点的距离为2?3

2ab（1）求椭圆M的方程.

（2）设直线l:y?x?t与椭圆M相交于A,B两点，令AB?f(t)，求f(t).

410?2t2x22【答案】（１）?y?1 （２）f(t)?(?5?t?5)

45cb23【解析】（1）e??1?2???①，右顶点到左焦点的距离为2?3，则

aa2x2a?c?3?2??②，联立①②解得a?2,c?3,b?1，椭圆方程为?y2?1.

4（2）联立?2?y?x?t22?x?4y?422消去y得5x?8tx?4t?4?0，因为直线与椭圆有两个交点，所

以??64t?20(4t?4)?0解得?5?t?5 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?2(x1?x2)?(y1?y2)?1?k222b2?4ac a80?16t2410?2t2代入数据得AB?2??(?5?t?5)

55410?2t2所以f(t)?(?5?t?5)

5x22.已知直线l:x?y?3，点P为椭圆M:?y2?1上的一动点，则P到直线l的距离的最

2 个性化教案

大值和最小值分别为（ ） A.3?33?33?3 C.3?1,3?1 D.3?1,0 ,0 B.,222【答案】Ｂ．

【解析】设点P(2cos?,sin?)，则d?2cos??sin??32?3sin(???)?32

当sin(???)??1时，dmax?

3?33?3；当sin(???)?1时，dmin?，选B. 22x2y2F1,F2是它的两个焦点，3. M是椭圆?I是?MF1F2的内心，?1不在坐标轴上的点，

94MI的延长线交F1F2于N，则

【答案】MINI? . 3 5【解析】法一：如图,过M作x轴的垂线，垂足为G,过I作

x轴的垂线，垂足为H，在?MF1F2中 S?MF1F2?S?MF1I?S?MF2I?S?F1F2I则

IH1F1F2MG?(MF1?MF2?F1F2)代入数据得cMG?(a?c)IH 22所以

MGMGMNMI?INMI11??1，又?MNG??INH,则????1??1 IHeIHINININe?13. ?e5所以

MINI法二：解法二：因为I是?MF1F2的内心，所以IF2 平分?MF2N,MN平分?F1MF2,由角平分线定理，则

F2MMIMF2MF1MIMF1?MF22a13,又由等比定理，则. ???????F2NINF2NF1NINF1N?F2N2ce5uuuruurx2y24. P为椭圆2?2?1上一点，B为椭圆的上顶点，O为坐标原点，若OP?BP?0,则椭

ba 个性化教案

圆离心率的取值范围为 . 【答案】e?(2,1) 2uuuruur【解析】依据题意OP?BP?0，则?OPB?90?，如图

则P点的轨迹是以OB?a为直径，(0,)为圆心的圆

a2aax2?(y?)2?()2……………………（1）

22又因为P点在椭圆上，则

x2y2??1……………………（2） b2a2联立（1）（2）消掉x得

c222y?ay?b?0 2ac222??a?4?2?b?0，且e?(0,1)，解得e?(,1)

a22x2y2225.已知P是椭圆，过点P作圆x?y?1的两条切线，切??1上的一点（非顶点）

49点分别为A,B，直线AB分别与x轴，y轴交于M,N两点. （1）证明：P,O,A,B四点共圆.（其中O为坐标原点） （2）求MN的最小值.

【答案】（１）答案见解析（２）

5 622【解析】如图C(6).(1)证明：因为PA,PB都与圆x?y?1相切，A,B是切点，则

PA?OA,PB?OB,即?PAO??PBO?90?,所以P,O,A,B四点共圆.

x0y0,)（2）P,O,A,B四点共圆，直径为PO，设P(x0,y0)，则圆心为22，圆的方程为

(22x02y02x0?y0(x?)?(y?)?……………………①

224x2?y2?1……………………②

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①-②整理得x0x?y0y?1，直线AB的方程为x0x?y0y?1 因为直线AB与y轴交点分别为M,N，则yM?1，y0xN?1 x022MN?xN?yM?11?2 ，又P(x0,y0)在椭圆上，则2x0y022x0y0??1 492222y0y01111x013x013225(2?2)?1?(2?2)(?)??2?2??? x0y0x0y049364y09x036636MN?11255???，所以MN22x0y0366min?5. 636. 已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）.

2（1）求椭圆C的方程；

（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

x2y21【答案】（1）??1（2）

243x2y2【解析】（1）由题意，c＝1,可设椭圆方程为?2?1. 21?b4b31922因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）. bb??1?221?b4b4x2y2所以椭圆方程为 ??1．

43x2y23（2）设直线ＡＥ方程：得y?k(x?1)?，代入??1得

2433（3+4k2）x2+4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0

23设Ｅ（xE，yE），Ｆ（xF，yF）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以

234(?k)2?12， xE?23?4k2 个性化教案

yE?kxE?3?k. 2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以?k代k，可得

34(?k)2?12， xF?223?4kyF??kxF?3?k. 2所以直线EF的斜率kEF?yF?yE??k(xF?xE)?2k?1.

xF?xExF?xE21即直线EF的斜率为定值，其值为.

2

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