统计部分(ch2-ch6)练习答案

数理统计部分（ch2-ch6）练习答案

1．?1,?2,?3,?4独立，?i~N(0,1)，i?1,2,3,4。???12?k(?2??3??4)2~则k=1/3；

?2(2)，

?1??2???2324服从的分布是t(2)

解：（1）?2??3??4~N(0,3)，??2??3??43(?2??3??4)2~?2(1)，k=1/3 ~N(0,1)，?3（2）?1??2~N(0,2)，

?1??222~N(0,1)与?32??4~?2(2)独立，??1??2???2324?(?1??2)/2???/22324~t(2)

1n1n*222．X1,X2,?,Xn是来自总体N(?,?)的样本，X??Xi，S??(Xi?X)，S*?S*2则

ni?1ni?12X??的分布是t(n?1)。 *S/n?11nX??X??22*2解：S?是样本方差,则，(X?X)?~t(n?1) (n?1)S?nS?i*n?1i?1S/n?1S/n23．已知F0.05(10,5)?4.74，?~F(5,10)，P{??x}?0.95，则x= 0.21 。 解：x?F0.95(5,10)?11??0.21

F0.05(10,5)4.744．X1,X2,?,Xn是来自总体U[0,?]的样本，则参数?的矩法估计量是2X；极大似然估计量是

max{X1,X2,???,Xn}。

??c?x?(??1)X有分布密度f(x)??5．X1,X2,?,Xn是总体X的样本，

0?是未知参数。求?的矩法估计量。

????(x?c)??1，其中c>0是已知常数，

(x?c)解：EX????xf(x)dx??x??cc?x?(??1)?c?c???X。 dx??,?X??，?的矩法估计量：??1??X?c1??6．总体X~B(1,p)，X1,X2,?,Xn为来自X的简单随机样本，（1）求是样本方差，求E(X),D(X),E(S)。

2?Xi?1ni的分布；（2）X是样本均值，S2n1??0解：（1）X1,X2,?,Xn独立同分布，且Xi~??1?pp??,所以?Xi~B(n,p)，其分布律为

i?1?? 1

kkP(?Xi?k)?Cnp(1?p)n?k(k?0,1,2,?,n); i?1n（2）因为X~??1?p??01??，EX?p,DX?p(1?p)，所以 ?p?1p(1?p)DX?；E(S2)?DX?p(1?p) nnE(X)?EX?p；D(X)??都是参数?的无偏估计量，且??与??独立，D(??和??)?4D(??)。求常数k,k使k????7．?1212121211?k2?2是

的无偏估计量，并且在所有这样的线性无偏估计中方差最小。

??k??解：E(k1?122)?(k1?k2)???，∴k1?k2=1；

222222???k?????D(k1?122)?k1D(?1)?k2D(?2)?(4k1?k2)D(?2)?(4k1?(1?k1))D(?2)

??k??)最小，这时k2?4. ?)，∴k1?1时，D(k??(5k12?2k1?1)D(?21122558．从总体X~N(?,22)获得一个容量为16的样本，样本均值x?50，u0.05?1.96，则?的可靠性95%的置信区间为（49.02，50.98）。 解：(x??,x??)?(x?u??2?n,x?u???n)?(50?1.96?22,50?1.96?)=（49.02，50.98） 16169．某类电池寿命服从N(?,?)，随机取6只进行寿命试验，得数据（小时）：19，18，22，20，16，25 (1)求?的可靠性为0.95的置信区间。(2)求?的可靠性为0.95的置信区间。 解：（1）?的点估计值为x?20. ??t0.05(n?1)?2

sn?2.571?10?3.319， 6,23.319) (x??,x??)?(16.6812（2）?0,2，?的可靠性0.95的置信区间为： .025(5)?12.8?0.975(5)?0.8312

5050(n?1)s2(n?1)s2,)=（3.906，60.168） (2,2)=(12.80.831??(n?1)??(n?1)21?210．包装机的袋装糖重是一个正态随机变量,机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克。某日为检验包装机是否正常,随机抽取9袋糖,称得净重为(千克)：

0.498，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.520，0.515，0.512,

问机器是否正常（假设标准差仍为0.015千克，是否可以认为均值是0.5千克）（取??0.05）? 解： H0:???0?0.5，H1:???0

2

U?x??00.511?0.5??2.27，|U|?u??u0.05?1.96

?n0.015/9拒绝H0, 认为包装机工作不正常。

11．设枪弹速度（米/秒）服从正态分布。取甲种枪弹32个，测速度得：样本均值x1?2805，样本标准差s1?120；取乙种枪弹30个，测速度得：样本均值x2?2680，样本标准差s2?105。问两种枪弹速度的（1）方差有无显著差异（??0.10）（2）均值有无显著差异（??0.05）。

222解：（1）H0:?1 ， H1:?12??2 ??2s12n1?32，n2?30，s?14400，s?11025，F?2?1.306?1，

s221221.83?F?/2(n1?1,n2?1)?F0.05(31,29)?1.85，因F?F0.05(31,29)，所以，接受H0。

（2）H0:?1??2, H1:?1??2

2，(n2?1)s2， x1?2805，x2?2680，n1?32，n2?30，(n1?1)s12?446400?319725 t?(n1?n2?2)?t0.05(60)?2

T?x1?x22(n1?1)s12?(n2?1)s2n1?n2?211?n1n2=

2805?2680??4.353，

446400?31972511?32?30?23230因为|T|?t?(n1?n2?2)，故拒绝H0。

12．在某农村地区调查100名儿童中有28名留守儿童，是否可以认为此地区农村儿童留守率为30%

（??0.05）？

解：H0:W?W0?0.30，H1:W?W0?0.30，

U?w?W00.28?0.3???0.436，|U|?u??u0.05?1.96

W0(1?W0)/n0.3(1?0.3)/100接受H0,可以认为此地区农村儿童留守率为30%。

213．掷一枚骰子60次，点数出现的次数如下，是否可以认为此骰子是均匀的？（??0.05，?0 .05(5)=11.071）

1 2 点数 8 12 出现次数 解：H0: 骰子是均匀的，H1:骰子不是均匀的 理论值Ei?10， i?1,?,6

63 10 4 11 5 10 6 9 (vi?Ei)22=1?11.071??0，接受H0，可以认为此骰子是均匀的。 ???.05(5)Eii?1214．用统计软件进行假设检验，输出的概率p值为0.02109，取显著水平??0.05时拒绝原假设；取显著水

平??0.01时，接受原假设。

15．为比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同

3

饲料一个月后，各组鱼的增重结果列于下表。四种不同饲料对鱼的增重效果差异是否显著？若差异显著，做多重比较（??0.05）。

饲喂不同饲料的鱼的增重 （单位：10g）

饲料

鱼的增重

31.9 24.8 22.1 27.0

27.9 25.7 23.6 30.8

31.8 26.8 27.3 29.0

28.4 27.9 24.9 24.5

35.9 26.2 25.8 28.5

A1 A2 A3 A4

解：方法一：SS?(n?1)s2=199.668，

222=85.4 SS2?(m1?1)s12?(m2?1)s2?(m3?1)s3?(m4?1)s4SS1?SS?SS2=114.268.

方法二：由联合样本观察值得 饲料 mi 5 5 5 5 Ti??yij j?1miTi2/mi 4860.962 3453.192 3060.338 3908.808 A1 T1=155.9 A2 T2=131.4 A3 A4 求和 T3=123.7 T4=139.8 T?550.8 n?20 Ti2=15283.3 ?mi?1ia??yi?1j?1ami2ij=15368.7 于是， 550.82T2.7??199.668， ?15368SS???y?20ni?1j?142ijmiTi2SS2???y??=15368.7-15283.3= 85.4.

mi?1j?1i?1i42ij4miSS1?SS?SS2=114.268.

方差分析表：

差异源 组间 组内 总计

平方和 自由度 平均平方和 F值 114.268 3 38.08933333 7.136174863 85.4 16 5.3375 199.668 19

4

F0.05(f1,f2)?F0.05(3,16)?3.23<7.136174863,表明四种不同饲料对鱼的增重效果差异极显著，用不同

的饲料饲喂，增重是不同的. 进一步的多重比较:

f2?16，MS2?5.3375，mi?5，(i?1,?,4)

取 ??0.05，则 t0.05(16)?2.12.

LSDij?t0.05(16)(1111?)MS2?2.12?(?)?5.3375??3.0977 (i,j?1,?,4) mimj55将鱼的平均增重按从小到大的顺序排列为：

y3?24.74，y2?26.28，y4?27.96，y1?31.18.

多重比较结果： yi?yj yi yj y3?24.74 y2?26.28 y4?27.96 结果记为：

y1?31.18 y4?27.96 y2?26.28 6.44* 4.9* 3.22* 3.22* 1.68 1.54

16．假设甲、乙、丙3个班的小学生身高均服从正态分布，方差相等。每班各观测6名学生身高，得方差

分析表, 将单因素方差分析表填写完整: 方差来源 平方和 自由度 平均平方和 组间 组内 4.88 7.8 2 15 2.44 0.52 F显著性 值 4.69 * 12.68 总和 17 17．某公司研究广告投入x对销售额y的影响，有如下5对观测数据： 广告投入xi（百万元） 销售额yi（百万元） 1 2 3 4 5 10 21 29 42 48 （1）求销售额对广告投入的回归直线方程（2）假设回归模型是正态模型，在??0.05水平下,检验y对x的线性相关是否显著.

5

解： （1）b1??xyii?1ni?1ni?nx?y?2i?(x?x)547?5?3?30?9.7， b0?y?b1x?30?9.7?3?0.9

10??0.9?9.7x 回归方程：y?2?（2）?11122SSe?[nsy?b12?nsx]?(950?9.72?10)?3.033，

3n?2n?2T?b12?2nsx??9.7?17.61，|T|?t0.05(3)?3.182

3.033/10或 r?b12nsx10=9.7??0.9952>r0.05(3)?0.8783,∴线性相关关系显著。 2nsy95018．为研究某一化学反应过程中，温度x(?C)对产品得率Y(%)的影响，测得数据如下：

温度x(?C) 得率Y(%) 100 45 110 51 120 54 130 61 140 66 150 70 160 74 170 78 180 85 190 89 （1） 求变量Y关于x的线性回归方程. （2） 求?的无偏估计.

（3） 检验回归方程的回归效果是否显著（取??0.05）.

2

解：（1）b1??xyii?1ni?1ni?nx?y?2i?(x?x)101570?10?145?67.3?0.483，

8250b0?y?b1x?67.3?0.483?145??2.739

???2.739?0.483x 回归方程：ynn1122222??（2）?[nsy?b1nsx]?[?(yi?y)?b1?(xi?x)2] n?2n?2i?1i?121?[1932.1?0.4832?8250]?0.933 8（3）T?b12?2nsx??0.483?45.42，|T|?t0.05(8)?2.306

0.933/8250或 r?b12nsx8250=0.483??0.9981>r0.05(8)?0.6319,∴线性相关关系显著。 2nsy1932.1 6

解： （1）b1??xyii?1ni?1ni?nx?y?2i?(x?x)547?5?3?30?9.7， b0?y?b1x?30?9.7?3?0.9

10??0.9?9.7x 回归方程：y?2?（2）?11122SSe?[nsy?b12?nsx]?(950?9.72?10)?3.033，

3n?2n?2T?b12?2nsx??9.7?17.61，|T|?t0.05(3)?3.182

3.033/10或 r?b12nsx10=9.7??0.9952>r0.05(3)?0.8783,∴线性相关关系显著。 2nsy95018．为研究某一化学反应过程中，温度x(?C)对产品得率Y(%)的影响，测得数据如下：

温度x(?C) 得率Y(%) 100 45 110 51 120 54 130 61 140 66 150 70 160 74 170 78 180 85 190 89 （1） 求变量Y关于x的线性回归方程. （2） 求?的无偏估计.

（3） 检验回归方程的回归效果是否显著（取??0.05）.

2

解：（1）b1??xyii?1ni?1ni?nx?y?2i?(x?x)101570?10?145?67.3?0.483，

8250b0?y?b1x?67.3?0.483?145??2.739

???2.739?0.483x 回归方程：ynn1122222??（2）?[nsy?b1nsx]?[?(yi?y)?b1?(xi?x)2] n?2n?2i?1i?121?[1932.1?0.4832?8250]?0.933 8（3）T?b12?2nsx??0.483?45.42，|T|?t0.05(8)?2.306

0.933/8250或 r?b12nsx8250=0.483??0.9981>r0.05(8)?0.6319,∴线性相关关系显著。 2nsy1932.1 6

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