2020-2021学年广西壮族自治区田阳高中高二9月月考数学(理)试题解析

2020-2021学年广西壮族自治区田阳高中高二9月月考数学

（理）试题

一、单选题

1．已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘车的概率为（）

A．1 60

B．

1

10

C．

1

6

D．无法确定

答案：B

转换为测度是长度的几何概型求概率.

解：

由于地铁列车每10分钟一班，则两班列车停靠车站之间时间可用长度为10的线段表示．而列车在车站停1分钟，乘客到达站台立即乘上车的时间可用长度为1的线段表示．

如下图示：则乘客到达站台立即乘上车的概率

1

10

P=，

故选：B．

点评：

本题为几何概型的基本题，关键在于确定对应事件的测度.

2．读下面的程序框图，若输出S的值为-7，则判断框的空格处填写（）

A．6

i

i

i

i<

答案：A

根据程序框图可知，21(12)

=--+-

s，因为输出的值为72135

-=---，此时5

i=，程序结束，由此判断空格处应填写A

3．将八进制数()8

131化为二进制数为（）

A ．()21011001

B ．()21001101

C ．()21000011

D ．()21100001

答案：A 先将八进制化为十进制，再利用倒序取余法化为二进制即可.

解：

()20813118381889=?+?+?=，

892441÷=，

442220÷=，

222110÷=，

11251÷=，

5221÷=，

2210÷=，

1201÷=，

所以()2891011001=.

故选：A

点评：

本题考查了进位制之间的相互转化，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4．某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数为奇数”，B =“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（）

A ．事件A 与

B 对立

B ．()()()?=+P A B P A P B

C ．事件A 与B 互斥

D ．()()P A P B = 答案：D

根据互斥事件和对立事件的定义判断．

解：

因为骰子的点数1至6共6个正整数，因此事件A 和B 可能同时发生（如出现点数1），也可能同时不发生（如出现点数6），因此它们不互斥也不对立，A ，B ，C 均错， 但31()62

P A ==，31()62P B ==，D 正确. 故选：D ．

点评：

本题考查互斥事件和对立事件的概念，考查互斥事件的概率公式和古典概型的概率，属于基础题．

5．总体由编号01，02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是随机数表从第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）

A ．12

B ．04

C ．02

D ．01

答案：D 由随机数表的用法，划去大于20以及重复的数，即可得解.

解：

从第一行的第5列和第6列起，由左向右读数，划去大于20以及重复的数可得： 12，08，02，14，07，01，

所以选出来的第6个个体的编号为01.

故选：D.

点评：

本题考查了随机数表的应用，熟练掌握随机数表的用法是解题关键，属于基础题. 6．圆22

20x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（）

A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离 答案：A

通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系为内切.

解： 22(1)1x y -+=，圆心(1,0)，半径为1；

22(1)(+2)9-+=x y ，圆心(1,2)-，半径为3

两圆圆心距2等于半径之差，所以内切.

故选：A

点评：

本题考查了圆与圆的位置关系，考查了运算求解能力和数形结合数学思想，属于基础题目.

7．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算2x =时的值时，3v 的值

为（）

A ．15

B ．6

C ．2

D ．63

答案：A

根据秦九韶算法的知识求得3v 的值.

解：

函数532()231((((0)2)3)1)1f x x x x x x x x x x =++++=+++++， 当2x =时，分别算出01v =，11202=?+=v ，2426=+=v ，326315=?+=v . 故选：A

点评：

本小题主要考查秦九韶算法，属于基础题.

8．已知下表所示数据的回归直线方程为y 44x =-，则实数a 的值为

A ．16

B ．18

C ．20

D ．22 答案：B

解： 4x =，代入回归直线方程得

12y =，所以()1123711

215m =

++++，则18a =，故选择B. 9．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )

A ．13

B ．3

C ．4

D ．12 答案：B

以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得

11,1,22MB ??=--- ???

，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．

解：

在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ?? ???，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ??=--- ???

，1(0,02AA ，）=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，

则1122cos 31824

MB AA MB AA θ?===??, ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为22，故选B ． 点评：

本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

10．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（）

A ．5

B ．6

C ．25

D ．26

答案：C

x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为

2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0，0)到2x ＋y －15＝0的距离35=d ， 因此，公共弦长为.选C

11．在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）

A ．16π

B ．12π

C ．44π-

D ．14

答案：D

设正方形ABCD 的边长为2，计算出阴影部分区域和正方形ABCD 的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

解：

设正方形ABCD 的边长为2，将图中阴影部分中的弓形区域沿着图中的虚线对称，如下图所示：

所以，阴影部分区域的面积为12112S '=

??=，正方形ABCD 的面积为224S ==， 因此，所求概率为14

S P S '=

=. 故选：D.

点评： 本题考查面积型的几何概型的概率计算，解题的关键就是计算出阴影部分区域的面积，考查计算能力，属于基础题.

12．若直线x +y ﹣m ＝0与曲线y ＝2(2)x x -+m 所的取值范围是（）

A ．[32,4]-

B ．(,32)(4,)-∞-?+∞

C ．[32,32]+

D ．(,12)(2,)-∞?+∞

答案：D

转化曲线y ＝2﹣(

2)x x -+的方程，根据直线与圆的位置关系，即可容易求得结果. 解：

曲线y ＝2﹣(2)x x -+等价于()()[]()

22121,1,2x y y ++-=∈， 其表示圆心为()1,2-半径为1的半圆，画出示意图如下所示：

数形结合可知：

当直线过点()0,2A 时，是一种临界情况，

此时，020m +-=，解得2m =； 当直线与圆相切时，是另一种临界情况，

1212m

-+-=，解得12m =-故要满足题意，只需12m <-2m >.

故选：D .

点评：

本题考查直线与圆的位置关系，注意数形结合即可，属综合基础题.

二、填空题

13．一位男同学和两位女同学随机排成一列，则男同学不站在中间的概率为______. 答案：23

一位男同学编号为A ，两位女同学编号为,a b ，用列举法写出排列的所有基本事件，并得出所求事件中含有的基本事件，计数后可得概率．

解：

一位男同学编号为A ，两位女同学编号为,a b ，则他们排成一列的事件有：

,,,,,Aab Aba aAb abA bAa baA 共6个，其中男同学不站在中间的有

,,,Aab Aba abA baA 共4个基本事件，故所求概率为4

263

=. 故答案为：23

． 点评：

本题考查古典概型，用列举法写出所有基本事件是解题的基本方法．

14．某班甲、乙两位同学在高二第一学期的5次物理考试成绩的茎叶图如图所示，则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是________．

答案：10

由茎叶图中的数据判断甲组数据方差较小，再计算它的平均数和方差．

解：

解：由茎叶图中的数据知，甲组数据分布在81~90之间，乙组数据分布在79~91之间，

所以甲组数据较为稳定，计算()18182838490845

x =?++++=甲， 方差是(2222221[(8184)(8284)(8384)(8484)9084)105

s ?=?-+-+-+-+-=?甲． 故答案为：10．

点评：

本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数和方差的问题，属于基础题．

15．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

答案：22

20x y x +-=

分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.

详解：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：

01104020F D E F D F =??++++=??+++=?，解得：200D E F =-??=??=?

，则圆的方程为2220x y x +-=.

点睛：求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

16．如图，1111ABCD-A B C D 为正方体，下面结论中正确的是_______.（把你认为正确的结论都填上）

①11A C ⊥平面1BD ；

②1BD ⊥平面1ACB ；

③1BD 与底面11BCC B 2

④过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60?角的直线有2条.

答案：①②④

解：

1111A C B D ⊥，因为1BB ⊥面1111A B C D ，所以111BB A C ⊥，由此11A C ⊥平面1BD ，故①对．由三垂线定理可知，11BD AB ⊥，11BD CB ⊥，所以1BD ⊥面1AB C ，故②对．

由①②可知，11C BD ∠为1BD 与面11BCC B 的所成角，所以

111

11C D 2tan C BD BC 2

∠==，所以③错． 在正方体中11A D CB ，所以过1A 与异面直线1CB 所成角为与直线1A D 所成角．将图形抽象出来如下图所示．由于1AA D 4π

∠=，所以如下图，有上下两条直线分别直线

1A D ，AD 所成角为60?，故与异面直线AD 和1CB 成60?，所以④对．

点评：

本题考查线线垂直，线面垂直，判断定理和性质定理，以及异面直线所成角，

综合性很强，题目偏难．在使用线线垂直，线面垂直的性质定理时，三垂线定理学生要熟练掌握．求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解．

三、解答题

17．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．

（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 答案：（1）3，2，2（2）（i ）见解析（ii ）

521 解：

分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i ）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．

（ii ）由题意结合（i ）中的结果和古典概型计算公式可得事件M 发生的概率为P （M ）=

521．

详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．

（ii ）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=

5

21

． 点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 18．某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：

（1）求y 关于t 的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

()()()

1

1

2

2

2

1

1

?n n

i

i i

i i n

n

i i

i i t t y y t y n t y

b

t t t

n t ====---??==

--?∑∑∑∑,??a

y b t =-? 答案：（1）0.5 2.3y t =+；（2）2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元；6.8千元．

（1）根据所给的数据，计算出t 和y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式求出b 和a 的值，即可得出y 关于t 的线性回归方程；

（2）根据回归直线方程可分析出2013年至2019年该地区居民家庭人均纯收入的变化

情况，将9t =代入回归直线方程可计算出该地区2021年居民家庭人均纯收入的估计值.

解：

（1）由所给数据计算得()1123456747

t =++++++=， ()1 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 4.37

y =

++++++=， ()72=1941014928i i t

t -=++++++=∑，

()()()()()()()()713 1.42110.700.110.5i i

i t

t y y =--=-?-+-?-+-?-+?+?∑20.93 1.614+?+?=，

()()()121714?0.528

i i i n i i t t

y y b t

t ==--===-∑∑，? 4.30.54 2.3a y bt =-=-?=， 所求线性回归方程为0.5 2.3y t =+；

（2）由（1）知，?0.50b

=>，故2013年至2019年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元，

将2021年的年份代号9t =代入（1）中的线性回归方程，得0.59 2.3 6.8y =?+=， 故预测该地区2021年居民家庭人均纯收入为6.8万元.

点评：

本题考查线性回归方程的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法计算出线性回归方程的系数，考查计算能力，是一个基础题．

19．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．

（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；

（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．

答案：（1）见解析；（2）10

5. （1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.

解：

（1）连接ME ，1B C

M ，E 分别为1BB ，BC 中点ME ∴为1B BC ?的中位线

1//ME B C ∴且112ME

B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C = //ME ND ∴∴四边形MNDE 为平行四边形

//MN DE ∴，又MN ?平面1C DE ，DE ?平面1C DE //MN ∴平面1C DE

（2）设AC BD O =，11111A C B D O ?=

由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD

四边形ABCD 为菱形AC BD ∴⊥

则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：)3,0,0A ，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ??- ? ???

取AB 中点F ，连接DF ，则31,022F ?? ? ???

四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=BAD ∴?为等边三角形DF AB ∴⊥ 又1AA ⊥平面ABCD ，DF ?平面ABCD 1DF AA ∴⊥ DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA

DF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ??= ? ???

设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,,022MN ??=- ? ???

132033022n MA x y z n MN x y ??=-+=?∴??=-=??，令3x =，则1y =，1z =-()

3,1,1n ∴=- 15cos ,515DF n

DF n DF n ?∴<>===?10sin ,5

DF n ∴<>= ∴二面角1A MA N --的正弦值为：10 点评：

本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.

20．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（结果保留2位小数）

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

答案：（1）答案见解析；（2）100，97.63；（3）不能.

（1）根据频数分布表直接绘制频率分布直方图即可.

（2）直接利用样本平均数的定义求解.

（3）根据频率分布直方图算出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值即可. 解：

（1）直方图如图，

（2）质量指标值的样本平均数为

800.06900.261000.381100.221200.08100x =?+?+?+?+?=.

质量指标值的样本中位数为97.63.

（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.

点评：

本题主要考查频率分布表、频率分布直方图及其应用，还考查了数形结合的思想和数据处理的能力，属于中档题.

21．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SBC ⊥平面ABC ，2SB SC AB AC ====2BC =，若O 为BC 的中点.

（1）证明：SO ⊥平面ABC ；

（2）设线段SO 上有一点M ，当AM 与平面SAB 30OM 的长.

答案：（1）证明见解析；（2）13

. （1）结合面面垂直的性质定理证得SO ⊥平面ABC .

（2）建立空间直角坐标系，设()0,0,M t ，利用AM 与平面SAB 所成角的正弦值为30，结合向量运算列方程，解方程求得t ，由此求得OM 的长. 解：

（1）∵SB SC =，OB OC =，∴SO BC ⊥，∵平面SBC ⊥平面ABC ， 平面SBC 平面ABC BC =，SO ?平面SBC ，∴SO ⊥平面SBC .

（2）连接OA ，由于AB AC =，O 是BC 的中点，所以,OA BC OB OA ⊥⊥，而SO ⊥平面ABC ，所以,SO OB SO OA ⊥⊥，所以,,OA OB SO 两两垂直.

以O 为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则

()()()()0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1A B C S -.

设(),,m a b c =为平面SBA 的法向量，∵()1,1,0AB =-，()1,0,1SB =-， ∴00a b a c -=??-=?

，即可取()1,1,1m =，设()0,0,M t ，[]()0,1t ∈， ∴()0,1,AM t =-，设AM 与平面SAB 所成角为θ，∵sin cos ,m AM

m AM m AM θ?==?， ∴2

1301531t t -=?+，()22661521t t t +=-+，231030t t -+=，

()()3310t t --=，3t =（舍），13t =，∴OM 的长为13.

点评：

本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查线面角的有关计算，属于中档题. 22．已知圆22:270C x y x ++-=内一点(1,2)P -，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点.

（1）求圆C 的圆心坐标和面积；

（2）若直线l 3AB 的长；

（3）若圆上恰有三点到直线l 2，求直线l 的方程．

答案：(1)见解析;(2)7;(3)30x y -+=，或10x y +-=．

（1）化圆的一般式为标准方程：得出圆C 的圆心坐标为()1,0-，半径22r = （2）先求圆心到直线的距离为d ，再利用半径r ，距离d ，半弦长构成直角三角形求解即可．

（3）圆上恰有三点到直线l 2，等价于圆心()1,0-到直线AB 的距离为22

r =． 解：

（1）圆C 的圆心坐标为()1,0-，半径22r =8S π=；

（2）直线l 的方程为)231y x -=+3230x y -++=， 圆心到直线的距离为()

2323

131d -++==+， ()22222

22127AB r d =-=-=；

（3）因圆上恰有三点到直线l

，转化为

则圆心()1,0-到直线AB

的距离为2

r =， 当直线l 垂直于x 轴时，显然不合题意；

设直线l 的方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=，

由d ===1k =±，

故直线l 的方程为30x y -+=，或10x y +-=．

点评：

利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之

间的关系为AB =设点()00A x ,y ，直线方程为Ax By C 0++=，点到

直线的距离公式为d =.

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