《大一高等数学》试卷（十份）

《高等数学试卷》

一.选择题（3分?10）

1.点M1?2,3,1?到点M2?2,7,4?的距离M1M2?（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

???????2.向量a??i?2j?k,b?2i?j，则有（ ）.

??????????A.a∥b B.a⊥b C.a,b? D.a,b?

343.函数y?2?x2?y2?1x?y?122的定义域是（ ）.

??x,y?1?xC.?2222A.?x,y?1?x?y?2 B.x,y1?x?y?2

2?y2????x,y?1?x?2? D?2?y2???2?

??4.两个向量a与b垂直的充要条件是（ ）.

???????????A.a?b?0 B.a?b?0 C.a?b?0 D.a?b?0

5.函数z?x3?y3?3xy的极小值是（ ）. A.2 B.?2 C.1 D.?1 6.设z?xsiny，则

?z?y????1,??4?＝（ ）.

A.

22 B.? C.2 D.?2

221收敛，则（ ）. ?pnn?1?7.若p级数

A.p?1 B.p?1 C.p?1 D.p?1

xn8.幂级数?的收敛域为（ ）.

n?1n?A.??1,1? B??1,1? C.??1,1? D.??1,1?

?x?9.幂级数???在收敛域内的和函数是（ ）.

n?0?2??nA.

1221 B. C. D. 1?x2?x1?x2?x10.微分方程xy??ylny?0的通解为（ ）. A.y?cex B.y?ex C.y?cxex D.y?ecx 二.填空题（4分?5）

1.一平面过点A?0,0,3?且垂直于直线AB，其中点B?2,?1,1?，则此平面方程为______________________.

2.函数z?sin?xy?的全微分是______________________________.

?2z3.设z?xy?3xy?xy?1，则?_____________________________.

?x?y3234.

1的麦克劳林级数是___________________________. 2?x5.微分方程y???4y??4y?0的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6）

u1.设z?esinv，而u?xy,v?x?y，求

?z?z,. ?x?y?z?z,. ?x?y2.已知隐函数z?z?x,y?由方程x2?2y2?z2?4x?2z?5?0确定，求3.计算

??sinDx2?y2d?，其中D:?2?x2?y2?4?2.

4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.

5.求微分方程y??3y?e2x在y四.应用题（10分?2）

x?0?0条件下的特解.

1.要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

2..曲线y?f?x?上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点?1,?，求此曲线方程 .

3?1??3?试卷3参考答案

一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题

1.2x?y?2z?6?0. 2.cos?xy??ydx?xdy? . 3.6x2y?9y2?1 .

4.

?n?0???1?nxn.

2n?1?2x5.y??C1?C2x?e三.计算题 1.

.

?z?z?exy?ysin?x?y??cos?x?y?? ，?exy?xsin?x?y??cos?x?y??. ?x?y2.

?z2?x?z2y?,?. ?xz?1?yz?13.4.

?2?0d??sin???d???6?2.

?2?163R . 33x5.y?e?e2x.

四.应用题

1.长、宽、高均为32m时，用料最省.

2.y?12x. 3

《高数》试卷4（下）

一.选择题（3分?10）

1.点M1?4,3,1?，M2?7,1,2?的距离M1M2?（ ）. A.12 B.13 C.14 D.15

2.设两平面方程分别为x?2y?2z?1?0和?x?y?5?0，则两平面的夹角为（A.

?6 B.???4 C.3 D.2 3.函数z?arcsin?x2?y2?的定义域为（ ）.

A.??x,y?0?x2?y2?1? B.??x,y?0?x2?y2?1?

C.???x,y?0?x2?y2???2?? D.????x,y?0?x2?y2????2?? 4.点P??1,?2,1?到平面x?2y?2z?5?0的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数z?2xy?3x2?2y2的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.?1 D.12 6.设z?x2?3xy?y2，则

?z?x?1,2??（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9 7.若几何级数

??arn是收敛的，则（ ）.

n?0A.r?1 B. r?1 C.r?1 D.r?1

?8.幂级数

??n?1?xn的收敛域为（ ）.

n?0A.??1,1? B.??1,1? C.??1,1? D. ??1,1? 9.级数

??sinna是（ n?1n4）. . ）A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程xy??ylny?0的通解为（ ）. A.y?ecx B.y?cex C.y?ex D.y?cxex 二.填空题（4分?5）

?x?3?t?1.直线l过点A?2,2,?1?且与直线?y?t平行，则直线l的方程为

?z?1?2t?__________________________.

2.函数z?e的全微分为___________________________. 3.

曲

面

xyz?2x2?4y2在点

?2,1,4?处的切平面方程为

_____________________________________. 4.

1的麦克劳林级数是______________________. 21?xx?15.微分方程xdy?3ydx?0在y三.计算题（5分?6）

?1条件下的特解为______________________________.

?????????1.设a?i?2j?k,b?2j?3k，求a?b.

2.设z?uv?uv，而u?xcosy,v?xsiny，求

22?z?z,. ?x?y?z?z,. ?x?y3.已知隐函数z?z?x,y?由x3?3xyz?2确定，求

2222224.如图，求球面x?y?z?4a与圆柱面x?y?2ax（a?0）所围的几何体的体

积.

5.求微分方程y???3y??2y?0的通解.

四.应用题（10分?2） 1.试用二重积分计算由y?x,y?2x和x?4所围图形的面积.

2.如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律x?x?t?.（提示：

dxd2xt?0?v0） ??g.当时，有，x?x02dtdt

试卷4参考答案

一.选择题 CBABA CCDBA.

二.填空题 1.

x?2y?2z?1??. 112xy2.e?ydx?xdy?.

3.8x?8y?z?4.

n2n???1x. ?n?0?4.

5.y?x. 三.计算题

???1.8i?3j?2k.

2.

?z?z?3x2sinycosy?cosy?siny?,??2x3sinycosy?siny?cosy??x3sin3y?cos3y?x?y?? .

3.

?z?yz?z?xz. ?,?22?xxy?z?yxy?z323??2?a???. 3?23?4.

5.y?C1e?2x?C2e?x. 四.应用题 1.

16. 32. x??

12gt?v0t?x0. 2

《高数》试卷5（上）

一、 填空题(每小题3分, 共24分)

1. 函数y?19?x2的定义域为________________________.

?sin4x,x?0?2.设函数f?x???x, 则当a=_________时, f?x?在x?0处连续.

?x?0?a,x2?13. 函数f(x)?2的无穷型间断点为________________.

x?3x?2x4. 设f(x)可导, y?f(e), 则y??____________.

x2?1?_________________. 5. lim2x??2x?x?5x3sin2xdx=______________. 6. ?4?1x?x2?11dx2?tedt?_______________________. 7.

dx?08. y???y??y3?0是_______阶微分方程.

二、求下列极限(每小题5分, 共15分)

x?31?ex?1?1. lim; 2.; lim2 3. lim?1??. x?3x?9x?0sinxx???2x?三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)

xcosx, 求y?(0). 2. y?e, 求dy. x?2dy3. 设xy?ex?y, 求.

dx?x1. y?四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)

?1?1. ???2sinx?dx. 2. ?xln(1?x)dx.

?x?3.

?10e2xdx

?x?t?五、(8分)求曲线?在t?处的切线与法线方程.

2?y?1?cost六、(8分)求由曲线y?x2?1, 直线y?0,x?0和x?1所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程y???6y??13y?0的通解. 八、(7分)求微分方程y??y?ex满足初始条件y?1??0的特解. x《高数》试卷5参考答案

xx一．1．(?3,3) 2.a?4 3.x?2 4.ef?(e)

1?x25. 6.0 7.2xe 8.二阶 2?1 二.1.原式=limx?0xx2.lim11?

x?3x?361?12x?1?)]2?e23.原式=lim[(1x??2x

三.1.y??2,(x?2)2y?(0)?12

2.dy??sinxecosxdx

3.两边对x求写：y?xy??ex?y(1?y?)

ex?y?yxy?y ?y'?x?ex?y?x?xy

四.1.原式=lnx?2cosx?C

xx212 2.原式=?ln(1?x)d()?ln(1?x)??xd[ln(1?x)]

222x1x2x211dx?ln(1?x)??(x?1?)dx =ln(1?x)??221?x221?x22x21x2 =ln(1?x)?[?x?ln(1?x)]?C

222112x12xed(2x)?e 3.原式=?022dydy?sint,五. dxdx?2101?(e2?1) 2t??1.且当t??2时,x??2,y?1

切线：y?1?x??2,即x?y?1??2?0

法线：y?1??(x?),即x?y?1?21132S?(x?1)dx?(x?x)六.?0310??2?0

?4 3V???x2dy???(y?1)dy1122

1??(y2?y)2211??2

?r??3?2i七.特征方程:八.y?e?r2?6r?13?0y?e?3x(C1cos2x?C2sin2x)

?xdx1(?exe?xdx1dx?C)

?[(x?1)ex?C] 由yx?11x?0,?C?0 x?1xe x?y?

《高等数学》试卷6（下）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ d ）

4 5

A、10 B、20 C、24 D、22

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b 的向量积为（ c ） A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k 3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ c ） A、2 B、3 C、4 D、5 4、函数z=xsiny在点（1，

?）处的两个偏导数分别为（ a ） 4A、

22222222, , B、,?, C、? ? D、? 22222222?z?z,分别为（ ） ?x?y D、

5、设x2+y2+z2=2Rx，则

A、

x?Ryx?Ryx?Ry,? B、?,? C、?,zzzzzz22x?Ry, zz26、设圆心在原点，半径为R，面密度为??x?y的薄板的质量为（ ）（面积A=?R） A、R2A B、2R2A C、3R2A D、

?n12RA 2xn7、级数?(?1)的收敛半径为（ ）

nn?1A、2 B、

1 C、1 D、3 28、cosx的麦克劳林级数为（ ）

2n2n???x2nx2n?1nxnxnA、?(?1) B、?(?1) C、?(?1) D、?(?1)

(2n)!(2n)!(2n)!(2n?1)!n?0n?1n?0n?0?n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1：x=y=z与直线L2： 直线L3：

x?1y?3??z的夹角为___________。 2?1x?1y?2z??与平面3x?2y?6z?0之间的夹角为____________。 2?122、（0.98）2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。 3、二重积分

?22d?,D:x?y?1的值为___________。 ??D?xn4、幂级数?n!x的收敛半径为__________，?的收敛半径为__________。

n!n?0n?0n5、微分方程y`=xy的一般解为___________，微分方程xy`+y=y2的解为___________。 三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3 x+7y-5z=2

2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.

3、计算

4、问级数

5、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）

??xyd?，其中D由直线y?1,x?2及y?x围成.

D1n(?1)sin收敛吗？若收敛，则是条件收敛还是绝对收敛？ ?nn?1?1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t=0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B 10,A 二、填空题 1、arcos218,arcsin8 2、0.96，0.17365 213、л 4、0，+? 5、y?ce,cx?1?三、计算题

1、 -3 2 -8 解： △= 2 -5 3 = （-3）× -5 3 -2× 2 3 +（-8）2 -5 =-138 x221 y1 7 -5 7 -5 1 -5 1 7

17 2 -8 △x= 3 -5 3 =17× -5 3 -2× 3 3 +（-8）× 3 -5 =-138

2 7 -5 7 -5 2 -5 2 7

同理：

-3 17 -8

△y= 2 3 3 =276 , △z= 414

1

2 -5 所以，方程组的解为x?2、解：因为x=t,y=t,z=t, 所以xt=1,yt=2t,zt=3t，

22

3

?x?y?z?1,y???2,z???3 ???所以xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3 故切线方程为：

x?1y?1z?1?? 123法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0 即x+2y+3z=6

3、解：因为D由直线y=1,x=2,y=x围成， 所以 D：

1≤y≤2

y≤x≤2 故：

??xyd???[?xydx]dy??D1y2221y31(2y?)dy?1

284、解：这是交错级数，因为

11Vn?sin?0，所以，Vn?1?Vn,且limsin?0，所以该级数为莱布尼兹型级数，故收敛。nn1?11sin??发散，从而sin发散。1?n?1，又级数n又?sin当x趋于0时，sinx~x，所以，limnn?1?n??1nn?1n?1n所以，原级数条件收敛。12131x?x?????xn????5、解：因为 2!3!n!x?(??,??)ex?1?x?用2x代x，得：

e2x?1?(2x)?111(2x)2?(2x)3?????(2x)n????2!3!n!2222332nn?1?2x?x?x?????x????

2!3!n!x?(??,??)6、解：特征方程为r2+4r+4=0 所以，（r+2）2=0

得重根r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x 所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e-2x 四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z 则2（xy+yz+zx）=a2 构造辅助函数

F（x,y,z）=xyz+?(2xy?2yz?2zx?a) 求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得： yz+2?(y+z)=0 xz+2?(x+z)=0 xy+2?(x+y)=0

与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零 可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=

26a 66a3所以，表面积为a而体积最大的长方体的体积为V?xyz?

362

2、解：据题意

dM???Mdt其中??0为常数初始条件M对于t?0?M0dM???M式dtdM???dtM两端积分得lnM???t?lnC所以，M?ce??t又因为M所以，M0t?0

?M0?C所以，M?M0e??t由此可知，铀的衰变规律为：铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减。

《高数》试卷7（上）

一、选择题（每小题3分） 1、函数 y?ln(1?x)?x?2 的定义域是（ ）.

A ??2,1? B ??2,1? C ??2,1? D ??2,1? 2、极限lime 的值是（ ）.

x??xA、 ?? B、 0 C、?? D、 不存在 3、limsin(x?1)?（ ）.

x?11?x211 D、

22A、1 B、 0 C、 ?34、曲线 y?x?x?2 在点(1,0)处的切线方程是（ ）

A、 y?2(x?1) B、y?4(x?1) C、y?4x?1 D、y?3(x?1) 5、下列各微分式正确的是（ ）.

A、xdx?d(x2) B、cos2xdx?d(sin2x) C、dx??d(5?x) D、d(x2)?(dx)2

6、设

?f(x)dx?2cosx2?C ，则 f(x)?（ ）. A、sinxx2 B、 ?sin2 C 、 sinx2?C D、?2sinx27、?2?lnxxdx?（ ）. A、?21x2ln2x?C B、 122?2(2?lnx)?C

C、 ln2?lnx?C D、 ?1?lnxx2?C 8、曲线y?x2 ，x?1 ，y?0所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体体积V?（A、?1?410xdx B 、?0?ydy

C、

?1?(1?y)dy D、140?0?(1?x)dx 9、?1ex01?exdx?（ ）. A、ln1?e2 B、ln2?e2 C、ln1?e1?2e3 D、ln2 10、微分方程 y???y??y?2e2x 的一个特解为（ ）. A、y??32x7e B、y??37ex C、y??227xe2x D、y??7e2x

二、填空题（每小题4分）

1、设函数y?xex，则 y??? ；

2、如果lim3sinmxx?02x?23 , 则 m? .

3、

?13?1xcosxdx? ；

4、微分方程 y???4y??4y?0 的通解是 .

.

）5、函数f(x)?x?2x 在区间 ?0,4? 上的最大值是 ，最小值是 ；

三、计算题（每小题5分） 1、求极限 limx?011?x?1?x2inx 的导数； ； 2、求y?cotx?lns

2x

x3?1dx3、求函数 y?3 的微分； 4、求不定积分? ；

x?11?x?15、求定积分

?e1elnxdx ； 6、解方程

dyx ； ?dxy1?x2

四、应用题（每小题10分）

1、 求抛物线y?x2 与 y?2?x2所围成的平面图形的面积.

2、 利用导数作出函数y?3x2?x3 的图象.

参考答案

一、1、C； 2、D； 3、C； 4、B； 5、C； 6、B； 7、B； 8、A； 9、A； 10、D；

二、1、(x?2)e； 2、

x4?2x ； 3、0 ； 4、y?(C1?C2x)e ； 5、8，0 96x2?cotx ；三、1、 1； 2、 3、3 4、 dx ；2x?1?2ln(1?x?1)?C；2(x?1)35、2(2?) ； 6、y2?21?x2?C ； 四、1、

1e8； 32、图略

《高数》试卷8（上）

一、选择题（每小题3分） 1、函数y?2?x?1 的定义域是（ ）.

lg(x?1)A、??2,?1???0,??? B、 ??1,0??(0,??) C、(?1,0)?(0,??) D、(?1,??) 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.

xA、 limcosx B、limarctanx C、limsinx D、lim2

x?0x??x??x???3、lim(x??xx)?（ ）. 1?x2 A、e B、e C、1 D、

1 e4、曲线y?xlnx的平行于直线x?y?1?0的切线方程是（ ）. A、 y?x B、y?(lnx?1)(x?1) C、 y?x?1 D、y??(x?1) 5、已知y?xsin3x ，则dy?（ ）.

A、(?cos3x?3sin3x)dx B、(sin3x?3xcos3x)dx C、(cos3x?sin3x)dx D、(sin3x?xcos3x)dx 6、下列等式成立的是（ ）.

1??1x?C B、?axdx?axlnx?C ???11?C C、?cosxdx?sinx?C D、?tanxdx?21?xA、xdx??sinxsinxcosxdx 的结果中正确的是（ ）. 7、计算e?A、esinx?C B、esinxcosx?C

C、esinxsinx?C D、esinx(sinx?1)?C

8、曲线y?x2 ，x?1 ，y?0所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体体积V?（ ）. A、C、

??xdx B 、??ydy

004 D、?(1?y)dy?(1?x)dx ??00111419、设 a﹥0，则

2?a0a2?x2dx?（ ）.

A、a B、

?211a C、a2 0 D、?a2 24410、方程（ ）是一阶线性微分方程. A、xy??ln2y?0 B、y??exy?0 xC、(1?x2)y??ysiny?0 D、xy?dx?(y2?6x)dy?0

二、填空题（每小题4分）

?ex?1,x?01、设f(x)?? ，则有limf(x)? ，limf(x)? ；

x?0?x?0??ax?b,x?02、设 y?xex ，则 y??? ；

3、函数f(x)?ln( 1?x2)在区间??1,2?的最大值是 ，最小值是 ；4、

?1?1x3cosxdx? ；

5、微分方程 y???3y??2y?0 的通解是 .

三、计算题（每小题5分） 1、求极限 lim(x?113?2)； x?1x?x?2

2、求 y?1?x2arccosx 的导数；

3、求函数y?

4、求不定积分

x1?x2的微分；

?x12?lnxdx ；

5、求定积分

6、求方程x2y??xy?y 满足初始条件y()?4 的特解.

四、应用题（每小题10分）

1、求由曲线 y?2?x2 和直线 x?y?0 所围成的平面图形的面积.

2、利用导数作出函数 y?x3?6x2?9x?4 的图象.

参考答案（B 卷）

一、1、B； 2、A； 3、D； 4、C； 5、B； 6、C； 7、D； 8、A； 9、D； 10、B.

xx2x二、1、 2 ，b ； 2、(x?2)e ； 3、 ln5 ，0 ； 4、0 ； 5、C1e?C2e.

?e1elnxdx ；

12 三、1、

1x1 ； 2、?arccosx?1 ； 3、dx ；

22231?x(1?x)1?x1122? 4、22?lnx?C ； 5、2(2?) ； 6、y?ex ；

ex四、1、

9 ； 2、图略 2

《高数》试卷9（下）

一．选择题：3??10?30?

１．下列平面中过点（１,１,１）的平面是 ．

（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ （Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ （Ｃ）ｘ＝１ （Ｄ）ｘ＝３ ２．在空间直角坐标系中，方程x2?y2?2表示 ． （Ａ）圆 （Ｂ）圆域 （Ｃ）球面 （Ｄ）圆柱面 ３．二元函数z?(1?x)2?(1?y)2的驻点是 ． （Ａ）（１,１） （Ｂ）（１,０） （Ｃ）（０,１） （Ｄ）（０,０） ４．二重积分的积分区域Ｄ是1?x2?y2?4，则??dxdy? ．

D（Ａ）? （Ｂ）4? （Ｃ）3? （Ｄ）15? ５．交换积分次序后?0dx?0f(x,y)dy? ．

1x?dy?f(x,y)dx （Ｂ）?0dy?0f(x,y)dx （Ｃ）?0dy?0（Ａ）0y６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是 ． （Ａ）ｎ （Ｂ）０ （Ｃ）ｎ！ （Ｄ）１

11111yf(x,y)dx （Ｄ）?0xdy?f(x,y)dx01

７．对于ｎ元线性方程组，当r(A)?r(A)?r时,它有无穷多组解,则 ． （Ａ）ｒ＝ｎ （Ｂ）ｒ＜ｎ （Ｃ）ｒ＞ｎ （Ｄ）无法确定 ８．下列级数收敛的是 ． （Ａ）?n?1???n??n3(?1)n?11 （Ｂ）?n （Ｃ）? （Ｄ）?2n?1nnn?1n?1n?1?~(?1)n?1９．正项级数?un和?vn满足关系式un?vn，则 ．

n?1n?1（Ａ）若?un收敛，则?vn收敛 （Ｂ）若?vn收敛，则?un收敛

n?1?n?1?n?1?n?1?????（Ｃ）若?vn发散，则?un发散 （Ｄ）若?un收敛，则?vn发散

n?1n?1n?1n?1１０．已知：

11

的幂级数展开式为 ． ?1?x?x2??，则

1?x1?x2

（Ａ）1?x2?x4?? （Ｂ）?1?x2?x4?? （Ｃ）?1?x2?x4?? （Ｄ）1?x2?x4??

二．填空题：4??5?20? １．

数z?x2?y2?1?ln(2?x2?y2)的定义域为 ．

y２．若f(x,y)?xy，则f(,1)? ．

x??(x0,,y0)?3,fyy??(x0,y0)?12,fxy??(x0,y0)?a则 ３．已知(x0,y0)是f(x,y)的驻点，若fxx当 时，(x0,y0)一定是极小点．

T４．若A?4，则A? ．

５．级数?un收敛的必要条件是 ．

n?1?三．计算题(一)：6??5?30? １． ２．

?1３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝??2?20已知：z?xy，求：

?z?z，． ?y?x计算二重积分??4?x2d?，其中D?{(x,y)|0?y?4?x2,0?x?2}．

D?12?3????1??012，Ｂ＝??，求未知矩阵Ｘ． 1???001???

４．求幂级数?

５．求f(x)?e?x的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．

四．计算题(二)： 10??2?20?

１．求平面ｘ－2ｙ＋ｚ＝２和2ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程．

??x?y?z?1?2．设方程组?x??y?z?1，试问：?分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷

?x?y??z?1??(?1)n?1n?1xn的收敛区间． n多组解．

参考答案

一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ａ；４．Ｃ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．

二．１．?(x,y)|1?x2?y2?2? ２．

y ３．?6?a?6 ４．4 ５．limun?0

n??x三．1．解：

?z?z?yxy?1,?xylnx ?x?y24?x22．解：??4?x2d???dx?00D?x3?1622 4?xdy??(4?x)dx??4x???033??022?1?27??102????1?13．解：B??01?2?,X?AB???.

2?415???001???４．解：R?1,当|x|<1时，级数收敛，当x=1时，??(?1)n?1收敛， nn?1??(?1)2n?1?1??当x??1时，?发散，所以收敛区间为(?1,1]. nnn?1n?1５．解：.因为ex??xn(?x)n(?1)nn?x????x x?(??,??). x?(??,??),所以e??n!n!n!n?0n?0n?0???ij?四．1．解：.求直线的方向向量:s?1?221?k???1?i?3j?5k,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点?1为(2,0.0),所以交线的标准方程为:.2．解：

??~?A??1?1?1x?2yz?? 135?111??1??11???1???1???1?1??11?1?1?1??1?1?????11???0??11??0???0??11??0??01??1??21????011?0(1??)(2??)1????????

(1) 当???2时,r(A)?2,(A)?3,无解;

(2) 当??1,???2时, r(A)?(A)?3,有唯一解:x?y?z?~~1; 2???x?1?c1?c2~?(3) 当??1时, r(A)?(A)?1,有无穷多组解: ?y?c1(c1,c2为任意常数)

?z?c2?

《高数》试卷10（下）

一、选择题（3分/题）

1、已知a?i?j，b??k，则a?b?（ ）

A 0 B i?j C i?j D ?i?j 2、空间直角坐标系中x2?y2?1表示（ ）

A 圆 B 圆面 C 圆柱面 D 球面 3、二元函数z?

sinxy在（0，0）点处的极限是（ ） xA 1 B 0 C ? D 不存在

14、交换积分次序后dx01??1xf(x,y)dy=（ ）

11 A

?dy?f(x,y)dx B ?dy?f(x,y)dx

001x01C

?dy?011yf(x,y)dx D ?dy?f(x,y)dx

00y5、二重积分的积分区域D是x?y?1，则

??dxdy?（ ）

DA 2 B 1 C 0 D 4 6、n阶行列式中所有元素都是1，其值为（ ）

A 0 B 1 C n D n! 7、若有矩阵A3?2，B2?3，C3?3，下

）

A AC B CB C ABC D AB?AC 8、n元线性方程组，当r(A)?r(A)?r时有无穷多组解，则（ ） A r=n B rn D 无法确定 9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（ ）

A 必等于零 B 必不等于零 C 可以等于零，也可以不等于零 D 不会都不等于零 10、正项级数

~?un?1n?n和

?vn?1?n满足关系式un?vn，则（ ）

??A 若

?un?1??收敛，则

?vn?1??n收敛 B 若

?vn?1?n收敛，则

?un?1?n收敛

C 若

?vn?1n发散，则

?un?1n发散 D 若

?un?1n收敛，则

?vn?1n发散

二、填空题（4分/题）

1、 空间点p（-1，2，-3）到xoy平面的距离为 2、 函数f(x,y)?x2?4y2?6x?8y?2在点 处取得极小值，极小值为 3、 A为三阶方阵，A?3 ，则?A?

0xy4、 三阶行列式?x0z=

?y?z05、 级数

?un?1?n收敛的必要条件是

三、计算题（6分/题）

1、 已知二元函数z?y2x，求偏导数

2、 求两平面：x?2y?z?2与2x?y?z?4交线的标准式方程。

3、 计算二重积分

?z?z， ?x?y??Dx2其中D由直线x?2，y?x和双曲线xy?1所围成的区域。 dxdy，2y?223?4、 求方阵A??1?10?的逆矩阵。

???121??

(x?1)n5、 求幂级数?的收敛半径和收敛区间。 n5n?1?

四、应用题（10分/题） 1、 判断级数

?(?1)n?1?n?11的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。 pn??x1?x2?x3?1?2、 试根据?的取值，讨论方程组?x1??x2?x3?1是否有解，指出解的情况。

?x?x??x?123?1

参考答案

一、选择题（3分/题） DCBDA ACBCB 二、填空题（4分/题）

1、3 2、（3，-1） -11 3、-3 4、0 5、limun?0

n??三、计算题（6分/题） 1、

?z?z?2y2xlny，?2x?y2x?1 ?x?yx?2y?0z?0?? 1359 3、

4?1?4?3??1 4、A??1?5?3?

??164??? 2、

5、收敛半径R=5，收敛区间为（-4，6）

四、应用题（10分/题） 1、 当p?0时，发散；

0?p?1时条件收敛； p?1时绝对收敛

2、 当??1且???2时，r(A)?r(A)?3，A?0，方程组有唯一解；

当???2时，r(A)?3?r(A)?2，方程组无解； 当??1时，r(A)?r(A)?1?3，方程组有无穷多组解。

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