湖北省部分重点中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

湖北省部分重点中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（） A． ＞

B．

＞

C． |a|＞|b|

D．（）＞（）

a

b

2．（5分）与直线4x﹣3y+5=0关于x轴对称的直线方程为（） A． 4x+3y+5=0 B． 4x﹣3y+5=0 C． 4x+3y﹣5=0 D．4x﹣3y﹣5=0 3．（5分）下列命题正确的是（） A． 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B． 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C． 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D． 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 4．（5分）已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为（） A． 9π B． 9 C． 3π D．3

5．（5分）直线（cos A．

）x+（sinB．

）y+2=0的倾斜角为（）

C．

D．

6．（5分）设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA?x+ay+c=0与bx﹣sinB?y+sinC=0的位置关系是（） A． 平行 B． 重合 C． 垂直 D．相交但不垂直

7．（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）

A． B． C． D．

8．（5分）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（） A． （﹣2m，﹣m﹣4） B． （5，1） C． （﹣1，﹣2） D． （2m，m+4） 9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D．不确定

10．（5分）已知a＞b，ab=1，则 A． 2

B．

的最小值是（）

C． 2

D．1

11．（5分）已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay（a＞0）取得最小值的最

优解有无数个，则a的值为（）

A． ﹣3 B． 3

C． ﹣1 D．1

12．（5分）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是（） A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．（5分）已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则a=．

14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，则△ABC的面积S△ABC=． 15．（5分）下列命题正确的有

①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应； ②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，且当倾斜角增大时，斜率也增大； ③过两点A（1，2），B（m，﹣5）的直线可以用两点式表示； ④过点（1，1），且斜率为1的直线的方程为

=1；

⑤直线Ax+By+C=0（A，B不同时为零），当A，B，C中有一个为零时，这个方程不能化为截距式．

⑥若两直线垂直，则它们的斜率相乘必等于﹣1．

16．（5分）设a1=2，an+1=

，bn=|

|，n∈N+，则数列{bn}的通项公式bn为．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）某几何体的三视图如图所示，作出该几何体直观图的简图，并求该几何体的体积．

18．（12分）光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长．

19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；

（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

20．（12分）如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的．

（1）直接写出∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数． （2）求∠A1C1D的真实度数．

（3）设BC=1m，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？

．

21．（12分）（本题只限文科学生做）

已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C到直线AB的距离． 22．（12分）（本题只限理科学生做） 已知两定点A（2，5），B（﹣2，1），M（在第一象限）和N是过原点的直线l上的两个动点，且|MN|=2，l∥AB，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求点C的坐标．

23．已知函数f（x）=a?b的图象过点A（0，

x

），B（2，）．

（I）求函数f（x）的表达式；

*

（II）设an=log2f（n），n∈N，Sn是数列{an}的前n项和，求Sn； （III）在（II）的条件下，若bn=an 24．（本题只限理科学生做） 已知Sn为数列{an}的前n项和，且

（Ⅰ）求证：数列{an﹣2n}为等比数列；

（Ⅱ）设bn=an?cosnπ，求数列{bn}的前n项和Pn； （Ⅲ）设

，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：

．

，n=1，2，3…

，求数列{bn}的前n项和Tn．

湖北省部分重点中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（） A． ＞

考点： 专题： 分析： 解答： ∴

B．

＞

C． |a|＞|b|

D．（）＞（）

a

b

不等式的基本性质．

不等式．

根据不等式的性质，指数函数的单调性，绝对值的性质判断即可． 解：∵a＜b＜0，

，|a|＞|b|，（）＞（），

ab

∴ACD成立

令a=﹣2，b=﹣1，则=﹣1，=，而﹣1＜，故B不成立．

故选：B．

点评： 本题主要考查了不等式的性质，指数函数的单调性，绝对值的性质，属于基础题． 2．（5分）与直线4x﹣3y+5=0关于x轴对称的直线方程为（） A． 4x+3y+5=0 B． 4x﹣3y+5=0 C． 4x+3y﹣5=0 D．4x﹣3y﹣5=0

考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题： 直线与圆．

分析： 由条件求得故与直线4x﹣3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为﹣，且经过点（﹣，0），用点斜式求得要求直线的方程．

解答： 解：直线4x﹣3y+5=0的斜率为，与x轴的交点为（﹣，0）， 故与直线4x﹣3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为﹣，且经过点（﹣，0）， 故要求的直线方程为y﹣0=﹣（x+），化简可得4x+3y+5=0，

故选：A．

点评： 本题主要考查关于x轴对称的两条直线间的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题． 3．（5分）下列命题正确的是（） A． 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B． 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C． 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D． 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 根据棱柱和棱台的定义分别进行判断即可．

解答： 解：根据棱柱的定义可知，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱， 所以A，B，C错误，D正确． 故选D．

点评： 本题主要考查棱柱的概念，要求熟练掌握空间几何体的概念，比较基础． 4．（5分）已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为（） A． 9π B． 9 C． 3π D．3

考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 解答： 解：∵圆锥的底面周长为6π， ∴圆锥的底面半径r=3； 双∵圆锥的母线长l=8， 圆锥的高h=所以圆锥的体积V=

=

=3

π，

故选：C

点评： 本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，底面半径的求法，是必得分的题目．

5．（5分）直线（cos A．

）x+（sinB．

）y+2=0的倾斜角为（）

C．

D．

考点： 直线的倾斜角． 专题： 直线与圆．

分析： 求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．

解答： 解：直线（cos）x+（sin）y+2=0的斜率为：=﹣，

可得直线的倾斜角为：．

故选：D．

点评： 本题考查直线的斜率与倾斜角的求法，考查计算能力． 6．（5分）设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA?x+ay+c=0与bx﹣sinB?y+sinC=0的位置关系是（） A． 平行 B． 重合 C． 垂直 D．相交但不垂直

考点： 正弦定理的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 计算题．

分析： 要寻求直线sinA?x+ay+c=0与bx﹣sinB?y+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．

解答： 解：由题意可得直线sinA?x+ay+c=0的斜率斜率

，bx﹣sinB?y+sinC=0的

∵k1k2=

==﹣1

则直线sinA?x+ay+c=0与bx﹣sinB?y+sinC=0垂直 故选C．

点评： 本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用．

7．（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）

A． B． C． D．

考点： 简单空间图形的三视图． 专题： 压轴题；图表型．

分析： 解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可．

解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可．

解答： 解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那

么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C．

解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1； 当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是；

当俯视是C时，该几何是直三棱柱， 故体积是

，

，高为1，则体积是

当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成， 其体积是

．

故选C．

点评： 本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．

8．（5分）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（） A． （﹣2m，﹣m﹣4） B． （5，1） C． （﹣1，﹣2） D． （2m，m+4）

考点： 恒过定点的直线． 专题： 计算题；直线与圆．

分析： 由直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0变形为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）=0，

令，即可求出定点坐标．

解答： 解：由直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0变形为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）=0， 令

，

解得，

∴该直线过定点（﹣1，﹣2）， 故选：C，

点评： 本题考查了直线系过定点问题，考查学生的计算能力，属于基础题． 9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D．不确定

考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．

分析： 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、

诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．

解答： 解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA， 即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=

，故三角形为直角三角形，

故选B．

点评： 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

10．（5分）已知a＞b，ab=1，则

的最小值是（）

A． 2 B． C． 2

考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 计算题．

D．1

分析： 先根据ab=1，化简==，根据a＞b推断出a

﹣b＞0，进而利用基本不等式求得其最小值． 解答： 解：∵a＞b

∴a﹣b＞0 ∴

≥2

=2

（当a﹣b=

时等号成立）

=

=

，

故选A．

点评： 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则．

11．（5分）已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay（a＞0）取得最小值的最

优解有无数个，则a的值为（） A． ﹣3 B． 3 C． ﹣1 D．1

考点： 简单线性规划的应用． 专题： 计算题；数形结合．

分析： 先根据约束条件画出可行域，由z=x+ay，利用z的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z=x+ay与可行域的边界AC平行时，从而得到a值即可．

解答： 解：∵z=x+ay则y=﹣x+z，为直线y=﹣x+在y轴上的截距 要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个， 则截距最小时的最优解有无数个． ∵a＞0

把x+ay=z平移，使之与可行域中的边界AC重合即可， ∴﹣a=﹣1 ∵a=1 故选D．

点评： 本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z的几何意义，属于中档题．

12．（5分）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是（） A．

B．

C．

D．

考点： 点到直线的距离公式． 专题： 直线与圆．

分析： 求出平面上点（x，y）到直线的距离为d=，由于|5（5x﹣3y+2）

+2|≥2，从而求得所求的距离d的最小值．

解答： 解：直线即25x﹣15y+12=0，设平面上点（x，y）到直线的距离为d，则 d=

=

．

∵5x﹣3y+2为整数，故|5（5x﹣3y+2）+2|≥2，且当x=y=﹣1时，即可取到2， 故所求的距离的最小值为

=

，

故选B．

点评： 本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．（5分）已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则a=0或1．

考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆．

分析： 由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得．

解答： 解：∵直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直， ∴（3a+2）（5a﹣2）+（1﹣4a）（a+4）=0，

2

化简可得a﹣a=0，解得a=0或a=1 故答案为：0或1

点评： 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．

14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3

，B=30°，则△ABC的面积S△ABC=

或．

考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．

分析： 根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可．

解答： 解：由正弦定理得即C=60°或120°， 则A=90°或30°， 则△ABC的面积S△ABC=S△ABC=故答案为：

=或

；

==

得sinC===，

=

；

或

点评： 本题主要考查三角形面积的计算，根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键． 15．（5分）下列命题正确的有⑤ ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应； ②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，且当倾斜角增大时，斜率也增大； ③过两点A（1，2），B（m，﹣5）的直线可以用两点式表示； ④过点（1，1），且斜率为1的直线的方程为

=1；

⑤直线Ax+By+C=0（A，B不同时为零），当A，B，C中有一个为零时，这个方程不能化为截距式．

⑥若两直线垂直，则它们的斜率相乘必等于﹣1．

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 综合题；推理和证明．

分析： 对每个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答： 解：①α≠90°时，每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应，故不正确；

②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，0°≤α＜90，当倾斜角增大时，斜率也增大；90°＜α＜180°，当倾斜角增大时，斜率也增大，故不正确； ③m≠1时过两点A（1，2），B（m，﹣5）的直线可以用两点式表示，故不正确；

④过点（1，1），且斜率为1的直线的方程为=1（x≠1），故不正确；

⑤直线Ax+By+C=0（A，B不同时为零），当A，B，C中有一个为零时，这个方程不能化为截距式，正确．

⑥斜率存在时，若两直线垂直，则它们的斜率相乘必等于﹣1，故不正确． 故答案为：⑤．

点评： 本题考查命题的真假判断，考查直线的斜率、倾斜角、直线的方程，属于中档题．

16．（5分）设a1=2，an+1=

，bn=|

|，n∈N+，则数列{bn}的通项公式bn为2

n+1

．

考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： a1=2，an+1=

，可得==﹣2?

，bn+1=2bn，再利用等

比数列的通项公式即可得出． 解答： 解：∵a1=2，an+1=

，

∴===﹣2?，

∴bn+1=2bn， 又b1=

=4，

∴数列{bn}是等比数列， ∴

n+1

．

故答案为：2．

点评： 本题考查了变形利用等比数列的通项公式，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）某几何体的三视图如图所示，作出该几何体直观图的简图，并求该几何体的体积．

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；作图题；空间位置关系与距离．

分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形，高为1的四棱锥，求出它的体积，画出它的直观图．

解答： 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面为正方形，高为1的四棱锥， 且底面正方形的边长为1；

∴该四棱锥的体积为V=×1×1=， 画出该四棱锥的直观图如图所示．

2

点评： 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，也考查了直观图的画法问题，是基础题目． 18．（12分）光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长．

考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题： 计算题．

分析： 求出点A关于l的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A到B所走过的路线长．

解答： 解：设点A关于l的对称点为A′（x0，y0），

∵AA′被l垂直平分，∴，解得

∵点A′（﹣4，﹣3），B（1，1）在反射光线所在直线上，

∴反射光线的方程为=，即4x﹣5y+1=0，

解方程组得入射点的坐标为（﹣，﹣）．

由入射点及点A的坐标得入射光线方程为，即5x﹣4y+2=0，

光线从A到B所走过的路线长为|A′B|==．

点评： 本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利

用对称点的连线被对称轴垂直平分．

19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=

．

（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；

（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

考点： 余弦定理的应用．

分析： （Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．

（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出

∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵c=2，C=∴a+b﹣ab=4，

又∵△ABC的面积等于∴∴ab=4 联立方程组

，解得a=2，b=2

，

2

2

，c=a+b﹣2abcosC

222

，

（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA， ∴sinBcosA=2sinAcosA 当cosA=0时，

，

，

，

，求得此时

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，

联立方程组解得，．

所以△ABC的面积综上知△ABC的面积

点评： 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．

20．（12分）如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的．

（1）直接写出∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数． （2）求∠A1C1D的真实度数．

（3）设BC=1m，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （1）∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°； （2）连接DA1，则△A1C1D的三条边都是正方体的面对角线，都是，利用等边三角形的性质即可得出； （3）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥C1﹣C B1D1的体积，即可得出． 解答： 解：（1）∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°； （2）连接DA1，则△A1C1D的三条边都是正方体的面对角线， 都是，

∴△A1C1D是等边三角形， ∴∠A1C1D=60°．

（3）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于 三棱锥C1﹣C B1D1的体积，

而===．

点评： 本题考查了正方体的直观图的性质、等边三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 21．（12分）（本题只限文科学生做） 已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C到直线AB的距离．

考点： 两点间距离公式的应用． 专题： 计算题；直线与圆．

分析： 求出直线AC，BC的方程，可得C的坐标，求出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求出顶点C到直线AB的距离．

解答： 解：∵∴直线AC的方程为

∴

即x+2y+6=0 （1）

又∵kAH=0，

∴BC所直线与x轴垂直

故直线BC的方程为x=6 （2） 解（1）（2）得点C的坐标为C（6，﹣6）…（8分） 由已知直线AB的方程为：x﹣8y+26=0， ∴点C到直线AB的距离为： d=

=

…（12分）

点评： 本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．

22．（12分）（本题只限理科学生做） 已知两定点A（2，5），B（﹣2，1），M（在第一象限）和N是过原点的直线l上的两个动点，且|MN|=2，l∥AB，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求点C的坐标．

考点： 两条直线的交点坐标． 专题： 直线与圆．

分析： 由点A、B的坐标并利用斜率公式得kAB=1，求出l的方程，设M（a，a）（a＞0），N（b，b），利用求解即可． 解答： （理）

解：由两定点A（2，5），B（﹣2，1），得kAB=1，于是k1=1，从而l的方程为y=x，…（2分）

设M（a，a）（a＞0），N（b，b），由故|a﹣b|=2…（4分） 直线AM的方程为：直线BN的方程为：分） 故

，化简得a=﹣b，将其代入|a﹣b|=2，并注意到a＞0，得a=1，b=﹣1

，令x=0，则得C的坐标为，令x=0，则得C的坐标为

…（9

，得

，

，求出|a﹣b|=2，得C的坐标为

与

所以点C的坐标为（0，﹣3）…（12分）

点评： 本题考查直线方程的求法，交点坐标的求法，考查计算能力．

23．已知函数f（x）=a?b的图象过点A（0，（I）求函数f（x）的表达式；

（II）设an=log2f（n），n∈N，Sn是数列{an}的前n项和，求Sn； （III）在（II）的条件下，若bn=an

，求数列{bn}的前n项和Tn．

*x

），B（2，）．

考点： 函数解析式的求解及常用方法；等差数列的前n项和；数列的求和． 专题： 综合题．

分析： （I）因为A和B在函数图象上代入求出a，b即可得到f（x）的解析式；

（II）求得an=log2f（n）=n﹣4，得到an为首项为﹣3，公差为1的等差数列，则Sn是数列的前n项和，利用等差数列的求和公式得到即可； （III）在（II）的条件下，若bn=an利用错位相减法得到即可．

解答： 解：（I）∵函数f（x）=a?b的图象过点

x

=（n﹣4）

，所以得到Tn，求出其一半，

A（0，），B（2，）

∴解得：a=，b=2，∴f（x）=2

x﹣4

（II）an=log2

f（n）

==n﹣4

∴{an}是首项为﹣3，公差为1的等差数列 ∴Sn=﹣3n+n（n﹣1）=n（n﹣7）； （III）bn=an

Tn=﹣3×+（﹣2）×

=（n﹣4）

①

+…+（n﹣4）×

=﹣3×+（﹣2）×+…+（n﹣4）×②

①﹣②，得：Tn=﹣3×+∴Tn=﹣2﹣（n﹣2）

．

++…+﹣（n﹣4）×

点评： 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，以及等差数列前n项和公式的运用

能力，用错位相减法求数列之和的能力． 24．（本题只限理科学生做） 已知Sn为数列{an}的前n项和，且

（Ⅰ）求证：数列{an﹣2n}为等比数列；

（Ⅱ）设bn=an?cosnπ，求数列{bn}的前n项和Pn； （Ⅲ）设

，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：

．

，n=1，2，3…

考点： 数列的求和；等比数列的通项公式．

专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）将n换成n﹣1，两式相减，再由等比数列的定义，即可得证；

（Ⅱ）运用等比数列的通项公式，可得数列{an}的通项，讨论n为奇数和偶数，运用分组求和，即可得到所求；

（Ⅲ）求得{cn}的通项，由n=1，n＞1，运用放缩法，结合不等式的性质，即可得证．

解答： （Ⅰ）证明：∵∴

．

，

∴an+1=2an﹣2n+2，∴an+1﹣2（n+1）=2（an﹣2n）． ∴{an﹣2n}是以2为公比的等比数列；

（Ⅱ）解：a1=S1=2a1﹣4，∴a1=4，∴a1﹣2×1=4﹣2=2． ∴

，∴

．

当n为偶数时，Pn=b1+b2+b3+…+bn=（b1+b3+…+bn﹣1）+（b2+b4+…+bn）

324n

=﹣（2+2×1）﹣（2+2×3）﹣…﹣+（2+2×2）+（2+2×4）+…+（2+2×n） =

；

当n为奇数时，Pn=．

综上，．

（Ⅲ）证明：．

当n=1时，T1=当n≥2时，

，

==，

综上可知：任意n∈N*，．

点评： 本题考查数列的通项和求和之间的关系，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，数列的求和：分组求和法，以及不等式的放缩法的运用，属于中档题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2z57.html