湖北省2013年高考试卷(文数)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（文史类）

本试题卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．已知全集U {1,2,3,4,5}，集合A {1,2}，B {2,3,4}，则B ðUA

A．{2} 【答案】B

【解析】本题考查集合的相关运算

.

B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}

【易错点】在求解集合中关于补集问题时，要注意全集的范围，以免得出错误结论. 【难易度评价】易

x2y2y2x2π

2．已知0 ，则双曲线C1：2 1与C2： 1的

sin cos2 cos2 sin2 4

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D

【解析】本题考查双曲线的离心率等基本特征

【易错点】正确理解双曲线的定义，不要认为凡是含x2项的分式的分母对应的就是实半轴的平方.

【难易度评价】易

3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A．( p)∨( q) B．p∨( q) C．( p)∧( q) D．p∨q 【答案】A

【解析】本题考查逻辑联结词、复合命题的判断

.

【易错点】正确理解命题本身的含义以及逻辑联词的含义是解决这类问题的关键，否则极易由于理解不准确而出错. 【难易度评价】易

4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：

y 2.347x 6.423； ② y与x负相关且 y 3.476x 5.648； ① y与x负相关且

y 4.326x 4.578. y 5.437x 8.493； ④ y与x正相关且 ③ y与x正相关且

其中一定不正确的结论的序号是 ．．．

A．①② 【答案】D

B．②③ C．③④ D． ①④

【解析】本题考查线性相关的基本概念

.

【易错点】注意认真审题，题目问的是“不正确”的结论的序号，不要错选B. 【难易度评价】易

5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是

【答案】C 【解析】本题考查函数所表示的实际意义

.

【易错点】忽视了小明为了赶时间，后来加快了速度行驶，从而错选B. 【难易度评价】中

6．

将函数y x sinx(x R)的图象向左平移m(m 0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是

πππ5πA． B． C． D．

12636

7．已知点A( 1,1)、B(1,2)、C( 2, 1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为

A

B

C

． D

．

8．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x) x [x]在R上为 A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数 【答案】D

【解析】本题考查新知识的接收及使用能力，及数形结合的思想方法

.

【易错点】正确理解[x]的含义及作出准确的函数图象，同时不要误认为该函数为增函数.

【难易度评价】难

9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为 A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元

10．已知函数f(x) x(lnx ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是

A．( ,0) B．(0,1

2

) C．(0,1) D．(0, )

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位．．．．．．．

置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1 2 3i，则z2 【答案】-2+3i

【解析】本题考查复平面、关于原点对称的性质.

由题意，复数z1,z2的实部和虚部都互为相反数，故z2=-2+3i.

【易错点】切忌将关于原点、直线、坐标轴等各种对称性质弄混，从而失分. 【难易度评价】易

12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：

7，8，7，9，5，4，9，10，7，4

则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为. 【答案】（I）7 （II）2

【解析】本题考查平均数和标准差的计算

.

【易错点】注意计算的准确性，以免造成不必要的失分. 【难易度评价】易

13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m的值为2， 则输出的结果

i

【答案】4

【解析】本题考查程序框图

.

【易错点】注意每一步运算中，条件与结论的对应关系，不要因为弄混而出错. 【难易度评价】中

π

14．已知圆O：x2 y2 5，直线l：xcos ysin 1（0 ）.设圆O上到直线l的

2

距离等于1的点的个数为k，则k . 【答案】4

【解析】本题考查圆与直线的位置关系、点到直线的距离以及转化和化归的思想方法.

15．在区间[ 2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x| m的概率为【答案】3

【解析】本题考查绝对值不等式，几何概型的应用

.

【易错点】正确理解几何概型的含义，以免出错. 【难易度评价】中

16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天

池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【答案】3

【解析】本题考查圆台知识在实际生活中的应用。

5

，则m . 6

17．在平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多

边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应的S 1，N 0，L 4.

（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别

是 ；

（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为

S aN bL c，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应的N 71，L 18， 则S （用数值作答）.

第17题图

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知cos2A 3cos(B C) 1. （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC

的面积S ，b 5，求sinBsinC的值

.

19．（本小题满分13分）

已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2 a3 a4 18. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn 2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；

若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2 d1．同样可

得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2 d2，C1C2 d3，且d1 d2 d3. 过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1 A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．

（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；

（Ⅱ）在△ABC中，记BC a，BC边上的高为h，面积为S. 在估测三角形ABC区域

内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1 A2B2C2的体积V）时，可用近似公式

1

V估 S中 h来估算. 已知V (d1 d2 d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加

3

以证明.

第20题图

21．（本小题满分13分）

ax b

. x 1

（Ⅰ）当a b时，讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）当x 0时，称f(x)为a、b关于x的加权平均数.

设a 0，b 0，已知函数f(x)

（i）判断f

(1), fbb

,f()是否成等比数列，并证明f() f； aa

（ii）a、b的几何平均数记为G. 称

2ab

为a、b的调和平均数，记为H. a b

若H f(x) G，求x的取值范围.

22．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别

为2m，2n(m n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从

m

大到小依次为A，B，C，D．记 ，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.

n

（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1 S2，求 的值；

（Ⅱ）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1 S2？并说明理由．

M

第22题图

【解析】本题考查椭圆的性质、圆锥曲线的综合应用以及分类讨论的思想方法.

【易错点】圆锥曲线问题难度较大，同时计算量相当大，我们在求解过程中除了要寻找到最优的解题思路，还有特别注意计算的准确性，以免造成不必要的失分. 【难易度评价】难

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