高二导数数列教案龙华高二寒假

高二导数@数列寒假教案

邦德教育龙华高中部

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Mr：亮

哥 第一讲 导数的概念与切线问题

【知识要点】

1.导数的概念及其几何意义 2.你熟悉常用的导数公式吗？ 3.导数的运算法则：

（1）两个函数四则运算的导数 （2）复合函数的导数：y'x?y'u·u'x

4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?

【典型例题】

例1.导数的概念题

1．在曲线y?x2?1的图象上取一点?1,2?及邻近一点?1??x,2??y?，则

?y为（ ） ?xA. ?x?1?x?2 B. ?x?1?x?2 C. ?x?2 D. ?x?1?x?2

2.一质点的运动方程为S?5?3t2，则在一段时间?1,1??t?内相应的平均速度为（ A. 3?t?6 B. ?3?t?6 C. 3?t?6 D. ?3?t?6

3.已知f??2??3,则 （1）f?2??x??f?2??limx?0?x?

（2）limf?2?x??f?2?x?0x?

（3）limf?2?x??f?2?x?0x? （4）limf?2?2x??f?2?x?0x?

（5）limf?2?2x??f?2?x?x?0x? 4.求导公式的应用

（1）f(x)?x3?x?lnx?3，则f?(x)=

（2）f(x)?x3?2x2?x?5，若f?(x0)?0，则x0=

（3）f(x)?(3x2?x?1)(2x?3)，则f?(x)= ，f?(?1)=

）2x?sinx（4）f(x)?，则f?(x)=

x

10（5）f(x)?(2x?3)，则f?(x)=

5.已知f?x??f??1?x?x?4x，则f?x?=

32

例2.切线问题

1.曲线y?4x?x上两点A(4,0),B(2,4)，若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（ ） A.(1,3) B.(3,3)

2.（11全国Ⅰ新卷理3）曲线y? C.(6,?12) D.(2,4)

2x在点(?1,?1)处的切线方程为（ ） x?2A．y?2x?1 B．y?2x?1 C．y?2x?3 D．y?2x?2

3.（11全国Ⅱ卷文7）若曲线y?x?ax?b在点(0,b)处的切线方程是x?y?1?0，则

2a? ，b? .

，?3)处的切线方程是 4.曲线y?x?2x?4x?2在点(1

32，处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的面积为____ __ 5.曲线y?x在点(11)3

6.曲线y?x3?3x2?6x?4的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是

例4.曲线C：y?ax?bx?cx?d在(0,1)点处的切线为l1:y?x?1 在(3,4)点处的切

32线为l2:y??2x?10，求曲线C的方程.

例5.已知两曲线y?x?ax和y?x?bx?c都经过点P?1,2?，且在点P处有公切线，

32试求a,b,c的值.

例6.切线问题的综合应用

1.（山东卷文10）观察(x)?2x，(x)?4x，(cosx)??sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(?x)?f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(?x)= ( ) A.f(x) B.?f(x) C. g(x) D.?g(x)

22.（2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程

2'4'3'为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的方程为

23.（2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x?8x?8，则曲线

y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( )

A.y?2x?1 B.y?x C.y?3x?2 D.y??2x?3

4.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y?x?1与曲线y?ln(x?a)相切，则a的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2

5.（2009福建卷理）若曲线f(x)?ax?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围

3是_____________

6.曲线y?lnx上的点到直线y?x?3的最短距离为

7.（11辽宁卷理10文12）已知点p在曲线y?斜角，则?的取值范围是( ) A. [0,

4上，?为曲线在点p处的切线的倾xe?1????3?3?] D.[,?) ) B.[,) C.(,422444

【经典练习】

?1.（11江西理）若f(x)?x??x??lnx，则f'(x)??的解集为（ ）

（-?，?）（，U?+?）A．(?,??) B．

C．(?,??) D．(-?,?)

422.（11江西卷文4）若f(x)?ax?bx?c满足f?(1)?2，则f?(?1)?（ ）

A．?4 B．?2 C．2

D．4

23.设曲线y?ax在点??,a?处的切线与直线2x?y?6?0平行，则a?（ ）

A.1 B.

11 C.? D.?1 221x24.已知曲线y?的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）

24A.1

5.曲线y?

B.2

C.3

D.4

13?4?x?x在点?1，?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） 3?3? B.

A.

1 92 9 C.

1 3 D.

2 36.曲线y?

12和y?x在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 x

27.过点P(?1,2)且与曲线y?3x?4x?2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是

8.已知f?2??3，f??2??4,则limx?0f?2?2x??f?2?4x??6?

x

9.已知直线y?2x?2为曲线f?x??x?ax的一条切线，则a=

3

第二讲 导数的应用（一）

【知识要点】

1.求曲线的切线方程 2.求单调区间

3.求函数的极值（或函数最值）

【典型例题】

1.已知曲线S:y?2x?x3

（1）求曲线S在点A(1,1)处的切线方程； （2）求过点B(2,0)并与曲线S相切的直线方程．

2.设函数f(x)?13x?x2?3x?1 3（1）讨论f(x)的单调性；

，5?的值域. （2）求f(x)在区间??5

3.设函数f(x)?ln(2x?3)?x （1）讨论f(x)的单调性；

（2）求f(x)在区间??，?的最大值和最小值.

44

4．已知f?x??lnx,g?x??切于点?1,0?

,

（1）求直线l的方程及g(x)的解析式；

（2）若h?x??f?x??g'?x?（其中g'?x?是g?x?的导函数），求函数h?x?的值域.

2?31???1312x?x?mx?n，直线l与函数f?x?,g?x?的图象都相325.设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．

32（1）求a,b的值；

3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围 （2）若对于任意的x?[0，2

6.设定函数f(x)?a3x?bx2?cx?d(a?0),且方程f'(x)?9x?0的两个根分别为1,4. 3（1）当a?3且曲线y?f(x)过原点时，求f(x)的解析式； （2）若f(x)在(??,??)无极值点，求a的取值范围.

7．设t?0, 点P(t, 0)是函数f(x)?x3?ax与g(x)?bx2?c的图象的一个公共点, 两函数的图象在点P处有相同的切线. (1) 用t表示a,b,c；

(2) 若函数y?f(x)?g(x)在(?1, 3)上单调递减，求t的取值范围.

【经典练习】

1.如果函数y?f(x)的图象如右图，那么导函数

y?f??x?的图象可能是（ ）

2.在下列结论中，正确的结论有（ ）

①单调增函数的导函数也是单调增函数； ②单调减函数的导函数也是单调减函数； ③单调函数的导函数也是单调函数； ④导函数是单调的，则原函数也是单调的． A.0个 B.2个 C.3个 D.4个

3.函数y?x?8x?2在??1,3?上的最大值为（ ）

42A．11 B．2 C．12 D.10

4.曲线y?e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

x292A.e 4

B.2e

2 C.e

2e2 D.

2325.（全国卷Ⅰ）函数f(x)?x?ax?3x?9，已知f(x)在x??3时取得极值，

则a=（ ） A.2 B.3

C.4 D.5

6.设函数f(x)?3x?4x则下列结论中，正确的是（ ）

A.f(x)有一个极大值点和一个极小值点 B.f(x)只有一个极大值点 C.f(x)只有一个极小值点

7.函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是

8.已知函数y?3x?2x?1在区间(m, 0)上为减函数, 则m的取值范围是

9.曲线f(x)?x3?x?1过点P(1,1)的切线方程为

10.已知f?x??

3243

D.f(x)有二个极小值点

x2?1?ax在?1,???上为减函数，则a的取值范围为

第三讲 导数的应用（二）

【典型例题】

1.恒成立问题 2.单调性问题

【典型例题】

题型一：恒成立问题?最值问题?导数

1.设函数f(x)?tx?2tx?t?1(x?R，t?0)． （1）求f(x)的最小值h(t)；

222)恒成立，求实数m的取值范围. （2）若h(t)??2t?m对t?(0，

442.已知函数f(x)?axlnx?bx?c?x?0?在x?1处取得极值?3?c，其中a,b,c为常

数.

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x?0，不等式f(x)??2c恒成立，求c的取值范围.

2

题型二：单调性问题

3.（2009安徽卷理）已知函数f(x)?x?

2?a(2?lnx),(a?0)，讨论f(x)的单调性. x4.（2009北京理）设函数f(x)?xe(k?0) （1）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2）求函数f(x)的单调区间；

（3）若函数f(x)在区间(?1,1)内单调递增，求k的取值范围.

5.（全国一19）已知函数f(x)?x?ax?x?1，a?R．

32kx（1）讨论函数f(x)的单调区间；

??内是减函数，求a的取值范围． （2）设函数f(x)在区间??，

?2?31?3?6.（11北京理18）已知函数f(x)?(x?k)e。 （1）求f(x)的单调区间；

2xk（2）若对于任意的x?(0,??)，都有f(x)≤

1，求k的取值范围. e【经典练习】

1.（辽宁卷6）设P为曲线C：y?x2?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0，?，则点P横坐标的取值范围为（ ）

????4??，?? A.??12

??1?， B.??10? ， C.?01?

1? D.?，?1??2?2.(2009年广东卷文)函数f(x)?(x?3)ex的单调递增区间是（ ）

，4? D.(2,??) A.(??,2) B.?0,3? C. ?1

???，当x1?x2时，3.（2009福建卷理）下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2??0，都有f?x1??f?x2?的是（ ） A.f(x)=

4．若函数y??A.b?0

5.（2009全国卷Ⅰ理）已知直线y?x?1与曲线y?ln(x?a)相切，则a的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2

236.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x和y?ax?1x B.f(x)=(x?1)2 C.f(x)=e D.f(x)?ln(x?1) x43x?bx有三个单调区间，则b的取值范围是（ ） 3 B.b?0

C.b?0

D.b?0

15x?9都相切，4则a等于（ ） A.?1或-

7.函数f(x)?x3?ax2?bx?1，当x?1时，有极值1，则函数g(x)?x3?ax2?bx的单调减区间为 .

8．已知曲线y?25217257 B.?1或 C.?或- D.?或7

4464464138x上一点P(2,)，则点P处的切线方程是 ；过点P的切线33方程是 .

第四讲 导数的应用（三）

【典型例题】 1.恒成立问题 2.单调性问题 【典型例题】

题型一：恒成立问题(及不等式证明问题)

1.（安徽卷20）设函数f(x)?1(x?0且x?1) xlnx（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）已知2?x对任意x?(0,1)成立，求实数a的取值范围.

a1x

2.（湖北理 20）已知定义在正实数集上的函数f(x)?12x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，2其中a?0．设两曲线y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． （1）用a表示b，并求b的最大值； （2）求证：f(x)?g(x)（x?0）．

题型二：单调性问题

3.（10江西卷文17）设函数f(x)?6x?3(a?2)x?2ax. （1）若f(x)的两个极值点为x1,x2，且x1x2?1，求实数a的值；

（2）是否存在实数a，使得f(x)是(??,??)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由.

24．已知函数f(x)?ax?32x?lnx e（1）任取两个不等的正数x1、x2，

f(x1)?f(x2)?0恒成立，求：a的取值范围；

x1?x2（2）当a?0时，求证：f(x)?0没有实数解．

3225．（全国卷I）设a为实数，函数f?x??x?ax?a?1x在???,0?和?1,???都是增

??函数，求a的取值范围.

6.（10全国Ⅰ卷文21）已知函数f(x)?3ax?2(3a?1)x?4x （1）当a?

421

时，求f(x)的极值； 6

（2）若f(x)在??1,1?上是增函数，求a的取值范围.

7.（2009浙江文）已知函数f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b (a,b?R)． （1）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； （2）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．

【经典练习】

1.已知对任意实数x，有f(?x)??f(x)，g(?x)?g(x)，且x?0时， f?(x)?0，g?(x)?0，则x?0时（ ） A．f?(x)?0，g?(x)?0

B．f?(x)?0，g?(x)?0

C．f?(x)?0，g?(x)?0

D．f?(x)?0，g?(x)?0

2.已知f(x),g(x)是定义在?a,b?上的函数，且f??x??g??x?,则当a?x?b时,有（A.f?x??g?x? B.f?x?+g?a??g?x??f?a? C.f?x??g?x? D.f?x?+g?a??g?x??f?a?

） 3.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)?0,，当x?0时

f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,且

f(?3)?0,则不等式f(x)/g(x)?0的解集是（ ）

A.(?3,0)?(3,??) B.(?3,0)?(0,3) C.(??,?3)?(3,??) D.(??,?3)?(0,3)

5434．方程6x?15x?10x?1?0的实数解的集合是（ ）

A.至少有2个元素 B. 至少有3个元素 C.恰有1个元素 D. 恰好有5个元素

5.（2009天津卷理）设函数f(x)?1x?lnx(x?0),则y?f(x)（ ） 31eA．在区间(,1),(1,e)内均有零点 B．在区间(,1),(1,e)内均无零点 C．在区间(,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点 D．在区间(,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点

36．设函数f(x)?ax?3x?1，若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，则实数a的

1e1e1e值为

.

第五讲 导数的应用（四）

【典型例题】

1.极值的存在性问题 2.图像的交点问题

【典型例题】

题型一：极值的存在性问题

1.已知函数的f?x??x3?x2?x?3，则极值点的个数为 . 2.已知函数的f?x??x3,则极值点的个数为 . 3. 已知函数的f?x??

13x?ax2?x?1, a?R，讨论极值点的个数. 34.已知a?R，讨论函数f(x)?ex(x2?ax?a?1)的极值点的个数.

325．已知函数f(x)?4x?3xcos??1πx?R?0???，其中，为参数，且

322（1）当cos??0时，判断函数f(x)是否有极值；

（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数?的取值范围；

，a)内都是增（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数?，函数f(x)在区间(2a?1函数，求实数a的取值范围．

6.设函数f(x)?ln(x?a)?x

（1）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln

2e． 2题型二：图像的交点问题

7.已知方程x?3x?1?m=0. （1）若有一个解，求m的范围； （2）若有两个解，求m的范围； （3）若有三个解，求m的范围.

38.已知函数数.

f(x)?x3+3ax?1,g(x)?f?(x)?ax?5,其中f?(x)是f?x?的的导函

（1）对满足?1?a?1的一切a的值， 都有g(x)?0,求实数x的取值范围；

（2）设a??m(m?0)，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数y?f(x)的图像与直线y＝3只有一个公共点。

213x?x2?ax，g(x)?2x?b，当x?1?2时，f(x)取得极值. 3（1）求a的值，并判断f(1?2)是函数f(x)的极大值还是极小值；

（2）当x?[?3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求b的取值范围.

9．设函数f(x)?

【经典练习】

1.（广东卷7）设a?R，若函数y?eax?3x，x?R有大于零的极值点，则（ ） A.a??3

2.设f?(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

3.（天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D. 4个

4.曲线y?x(x?1)(x?2)...(x?50)在原点外的切线方程为（ ）

A.y?1275x B.y?502x C.y?100x D.y?50!x

5.直线y?

6.（湖北卷7）若f(x)??

b a B.a??3 C.a??1 3

D.a??1 3y y?f?(x)O x 1x?b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线，则实数b＝ 212x?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数，则b的取值范围是 2

第六讲 导数的综合应用

【典型例题】

1.(2009山东卷文)已知函数f(x)?13ax?bx2?x?3,其中a?0 3（1）当a,b满足什么条件时,f(x)存在极值?

（2）已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.

2.（2009全国卷Ⅱ理）设函数f?x??x?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2，且x1?x2

2（1）求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性； （2）证明：f?x2??1?2In2 4 .

3.（04年天津卷文21）已知函数f(x)?ax3?cx?d(a?0)是R上的奇函数，当x?1时

f(x)取得极值－2.

（1）求f(x)的单调区间和极大值；

（2）证明对任意x1,x2?(?1,1)，不等式|f(x1)?f(x2)|?4恒成立.

4x2?7，4.( 全国卷II)已知函数f?x??，x??01?

2?x（1）求f?x?的单调区间和值域；

，，（2）设a?1，函数g?x??x?3ax?2a，x??01?，若对于任意x1??01?，总存在

22x0??01，?，使得g?x0??f?x1?成立，求a的取值范围.

5.（2006年湖北卷）设x?3是函数f?x??x2?ax?be3?x?x?R?的一个极值点. （1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f?x?的单调区间；

2（2）设a?0，g?x???a?????25?x若存在?1,?2??0,4?使得f??1??g??2??1 成立，?e，

4?求a的取值范围.

qp?2lnx，且f?e??qe??2(e为自然对数的底数) xe(1)求p与q的关系；

6.设f?x??px?(2)若f?x?在定义域内为单调函数，求p的取值范围； (3)设g?x??取值范围.

2e，若在?1,e?上至少存在一点x0，使得f?x0??g?x0?成立，求实数p的x7.（10山东卷理22）已知函数f(x)?lnx?ax?1?a?1(a?R) x(1)当a?1时，讨论f?x?的单调性； 21时，若对任意x1??0,2?，存在x2??1,2?，使42(2)设g?x??x?2bx?4.当a?f(x1)?g(x2)，求实数b的取值范围.

第七讲 数列综合应用

例1、.已知数列{an}的前n项和Sn?（1）求{an}的通项公式；

（2）若对于任意的n?N，有k?an?4n?1成立，求实数k的取值范围.

n?1例2、已知数列?an?的前n项和Sn??an?()?2（n为正整数）.

*3(an?1). 212（1）令bn?2an，求证：数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式；

n（2）令cn?

n?1an，Tn?c1?c2?n?cn,比较Tn与

5n的大小，并证明.

2n?1?a?n(n?N*)例3、已知数列{an}满足：a1?1，a． n?1n?1（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：

例4、设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3，n?N．

n*12n21?an?1. n?12（1）设bn?Sn?3，求数列?bn?的通项公式；

n（2）若an?1≥an，n?N，求a的取值范围．

*

例5、等比数列?an?的前

n项和为Sn,已知对任意的n?N*,点(n,Sn)均在函数

y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

*（2）当b?2时，记bn?2?log2an?1?，证明：对任意的n?N，不等式

b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立. b1b2bn

例6、已知函数f(x)?log3(ax?b)的图像经过点A(2,1)和B(5,2)，记an?3（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?f(n),n?N*.

an,Tn?b1?b2???bn，若Tn?m(m?Z)，求m的最小值； 2n（3）求使不等式(1?111)(1?)?(1?)?p2n?1对一切n?N?均成立的最大实数p.

a1a2an例7、已知函数F?x??3x?2?1?,?x??. 2x?1?2??2008??F??；

2009??（1）求F??1??2??F????20092009????（2）已知数列?an?满足a1?2,an?1?F?an?，求数列?an?的通项公式； （3）求证：a1?a2?a3?an?2n?1.

*2n例8、已知数列?an?的相邻两项an、an?1是关于x的方程x?2x?bn?0n?N的两

??根,且a1?1. (1) 求证: 数列?an???1n??2?是等比数列； 3?*(2) 设Sn是数列?an?的前n项和, 问是否存在常数?,使得bn??Sn?0对任意n?N都成立,若存在, 求出?的取值范围；若不存在, 请说明理由.

*2n例8、已知数列?an?的相邻两项an、an?1是关于x的方程x?2x?bn?0n?N的两

??根,且a1?1. (1) 求证: 数列?an???1n??2?是等比数列； 3?*(2) 设Sn是数列?an?的前n项和, 问是否存在常数?,使得bn??Sn?0对任意n?N都成立,若存在, 求出?的取值范围；若不存在, 请说明理由.

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