概率论与数理统计教案(48课时)

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者：凤呜大王*

《概率论与数理统计》课程教案

第一章随机事件及其概率

一．本章的教学目标及基本要求

(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念;

(2)掌握随机事件之间的关系与运算,；

(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算；

(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。

了解概率的公理化定义。

(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。二．本章的教学内容及学时分配

第一节随机事件及事件之间的关系

第二节频率与概率2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率

第五节事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点

1）随机事件及随机事件之间的关系；

2）古典概型及概率计算；

3）概率的性质；

4）条件概率，全概率公式和Bayes公式

5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理

四．教学过程中应注意的问题

1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；

2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义，

理解事件的互斥关系；

3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；

4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排

列和组合，复习排列、组合原理；

5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；

五．思考题和习题

思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？

2. 怎样理解互斥事件和逆事件？

3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？ 习题：

第二章 随机变量及其分布

一．本章的教学目标及基本要求

(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；

(2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；

二．本章的教学内容及学时分配

第一节 随机变量

第二节 第二节 离散型随机变量及其分布

离散随机变量及分布律、分布律的特征

第三节 常用的离散型随机变量

常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时

第四节 随机变量的分布函数

分布函数的定义和基本性质，公式

第五节 连续型随机变量及其分布

连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学

时

第六节 常用的连续型随机变量

常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学

时

三．本章教学内容的重点和难点

a) 随机变量的定义、分布函数及性质；

b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数

求任何事件的概率；

c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态

分布)；

四．教学过程中应注意的问题

a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解； b)

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c) 构成离散随机变量X 的分布律的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； d) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； e) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续，且()0P X x ==，其中x

为任意实数，同时说明了()0P A =不能推导A =Φ。

f) 注意正态分布的标准化以及计算查表问题；

五．思考题和习题

思考题：1. 函数

,0()1,0x x e x F x e x -?<?=?-≥??是否是某个随机变量的分布函数？ 2. 分布函数()F x 有两种定义——{}{}P X x or P X x <≤，主要的

区别是什么？

3. 均匀分布与几何概率有何联系？

4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。

5．列举正态分布的应用。

习题：

第三章 多维随机变量及其分布

一．教学目标及基本要求

(1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和

连续

型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。

(2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。

(3) 掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。

(4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y , max(X, Y), min(X, Y))的分

布。

二．教学内容及学时分配

第一节 二维随机变量

二维随机变量及其分布，离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其密度函数、它们的性质、n 维随机变量 2学时

第二节 边缘分布

边缘分布律、边缘密度函数 2学时

第三节 条件分布 1学时

第四节 相互独立的随机变量

两个变量的独立性，n 个变量的独立性 1学时

第四节 二维随机变量的函数的分布

已知(X,Y)的分布率p ij 或密度函数(,)x y ?，求(,)Z f X Y =的分布律或

密度函数()Z z ?。特别如函数形式：

,max(,),min(,)Z X Y Z X Y Z X Y =±==。

2学

时

三．本章教学内容的重点和难点

a) 二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；

b) 边缘密度函数的计算公式：()(,)X x x y dy

??+∞

-∞=?的运用，特别是积分限的

确定和变量x 的取值范围的讨论；

c) 随机变量独立性的判定条件以及应用独立性简化计算，如由边缘分布律或密

度函数可以确定联合分布律或联合密度函数；

d) 推导Z X Y =+的密度函数的卷积公式：

()(,)X Y t x t x dx ??+∞

+-∞=-?，正确使

用卷积公式； e) 在X ，Y 独立性的条件下，推导max(,),min(,)Z X Y Z X Y ==的密度函数，

注意它们在可靠性方面的应用。

四．教学过程中应注意的问题

a) 注意联合分布函数能决定任意随机变量X 或Y 的分布（边缘分布），反之则

不能确定(X ，Y)的联合分布，由正态分布可以说明；

b) 在判断两个随机变量是否独立过程中，如果存在某点00(,)x y ，使得：

0000(,)()()P X x Y y P X x P Y y ==≠==或0000(,)()()X Y x y x y ???≠，则称变量X 与Y 不独立；

c) 一般计算概率使用如下公式：

(,)((,))(,)x y G P X Y G x y dxdy ?∈∈=

??，注意二重积分运算知识点的复习。 d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。

五．思考题和习题

思考题：1. 由随机变量,X Y 的边缘分布能否决定它们的联合分布？

2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导？

3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致？

4．如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。 习题：

第四章 随机变量的数字特征

一．教学目标及基本要求

(1) 理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；

(2) 掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。

(3) 熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期 望和方差；

(4) 了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。

二．教学内容及学时分配

第一节数学期望

离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数

学期望的应用、数学期望的性质

3学时

第二节方差

方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳

2学时

第三节协方差与相关系数2学时

第四节矩和协方差矩阵1学时

三．本章教学内容的重点和难点

a)数学期望、方差的具体含义；

b)

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c)数学期望、方差的性质，使用性质简化计算的技巧；特别是级数的求和运算。

d)期望、方差的应用；

四．本章教学内容的深化和拓宽

将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵；协方差及相关系数概念和公式拓宽到n维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。

五．教学过程中应注意的问题

a)一个随机变量并不一定存在数学期望和方差，也有可能数学期望存在，而方

差不存在，如柯西分布是最著名的例子；

b)数学期望的一个具体的数字，不是函数；

c)由方差的定义知，方差是非负的；

d) 独立性和不相关性之间的关系，一般地，X 与Y 独立，则X 与Y 不相关，

反之则不然，但对于正态分布，两者却是等价的；

六．思考题和习题

思考题：1. 假定一个系统由5个电子元件组装而成，假定它们独立同服从于指

数分布，将它们串接起来，求系统的平均寿命，若将它们并行连接，其系统的平均寿命是多少？并比较其优劣。

2. 方差的定义为什么不是||E X EX -？

3. 工程上经常遇到计算误差，它是否与方差是同一个概念？

4．协方差与相关系数有什么本质上的区别？

5．随机变量X 与Y 独立可以推导cov(,)0X Y =，反之呢？对正态分

布又如何呢？

习题：

第五章 大数定律和中心极限定理

一．教学目标及基本要求

了解切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。

二．教学内容及学时分配

第一节 大数定律

第二节 中心极限定理 2学时

三．本章教学内容的重点和难点

大数定律和中心极限定理的含义；

四．本章教学内容的深化和拓宽

中心极限定理的条件拓宽。

五．教学过程中应注意的问题

1）大数定律的变形，大数定律的证明关键是使用了切比契夫不等式；

2）注意中心极限定理的条件和结论，如何使用这一结论解决应用题； 习题：

第六章 样本及抽样分布

一．教学目标及基本要求

(1) 理解总体、样本和统计量的概念;了解经验分布函数

(2) 掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。

(3) 了解卡方分布、t-分布和F 分布的定义及性质，了解分位数的概念并会查表计算概率。

(4) 掌握在正态总体下样本均值、样本方差、t 统计量的分布及性质。

二．教学内容及学时分配

(1)

第一节 总体与样本

第二节 统计量(包括经验分布函数) 2学

时

第三节 几个常用的分布

正态分布，2

χ-分布，t-分布，F-分布）、抽样分布定理、分位数 2学时 三．本章教学内容的重点和难点

a) 数理统计与概率论在研究问题和方法上的根本区别；

b) 总体、样本的概念；

c) 统计量的定义和常用的统计量；

d) 正态分布以及由正态分布导出的三大统计分布，抽样分布定理，分位数的概

念。

e) 2χ-分布、t -分布和F -分布的定义

四．教学过程中应注意的问题

a) 正态分布的标准化：若2~(,)X N a σ，则~(0,1)X a

N σ-；

b) “独立正态变量之和仍为正态变量”和中心极限定理的应用；

c) 对三大统计分布定义深入分析，补充例子加以说明，如

14,,X X 取自正态总体2(0,2)N ，的一个样本，令

221234(2)(34)Y a X X b X X =-+-，求系数,a b ，使Y 服从2χ-分布，并求自由度；

d) 查常用分布数值表是实际计算中不可缺少的一步，务必掌握；

e) 掌握统计学的思想应该从正态总体出发，因为数理统计学的许多基本理论是

在正态总体的假定下建立起来的；

六．思考题和习题

思考题：1. 样本平均值、中位数、众数的定义和区别。

2．样本1,,n X X 是相互独立且具有相同分布的，那么顺序统计量

(1)()

,,n X X 是否也是独立同分布的？

3. 经验分布函数是统计量吗？

4. 什么叫上侧分位数？ 习题：

第七章 参数估计

一．本章的教学目标及基本要求

(1) 理解总体参数的点估计和区间估计的概念; (2) 掌握求点估计的方法——矩估计法和极大似然法; (3) 了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。 (4) 会求单个，两个正态总体的均值和方差的置信区间;

二．本章的教学内容及学时分配

第一节 点估计量——矩估计法和极大似然法 2学

时

第二节 估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性） 2学时 第三节 区间估计 1学

时

第四节 单个正态总体参数的区间估计 2 学

时

第五节

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第六节 两个正态总体参数的区间估计 (简介) 1学

时

三．本章教学内容的重点和难点

a) 点估计量的求解方法——矩估计法和极大似然法； b) 估计量评价标准——无偏性；

c) 置信区间的求解方法；

d)正态总体参数的区间估计

四．教学过程中应注意的问题

a)要善于比较矩估计法和极大似然法各自的优良性；

b)强调极大似然函数的正确书写步骤以及典型例子分析步骤；

c)强调估计量的无偏性的实际含义，提出对不满足无偏性的估计量进行修正，

讲解修正的方法；

d)讲清楚区间估计方法的实际含义；

e)对于各正态总体参数的区间估计问题，要讲清楚基本思想，原理，基本流程

及相同之处。

六．思考题和习题

思考题：1. 设X服从如下分布：

利用总体的样本观测值：3，1，3，0，3，1，2，3，求参数θ的矩估计和极大似然估计，如何求？

2．利用参数的置信区间，如何求样本容量n？

3. 比例参数p的置信区间如何求？

习题：

第八章假设检验

一．本章的教学目标及基本要求

(1)理解显著性假设检验的基本思想;

(2)掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。

(3)掌握单个正态总体的均值和方差的假设检验，了解两个正态总体的均值和

方差的假设检验。

二．本章的教学内容及学时分配

第一节假设检验

基本概念与两类错误、假设检验的基本原理和主要步骤2学时

第二节单个正态总体参数的假设检验2学

时

第三节两个正态总体参数的假设检验2学时

三．本章教学内容的重点和难点

假设检验的基本思想和基本检验步骤；

四．本章教学过程中应注意的问题

a)通过举例叙述假设检验的思想；

b)强调典型例子分析，使学生理解假设检验的步骤；

c)对实际问题提出假设(特别是单侧检验)比计算更难；

六．思考题和习题

思考题：1. 怎样计算两类错判概率？列举生活中遇到的1~2个错判事件。

2．为什么说假设检验的基本思想是数学上的反证法？

3. 比例参数p的假设检验怎样进行？

习题：

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2yd4.html