高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．

1

→→→→→1→1→1

【典型例题2】 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足OM＝OA＋OB＋

333→OC.

(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内．

→→→→→→思路分析：要证明三个向量共面，只需证明存在两个实数x，y，使MA＝xMB＋yMC，证

明了三个向量共面，点M就在平面内．

解：(1)∵OA＋OB＋OC＝3OM， ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)， ∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC， ∴向量MA，MB，MC共面．

(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，三个向量的基线又有公共点M， ∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内． 探究三 空间向量分解定理的应用

选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．这就是向量的分解，空间向量分解定理表明，用空间三个不共面的向量组{a，b，c}可以表示出任意一个向量，而且a，b，c的系数是唯一的．

【典型例题3】 如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，求满足MN＝xAB＋yAD＋zAP的

实数x，y，z的值．

2

思路分析：结合图形，从向量MN出发利用向量运算法则不断进行分解，直到全部用AB，→→，→AP表示出来，即可求出x，y，z的值．

解：在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF，则MN→＝MF→＋FN→，

而→FN＝→DN－→DF＝1→2DP－1→3DP＝1→6DP＝16

(→AP－→

AD)，

→MF＝2→2→2→3

CD＝3

BA＝－3

AB，

∴→MN＝－2→13AB－→1→6AD＋6AP，

∴x＝－23，y＝－11

6，z＝6

. 3

→AD

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