2.2等腰三角形的性质

等腰三角形的性质

上蔡一中：别慧纳

〖教学目标〗

◆1、经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识.

◆2、掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一． ◆3、会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图． 〖教学重点与难点〗

◆教学重点：本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一. ◆教学难点：等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换，例如例2，是本节教学的难点.

〖教学方法〗可采用学生在任务驱动下的自主学习与教师辅导相结合 〖课前准备〗学生：准备一些等腰三角形，预习本节内容

教师：教学活动材料，多媒体课件

〖教学过程〗

一．创设情境，自然引入

1.温故检测： 叫做等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 。

［两边相等的三角形叫做等腰三角形。特殊情况是正三角形。对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线。］ 2.悬念、引子、思考

将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？

说明：首先这个三角形必须是等腰三角形，要不然 三角形就放不平.对于“为什么”学生可能会回答 “不知道”，那就进入下一环节“合作学习，探究 等腰三角形的性质”；也有可能会回答“等腰三角 形三线合一”，因为不能排除有部分学生“预习过” 什么的.那就可以追问“等腰三角形三线为什么会 合一”，学生会说，就让他说，但不管会说，还是不会说，都要进入下一环节“合作学习，探究等腰三角形的性质”；这是考虑到大多数学生的利益. 二．交流互动，探求新知 1．等腰三角形的性质

合作学习：分三组教学活动材料

教学活动材料1：如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D， （1）把这个等腰三角形剪下来，然后沿着顶角平分线对折，仔细观察重合的部分，并写出A所发现的结论。

（2）你发现了等腰三角形的哪些性质？

CB

D 图2-5教学活动材料2：如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D， （1）根据我们已经获得的等腰三角形是轴对称图形，图2-5中等腰三角形ABC的对称轴是

什么？△ABD各个顶点的对称点分别是什么？由此可见，将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像是什么？ （2）根据轴对称变换的性质：轴对称变换不改变图形的形状和大小.找出图中的全等三角形，以及所有相等的线段和相等的角.

（3）你有什么发现？能得出等腰三角形的哪些性质？

教学活动材料3：如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D， （1）根据学过的全等三角形判定方法找出图中的全等三角形，根据全等三角形的性质找出所有相等的线段和角

（2）你发现了等腰三角形的哪些性质？ （发给学生活动材料，四人一组先合作学习，再交流讨论，经历等腰三角形性质的发现过程，教师应给学生一定的时间和机会，来清晰地、充分地讲出自己的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行归纳，最后得出等腰三角形的性质.）

结论：等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”

等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.简称等腰三角形三线合一.

2．多媒体演示：教师借助媒体的动态效果，介绍在一个三角形中，等边对等角和三角形一边上中线、高线及角平分线的相对位置，帮助学生在理解的基础上，掌握等腰三角形的性质. 3．解决节前图中的悬念，如果重锤经过三角尺斜边的中点，那么可以判定梁是水平的.你能说明理由吗？

（当重锤线经过三角尺斜边的中点时，重锤线与斜边上的高线叠合（等腰三角形三线合一），即斜边与重锤线垂直，所以斜边与梁是水平的.及时地解决问题，使学生懂得学习的价值.） 4．应用定理时的推理格式：

A用几何语言表述为：

12在△ABC中，如图，∵AB＝AC ∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）

在△ABC中，如图

（1）∵AB＝AC ，∠1＝∠2

∴AD⊥BC，BD＝DC （等腰三角形三线合一） （2）∵AB＝AC，BD＝DC BCD∴AD⊥BC，∠1＝∠2

（3）∵AB＝AC，AD⊥BC

A ∴BD＝DC，∠1＝∠2 5．例题学习

例1 如图2-6,在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝50°,求∠B，∠C的度数. 解：在△ABC中， ∵AB＝AC ，

BC∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）

图2-6∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°,

180°－∠A180°－50°

∴∠B＝∠C＝ ＝ ＝65°.

22

练习1P36课内练习2

（例1和练习1是巩固“等腰三角形的两个底角相等”这条性质而配置的，比较简单，可以让学生自己去探索，并完成解题过程，然后师生突出评述推理过程.）

例2 已知线段a，h（如图2-7）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的

高线为h.

h

a

图2-7

教学中可作如下启发：

（1）假设图形已经作出，如课本图2－8，BC长已知，可以先作出BC边，要作等腰三角形ABC,关键是要作出哪一个点？

（2）已知BC边上的高线的长度为h，你能作出BC边上的高线吗？等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系？由此能确定顶点A的位置吗？

（例2是运用尺规作等腰三角形，作法思路需要作一些分析转换，是本节教学的难点，在操作过程中要让学生体验等腰三角形三线合一的性质） 练习2填空：

（1）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°则∠C＝ ；若∠B＝72°，则∠A＝ . （2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝ ，∠BAM＝ . （3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。 D1

∠BAC＝180°－ ∠B，∠B＝ （ ）

2

AA∠DAC＝ ∠C

CB

B（4）如图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°,则∠B＝ 度. DC（以此来巩固等腰三角形的性质，同时培养学生的观察分析的能力） 三．合作探究，强化能力.

探究1：已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由. 猜想：AE⊥BC，BD＝CD A∵AB＝AC(已知) OB＝OC(已知) AO＝AO（公共边）

BCD∴△ABO≌△ACO（SSS） ∴∠BAO＝∠CAO OE∴AE⊥BC，BD＝CD（等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合）

探究2：等腰三角形两底角的平分线大小关系。 A已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两底角的平分线。 猜想：BD＝CE.

ED解：∵AB＝AC（已知），

∴∠ABC＝∠ACB （在一个三角形中等边对等角） ∵BD、CE分别是两底角的平分线（已知） B11

∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB （角平分线的定义）

22∴∠DBC＝∠DCB，

C在△DBC和△ECB中∠DBC＝∠DCB，BC＝CB（公共边），∠ABC＝∠ACB ， ∴△DBC≌△ECB（ASA）

∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）

（探究1需要学生根据数学语言画出几何图形，然后进行归纳、猜想、推理；探究2需要学生把文字转化为数学语言和几何图形，再进行归纳、猜想、推理，要求更高些；初衷有一个，那就是培养学生归纳、猜想、推理的自主学习的能力，以上两例都有一定的难度，教师可以根据班级的实际情况选用） 四．归纳小结，强化思想

1．在本节课的学习中，你有哪些收获？和我们共享. 2．你还有什么不理解的地方，需要老师或同学帮助.

（采用谈话式小结，沟通师生之间的情感，给学生一个梳理知识的空间，培养学生的知识整理能力与语言表达能力） 五．作业 1．作业本

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