数论01 五上05 整除

五年级上学期 第五讲，数论问题第01讲

整 除

【内容概述】

熟练掌握能被2、3、4、5、8、9、11整除的性质，并了解这些性质的来源．学会用筛选法找质数，发现一些和数论有关的问题． 【典型问题】

1.

【50501】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）173□是一个四位数．数学

老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

2.

【50502】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）如果六位数1992□□能被

105整除，那么它的最后两位数是多少？

3.

【50503】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）某个七位数1993□□□能

够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？

4.

【50504】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）从0，1，2，3，4，5，6，

7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少？

5.

【50505】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）修改31743的某一个数字，

可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少？

6.

【50506】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）在六位数11□□11中的

两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？

7.

【50507】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）已知四十一位数55?5

□99?9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？

8.

【50508】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）用数字6，7，8各两个，

组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少？

9.

【50509】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）将自然数1，2，3，? 依

次写下去组成一个数：12345678910111213?．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？

10. 【50510】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★50502）1至9这9个数字，

按图4-1所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391）．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？

7 5 8

6

2 图4-1

4

1

9 3

11. 【50511】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）有15位同学，每位

同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，??，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．l号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问： (1) 说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？ (2) 如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．

12. 【50512】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）找出4个不同的正整

数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少？

13. 【50513】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）把若干个自然数1，2，3，?

乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？

14. 【50514】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）975?935?972?□，要使这

个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？

15. 【50515】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）如图4-2，依次排列的

5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零？

13 12 152520图4-2

16. 【50516】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲 ★）求从1001开始第100个不被11

整除的数。 1110。

从1001开始，每11个数中有10个不能被11整除的数，前110个数中有100个不被11整除的数，故第100个数是1001+110-1=1110。

17. 【50517】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★)一个6位数，它的前3位组成的数加

后3位组成的数的和是220，且它能被7整除，求满足条件的所有6位数。

条件表明前3位和后3位都介于100~120之间，且差能被7整除，并且奇偶性相同，故差只能是0或14。最终检验得110110，117103，103117是满足条件的数。

18. 【50518】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★)甲是一个两位数，将其个位与十位交

换得到乙，丙为甲与乙之和，如果丙是一个数的平方，求甲。

设甲是ab，则乙是ba，丙为11×(a+b)；丙是完全平方数表明a+b也为11的倍数，从而a+b=11，甲可以是92，83，74，65，56，47，38，29。

19. 【50519】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★★★)甲是一个两位数，将其个位与十

位交换得到乙，设甲比乙大，丙是甲乙的差。

12，求甲； 53（2） 如果丙是乙的，求甲；

4（1） 如果丙是乙的（3） 如果“丁=

乙”，则丁有多少个不同的值？ 丙设甲为ab=10a+b，乙=10b+a，丙=9（a-b），其中a>b。（1）（2）两问都可以由乙丙关系求出a，b的比值，得（1）中甲=51，（2）中甲=21，42，63，84。

（3）观察（1）（2）发现a和b的每一个比值对应一个丁，从而仅需计算a，b在小于10内的不同比值即可，共有27组。

20. 【50520】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★）求出最小的四位数，使得它是75

的倍数，且各位数字互不相同。 1275。

21. 【50521】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★）各位数字互不相同的11的倍数中，

最小的那个是多少？ 132。

22. 【50522】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★）甲乙两人玩一个数学游戏，规则

如下：他们从甲开始依次划掉九位数123456789中的一个数字，各划掉3个数字后剩下一个三位数，如果这个三位数是偶数或者25的倍数，那么甲将获胜，否则乙取得胜利。甲乙谁将取得胜利呢？

乙胜。乙前两次划掉7和9。

23. 【50523】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）请写出五个正整数，使得它

们任何两个数的和都是其差的倍数。 12，14，15，16，18（答案不唯一）。

24. 【50524】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）（1）能否找到五个正整数（可

以相同），使得其中的任意三个之数和都是另两个数之和的倍数。（2）能否找到五个互不相同的正整数，使得其中任意四个数之和都是剩下一个数的倍数。 （1）可以。

a?b?ca?b?da?c?d、与

d?ec?eb?ea?b?e2b?2a?都小于2，只能是1，所以b?c?d，e＝a＋b，又由是整数可知a＝b。

c?d2b例如：1，1，1，1，2即可，不妨设这5个数为a?b?c?d?e，则（2）可以。

例如1，2，3，6，12。

25. 【50525】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★★）三位同学一起算一个式子，对连

续的4个奇数求和，第一个同学说：“我算出来是2004；”第二个同学说：“我觉得是2005；”第三个同学说：“答案应该是2006”，请问哪些同学一定算错了？ 三位同学都算错了。

因为任意连续4个奇数的和都是8的倍数。

26. 【50526】(资坤, 五上第5讲整除，数论第1讲★★★)将1，2，3，?依次写下去组成

一个数12345678910111213?。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被225整除，那么这个组成的数的各位数字之和是多少？ 1053。

225=25×9。而能被25整除的数的末两位数能被25整除，于是我们只要考虑写到25，50，75，100，…的数，哪个的各位数字之和最先能被9整除即可。试验知125是最小的。

27. 【50527】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）一个六位数87x3xy：

（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除； （2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；

（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除； （4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除； （5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除；

（1） 由已知要求需

98+7+3+2x+y，即

92x+y，且0?x,y?10，因此（x，y）只能是如下

组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）

（2） 验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件。 （3） 欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且

32x+y，即要求

62x+y，这样的组合

只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）。

（4） 为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11.因此即

这样组合仅有（8，5）一组。

（5） 为使能整除91，则要求

112x-y，

9187x-3xy87x?x+51(mod91)3xy?10x+y+27(mod91)，，，

即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）

28. 【50528】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ★★★）如果把一个四位数abcd的

前面插入一个2，中间插入00，末尾添上7，变成2ab00cd7，并且这个新的8位数还是11的倍数，那么就称这样的四位数为“2007的11数”。那么“2008的11数”有几个？ 818个。

通过分析，可知四位数abcd必须是除以11余5的。所以从1006到9993一共881个。

29. 【50529】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ★★）如果把一个四位数abcd插入

2007的中间，变成20abcd07，并使得新的8位数是7的倍数，那么这样的四位数就称为“2007的7数”。那么“2008的7数”数有多少个？ 1286个

通过分析，四位数abcd应该正好是7的倍数就行。所以，从1001到9996一共1286个。

30. 【50530】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ★★★）是否存在一个各位数字互

不相同的数，使得它是999999的倍数？如果存在，请构造，如果不存在，请说明理由。 不存在。

因为各位数字互不相同，至多是10位数。根据999999的整除性，将该多位数从右往左六位断开后求和，这个和一定是999999。通过分析这个加法竖式，可知其无进位。所以一定会有两个数字9，出现重复。

? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? 9 9 9 9 9 9

31. 【50531】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）任意连续n个自然数的乘积都

是8100的倍数，那么n最小是多少？ 10。

8100是4，25以及81的倍数，任意连续10个自然数中必有两个2的倍数，两个5的倍数，三个3的倍数（其中有一个还是9的倍数）。

32. 【50532】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）从1～2008中选取连续六个数

的乘积其末尾最多能有几个0？

5个0。1～2008中数的质因数分解中含5最多的一个也只能含有4个5，在一个数是25的倍数时，它前后6个数都不可能是25的倍数，所以连续六个数的积最多有5个0。而625×626×627×628×629×630末尾有5个连续的和。

33. 【50533】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）用数字1，2，3各两次组成一

个六位数，使它是56的倍数。

113232。考虑末三位为8的倍数只能为232或者112，312，再考虑被7整除的性质为前三位与后三位的差是7的倍数。

34. 【50534】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）各位数字互不相同的八位数中

最小的45的倍数是多少？

10247895。从0～9中去掉两个数字使得剩下的八个数字之和为9的倍数，显然前两位为10时最小。末位只能为5，去掉两个数字和为9，只能为2和7或者3和6，这时形成的最小的八位数为10247895。

35. 【50535】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）由1，2，3形成的63的倍数

中最小的一个是多少？

1323。由1，2，3组成的9的倍数最小的是333，此时不是7的倍数，所以至少是个四位数，1233不是7的倍数，而1323满足要求。

【提高题】

36. 【50536】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）对于一张卡片上的三位数669，

把卡片倒过看是699，他们都是3的倍数，是否存在一个三位数，它是7的倍数，把它写在卡片上倒过来看是9的倍数？

861或168。能倒过来的数是0，1，6，8，9；其中三个数之和为9的倍数可以是0、1、8；0、9、9；1、8、9；6、6、6及9、9、9。要用它们倒过来形成7的倍数可以是用1，8，9倒过来变为1，

8，6。

37. 【50537】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）1□2□□3□□□4是一个各

位数字互不相同的十位数，它是否可以为11的倍数？如果可以，请求出最大的满足要求的十位数，如果不能请说明理由。

1927836504。提示：考虑奇偶位上的差。

38. 【50538】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）由1，2，3，4，5，6各一

个组成的六位数使它是37的倍数，这个六位数最大的是多少？

654123。这个数必须是3的倍数，且前三位与后三位求和是37的倍数。当前三位为654时它与后三位相加不进位，其和只能为777，888，999，但是由数字和可知只能为777。

39. 【50539】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）一个多位数，它的各位数字互

不相同，且任意的连续两个数字组成的两位数都是7的倍数，那么这个多位数最大是多少？ 98421。如果这个多位数中有7，它只能是70；如果含有6，它的前后依次只能为5，3，而3后只能为5，5前只能为3，这三个数只能为356，635或563。更大的数包含的数字只能为1，2，4，8，9，所以最大为98421。

40. 【50540】（王坤，五上05讲，数的整除★★★）有多少个两位数，在这个两位数的中

间加入0～9的任何一个数后形成的三位数都不是11的倍数？

9个。考虑被11整除的性质，得到这个两位数的个位与十位之和为除以11不能余0～9，只能是

153. 【505153】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在20062003，20062004，

20062005，20062006，20062007，20062008中选出2个数相乘使得乘积可以被12整除，一共有多少种方法？ 6种.

154. 【505154】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)如果36|57??68?，那

么一共可以填入多少组答案？ 10+9+0=19种

155. 【505155】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)将100以内的偶数写成

一排，构成一个自然数2468101214……9698，求这个自然数除以99的余数等于多少？

156. 【505156】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在方框中填上数字，使

得77|22?2??66?6。求一共有多少种填法？ ??????20062006两种可能00和77

157. 【505157】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在方框中填上数字，使

2??00?6?是9的倍数，那么一共有多少种满足条件的填法？

1111

158. 【505158】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在字母处填上数字，可

以相同也可以不同，使2AB00CD6是11的倍数，并且ABCD是一个不大于2006的自然数，那么四位数ABCD一共有多少可能？ 92

159. 【505159】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)已知719|3???53，那

么方框中的数是多少？（要求找到所有答案）

160. 【505160】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)形如?2006?且能被14

整除的六位数共有多少个？

161. 【505161】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)从1，2，3，4，5中选

出4个不同的数字，一共可以组成多少不同的四位数可以被11整除？

162. 【505162】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)如果6位数25ABC6各

位数字互不相同，并且可以被36整除，求商最小可能是多少？最大可能是多少？

163. 【505163】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)如果5位数ABCDE是9

的倍数，ABCD是4的倍数，并且ABCDE的各位数字互不相同，那么ABCDE的最小值是多少？最大值是多少？

164. 【505164】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)如果22?2是1998的倍

数，那么的最少需要多少个连续的2？

165. 【505165】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在20062003，20062004，

20062005，20062006，20062007，20062008中选出2个数相乘使得乘积可以被12整除，一共有多少种方法？

166. 【505166】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)如果36|57??68?，那

么一共可以填入多少组答案？

167. 【505167】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)将100以内的偶数写成

一排，构成一个自然数2468101214……9698，求这个自然数除以99的余数等于多少？

168. 【505168】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在方框中填上数字，使

得77|22?2??66?6。求一共有多少种填法？ ??????20062006

169. 【505169】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在方框中填上数字，使

2??00?6?是9的倍数，那么一共有多少种满足条件的填法？

170. 【505170】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在字母处填上数字，可

以相同也可以不同，使2AB00CD6是11的倍数，并且ABCD是一个不大于2006的自然数，那么四位数ABCD一共有多少可能？

171. 【505171】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)自然数

100101102103?998999是否可以被11整除？如果不能整除请问余数是多少？

否，余数是10

172. 【505172】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)如果最简分数的分母

qp

p和10互质，那么一定可以利用分数的基本性质使得

q可以化成一个纯循环小数。 pqn?，其中9的个数不超过p个，p999?9?????不超过p个从而

173. 【505173】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★) “幸运年份组”是指：

有连续9年的年号有如下特征，第1年年号是1的倍数；第2年年号是2的倍数；第3年年号是3的倍数；……；第9年年号是9的倍数。那么请问距离今年（今年的年号是2005）最近的那个“幸运年份组”是多少？2521--2529

174. 【505174】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在方框中填上两个数字，

可以相同也可以不同，使4?32?是9的倍数，那么一共有多少种满足条件的填法？ 12

175. 【505175】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在方框中填上数字，可

以相同也可以不同，使2??00?5?是9的倍数，那么一共有多少种满足条件的填法？ 1111

176. 【505176】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)已知74|2005??5002，

那么方框中的数是多少？（要求找到所有答案） 06，43，80

177. 【505177】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)求

123456789101112131415……200320042005除以9的余数是多少？ 1

178. 【505178】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)甲、乙两人玩数字游戏，

他们轮流在7?82?6的方框里填一个数字．规则是：甲先填一个数字，如果乙再填一个数字使这个六位数是11的倍数，则乙获胜；反之，如果乙填出来的数字没有使这个六位数是11的倍数，则甲获胜．问：先填的甲有没有必胜的策略？如果甲有必胜策略，他一共有几种必胜的策略？ 2种，B=6或A=3

179. 【505179】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★

★)165|12345678901234567890求方框中的?1234567890?1234567890??????????????????12345678901234567890?????????????????，

2005组12345678902005组1234567890数字一共有多少种可能？

1种可能，是0；变成3个方框31种可能，是0，33，66，…，990

180. 【505180】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)求

123456789101112131415……998999除以11的余数是多少？ 3

181. 【505181】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)求

123456789101112131415……200320042005除以11的余数是多少？ 8

182. 【505182】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)1—9可以组成多少个9

位数使得被111整除

183. 【505183】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)在自然数

100101102103104……998999中截取连续的7个数字abcdefg，使得7|abcdefg，那么7位数abcdefg最小是多少？最大是多少？

最小：三类3983994；4814915，4915015，5015115；6107108 最大：三类4974984；4894995，4995095，5095195；6997998

184. 【505184】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)按照下面的方法切分自

然数，那么切分之后的自然数与原自然数的差是多少？

(1)将自然数123456789切分 ? 1|2|3|4|5|6|7|8|9然后写成 ? 1+2+3+4+5+6+7+8+9，切分后的计算结果与原来自然数的差是多少？

(2) 将自然数123456789切分 ? 12|345|6|7|89然后写成 ? 12+345+6+7+89，切分后的计算结果与原来自然数的差是多少？

(3) 将自然数123456789切分 ? 1|2|3|4|5|6|7|8|9然后写成 ?9-8+7-6+5-4+3-2+1，切分后的计算结果与原来自然数的差是多少？

+?+?+?+?+++++++++++++++(4) 将自然数123456789切分 ? 123|456|7|89然后写成 ?89+7-456+123，切分后的计算结果与原来自然数的差是多少？

+?++185. 【505185】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)判断下面各数除以9的

余数是多少？

(1)20062007

(2)9283923

(3)1011121314

(4)12345678910111213……2006

186. 【505186】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)判断下面各数除以99

的余数是多少？

(1)20062007 (2)9283923 (3)1011121314 (4)12345678910111213……99

187. 【505187】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)判断下面各数除以11的

余数是多少？

(1)20062007 (2)9283923 (3)1011121314 (4)12345678910111213……99

188. 【505188】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)判断下面各数除以1001

的余数是多少？

(1)1234567 (2)20062007 (3)1011121314 (4)100101102103104……999

189. 【505189】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)如果67|2AB5，那么AB是多少？如果38|2CD8，那么CD是多少？ 2345；2128，2318，2508，2698，2888，

190. 【505190】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲★★★)修改31743的某一个数

字，可以得到823的倍数，那么修改后的这个数是多少？ （33743）

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