交织法构造移位不等价的ZCZLCZ序列集

第４期２０１１年４月

电子学报

Ｖ０１．３９Ｎｏ．４

ＡＣＴＡＥｌ止ｃｌ’ＲＯＮｌＣＡＳＩＮＩＣＡ

Ａｐｒ．２０１１

交织法构造移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集

李玉博，许成谦

（燕山大学信息科学与工程学院，河北秦皇岛０６６００４）

摘要：本文给出了移位不等价序列集的概念，提出一种移位序列构造方法，并基于这种移位序列，利用交织法得到了多个移位不等价的低零相关区序列集．同以前方法相比扩展了序列集的数量，可以为准同步ＣＤＭＡ通信系统提供更多的扩频序列．通过本文方法还可以利用任意长度的完备序列来构造相互正交的零相关区序列集，放宽了对完备序列长度的限制，从而可以得到更多的相互正交的零相关区序列集．

关键词：

准同步ＣＤＭＡ；交织法；移位序列；低零相关区；相互正交

文献标识码：

Ａ

中图分类号：ＴＮ９１１．２文章编号：０３７２－２１１２（２０１１）０４－０７９６－０７

ＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆＣｙｃｌｉｃａｌｌｙＤｉｓｔｉｎｃｔＺＣＺ／ＬＣＺＳｅｑｕｅｎｃｅ

ＳｅｔｓＢａｓｅｄ

ｏｎ

ＩｎｔｅｒｌｅａｖｉｎｇＴｅｃｈｎｉｑｕｅ

（Ｃｏｌｌｅｇｅ

ｏｆ删钿翩＆ｉｅａｃｅａｎｄ助曲咄，ＹａｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，∞如∞咖，Ｈｅｂｅｉ

ｓｅｔｓ

ＵＹｕ—ｂｏ．ＸＵＣｈｅｎｇ—ｑｉａｎ

０６６００４，Ｃ＿．ｈ／ａａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓ群Ｉｐｅｒ，Ａｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｓｈｉｆｔｓｅｑｕｅｎｃｅ

ｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｂａｓｅｄ

ｏｎ

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ｇｅｔ

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ｌｏｗ－ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ

ｃａｌｌ

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ｎｉｑｕｅ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｐｒｅｖｉｏｕｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｍｅｔｈｏｄｐｒｏｖｉｄｅｍｏｒｅｓｐｒｅａｄ－ｓｐｅｃｍａａｓｅｑｕｅｎｃｅｓｆｏｒ

ｑｕａｓｉ－ｓｙｎｃｈｒｏｎｏｎｓ

ａｌｓｏ

ＣＤＭＡ（ＱＳ－ＣＤＭＡ）ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｍｏｒｅ

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ｔｈａｔ，ｍｕｔｕａｌｌｙｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ

ｓｅｔｓｏｆｚｅｒｏ－ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ

ｚｏｎｅ

ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ

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ｔ｝脚ｓｈｉｆｔｓｅｑｕｅｎｃｅ

ｓｅｔｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：

ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ

ｚｏｎｅ（财Ⅱ２）；ｍｕｔｕａｌｌｙｏ曲ｏｇｏｎａｌ

ｑｕａｓｉ－ｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓＣＤＭＡ（Ｑｓ—ＣＤＭＡ）；ｉｎｔｅｒｌｅａｖｉｎｇ

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ；ｓｈｉｆｔｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｚｅｒｏ－ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ

ｚｏｎｅｏｒｌｏｗ－

１引言

近些年来，准同步ＣＤＭＡ（ＱＳ．ＣＤＭＡ）通信系统引起人们的广泛关注，准同步ＣＤＭＡ系统采用低零相关区序列集做为扩频序列．低零相关区序列集（ＺＣＺ／ＬＣＺ）与传统的准正交序列不同，具有在一定区域内异相自相关函数和互相关函数值很小或者为零的特性，因而当系统的信号时延在不大于相关区长度时可以很好的降低甚至消除干扰．构造数量多且相关区长度较大的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集成为当前研究热点，学者们提出一些低零相关区序列集构造法【ｌ一１｜．交织法是构造ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集的一类有效方法¨’２＇４．６Ｊ．很多基于完备序列的ｚＣＺ序列集构造法实质上就是移位交织法，例如文献［１０，１１］等．但是这些文献中给出的移位序列没有考虑序列移位等价的情况，因此得到的同一个ＺＣＺ序列集内存在移位等价的ＺＣＺ序列，这样的序列集在实际应用中，如果系统

的同步误差稍大于序列相关区长度就会引起极大的干扰．本文定义了移位序列不等价的概念，提出一种移位序列构造方法，并且基于这类移位序列，利用交织法构造了多个移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集，本文方法可以得到多个低零相关区序列集，同一序列集内的序列是移位不等价的，且不同的序列集中的序列也是移位不等价的．同文献［１］相比，本文方法可以构造出更多的移位不等价的ＺＣＺ／Ｉ＿＿ＣＺ序列集．准同步ＣＤＭＡ系统中，每个小区分配一个低零相关区序列集，因此本文方法可以为更多的小区提供扩频序列．

本文方法还可以用来构造相互正交的ＺＣＺ序列集，引入正交的ｚＣＺ序列集概念的目的是为了提供更多能在准同步ＣＤＭＡ系统中使用的序列，文献［１２］提出一种构造多个相互正交的ＺＣＺ序列集的方法，可以构造出多个参数为ＺＣＺ（，ｍ，ｎ，ｍ一２）的相互正交的ＺＣＺ序列集，实质上也是一种移位交织法．但是文献［１２］方

收稿日期：２０１０－０４－０５；修回日期：２０１０－０７．２６

基金项目：国家自然科学基金（Ｎｏ．６０８７２０６１，Ｎｏ．６０９７１１２６）；河北省自然科学基金（Ｎｏ．Ｆ２００８０００８５５）

第４期李玉博：交织法构造移位不等价的ＺＣＩＪＬＣＺ序列集

法要求基序列长度ｍ满足ｎｍ，这意味着长度为素数的完备序列是不满足要求的．完备序列存在是很有限的，这一条件使得可以应用的完备序列更加稀少．例如三元情况下，长度在１００以内，只存在长度为７，１３，２ｌ，３１，５７，７３的完备序列，其中只有长度为２１的序列满足要求．这样大大限制了交织法的应用范围．本文方法可以利用任意长度的完备序列来构造相互正交零相关区序列集．

２基本概念

设ｕ是一个复数序列集，序列个数为肘，序列周期为，表示为Ｕ＝｛ｕｏ，ｕｌ，…，晰一ｌ｝，其中扯产（ｕｌ，０＇ｕｉ．１＇

…，Ｕｉ，Ｎ－１），ｌ嘶，ｊＩ－１．

定义１设ｕｌ，ｕ，∈Ｕ，序列Ｍ￡和Ｉｌ，的周期互相关函数定义如下：

强

Ｒ…（ｒ）＝∑峨，。Ｕｊ。，ｍ

（１）

’。

ｔ＝０

其中０≤ｒ＜Ｊ７ｖ，Ｕｊ‘，。＋，表示取共轭．当ｉ＝，时，称为序列“ｆ的自相关函数，可以用尺。（ｒ）表示．兄（０）称为同相自相关函数，若ｒ≠０，见（ｒ）称为异相自相关函数．

定义２设“ｉ，ｕｉＥＵ，若当ＩｒＩ＜Ｔ且ｉ≠，或者０

＜Ｉ

ｒ

ｌ＜Ｔ且ｉ＝ｉ时，序列相关函数都满足

ｌ见．一．（ｒ）Ｉ≤艿

（２）

其中，占为一个与序列周期Ⅳ相比很小的正数，则称序列集ｕ是一个低相关区（ＬＣＺ）序列集，表示为ＬＥｇ（Ｎ，Ｍ，７１，占）．若艿＝０，则称为零相关区（ｚｃｇ）序列集．表示为ＺＣＺ（ＪＪ＼，，Ｍ，Ｔ）．

定义３设口＝（ｎｏ，ｏｌ＇．”，ｎⅣ一１）是一个周期为Ⅳ的序列，如果序列自相关函数满足当ｒ≠０（ｍｏｄⅣ）时，吃（ｒ）＝一１，则称序列ａ为理想的自相关二值序列．如果ｒ≠０（ｍｏｄＮ）时，吃（ｒ）＝０，则称序列ｎ为完备序列．

定义４设口＝（ｎｏ，口ｌ，…，蛳一１）和６＝（６０，６１，…，６『ｖ—１）是两个周期为Ⅳ的序列，如果对于０≤ｉ≤Ｎ一１，０≤ｒ≤Ⅳ一１有啦＝６ｆ＋。成立，则称序列口和６移位等价，否则称为移位不等价．若两序列集Ａ和Ｂ中序列都是移位不等价的，则称序列集Ａ和Ｂ是移位不等价序列集．

定义５设口＝（口ｏ，口Ｉ，口２，…，口Ⅳ一１）是一个周期为Ⅳ的序列，吼＝（８加，８ｉ’１）是长度为２的序列，其中ｅｆ＇０，ｅｉ’ｌ∈｛０，１，２，…，Ⅳ一１｝，构造一个Ｎ×２阶的矩阵如

下：

口０＋气．ｏ

口０＋气．Ｉ

Ｕ＝

口ｌ＋巳．ｏ口１＋ｅＩ．Ｉ

（３）

口Ｎ－１¨ｉ．ｏ

口＾．一１＋ｅ

将矩阵配的每行联接得到序列地＝（口ｏ＋。。，‰＋。．，…，Ⅱ，ｖ一１＋。．，ｎ』ｖ—ｌ。．），将其表示为地＝，（．ｓ１．。（ｎ），Ｊｓ８“（口）），其中，（ ）表示交织操作，ｓ是向左循环移位运算，例如，Ｓｉ（ｏ）＝（吼，啦＋１＇－“，口ｉ—１）．序列“ｉ称为交织序列，序列。和ｅ产（ｅｍ，ｅ¨）分别称为交织序列ｕ；的基序列和移位序列．

对于同一基序列口，两个不同的移位序列ｅ产

（ｅｉ＇ｏ’ｅｆ。１）和勺＝（８ｊ＇０，。¨）可能产生两个移位等价的交织序列．因此，有必要定义移位序列不等价的概念．

定义６

设Ｍ＝，（９ｍ（ｎ），∞．ｔ（ｎ））和秒＝

，（ｓｏ．ｏ（ｎ），鄂，－（ｎ））是基序列为口的两个交织序列，分别对应着移位序列ｑ＝（色＇０，ｅｉ，１）和８『－（８ｊ．ｏ’８ｆ，１），若序列ｕ和”移位不等价，则称移位序列ｅｆ和ｅ，是不等价的，否则就是等价的．

定义７

设两个序列集Ｕ＝｛地｝ｏ≤ｉ≤Ｍ一１和Ｖ＝

ｈ｝ｏ≤ｉ≤＾，一ｌ，设Ⅱｉ和％分别是序列集ｕ和Ｖ中的任意序列，如果序列ｕ‘和钞ｆ互相关函数满足

凡．。（０）＝０

（４）

Ｊ

则称序列集￡，和ｙ是相互正交的．

引理ｌ…

设“＝，（Ｓｅ，．ｏ（口），士舒． （口））和秒＝

，（ｓ＇．ｏ（ｎ），±翳．ｔ（口））是两个交织序列，基序列口长度为，ｖ，ｕ和口分别对应着移位序列ｅ产（。ｆ’０，８ｉ＇１）和ｅ『＝（勺．ｏ，８ｆ，１），定义四个参数ｄｏ＝ｅｆ，ｏ一勺，０，ｄｌ－ｅｉ，ｌ一勺．１ｄ２＝ｅｆ，ｏ一８ｆ．１，和ｄ３＝ｅｉ，１—８，。ｏ一１．都是模Ⅳ运算．若移位序列满足ｅｉ≠岛时，ｄｏ≠ｄｌ且ｄ２≠ｄ３，则序列“和移移位不等价．

３

ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集的交织构造法

首先构造移位序列集合Ｅ＝｝８０，ｅｌ＇ｌ一，嘶一ｌ｝，ｅ产

（ｅｆ．０＇ｅ¨），其中，ｅｉ’０’ｅｉ，ｌ∈｛０，１，…，Ｊ『＼，一１｝．设￡为正整数，２＜Ｌ＜Ｎ，对于任意岛，ｅｉＥＥ满足如下两个条件：

①ｍｉｎ｛如，ｄ１）≥寺，ｒ１１ｉｎ｛ｄ２，ｄ３）≥掣．

②ｅｆ，ｅ『∈Ｅ，ｅｉ≠勺时，有ｄｏ≠ｄｌ且ｄ２≠ｄ３．

然后选取具有低自相关特性的序列口做基序列，其异相自相关函数值最大值设为艿．利用基序列口和移位序列集合Ｅ交织构造序列集合：

Ｕｌ＝｛ｕｉｏ≤ｉ≤Ｍ一１｝，Ｕ２＝｛ｕｌ＋｜｜Ｉｆ０≤ｉ≤Ｍ一１ｆ，

“ｉ＝，（｜ｓ。ｍ（ｎ），舒． （口）），

ｕｉ＋Ｍ＝，（ｙｍ（口），一舒．ｔ（口））．

将序列集合ｕ，和如合并得到更大的序列集Ｕ＝ＵｌＵ

％．

引理２１１】上述交织构造法得到的序列集Ｕ为低

相关区序列集，表示为￡ＣＺ（２Ｎ，２Ｍ，Ｌ，２Ｉ艿Ｉ），并且序

电子列集中的序列移位不等价．若基序列ａ为完备序列，即艿＝０，则上述构造得到的序列集ｕ为零相关区序列集，表示为ＺＣＺ（２Ｎ，２Ｍ，Ｌ）．

４移位不等价ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集的构造

由上节讨论可以看出，只要构造出符合条件的移位序列集Ｅ，利用交织法就可以得到ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集．交织法要求移位序列满足两个条件，其中条件ｌ是为了保证相关区长度，条件２保证了序列的移位不等价特性．不同的移位序列集对应得到不同的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集，下面提出一种移位序列构造方法，从而利用交织法

可以构造出多个移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集．

设Ｌ为正整数，２＜Ｌ＜Ｎ．构造位序移列集Ｅ＝｛ｅｏ，ｅＩ，…，ｅ＇；Ｉｆ一１），ｅｉ＝（ｅｉ．ｏ，ｅｉ，１），０≤ｉ≤Ｍ—ｌ，ｅｉ，ｏ，ｅ‘．１∈｛０，１，２，…，Ⅳ一１１．

第一种情况：￡为偶数，取

Ｉ

Ｍ＝Ｌ竿．Ｊ

对于０≤ｉ≤Ｍ一１，移位序列ｅｉ构造如下：

当ＬＮ一１时，

ｅｉ＝（Ⅳ一号ｈ，丢（…）ｍＹ）

（５）

其中戈，Ｙ为正整数，０≤嚣＋Ｙ≤Ｌ一１且ｘ＋Ｙ≠

止≯肛｛等乩竿一２）－

当Ｌ卟Ｎ一１时，

ｅ；＝（Ⅳ一专ｉ—ｚ，号（ｉ＋１）＋ｌ＋ｙ）

（６）

其中，戈，Ｙ为正整数，当Ⅳ为偶数时满足：０≤菇＋ｙ≤Ｎ一１一ＭＬ；当Ⅳ为奇数时满足：０≤菇＋Ｙ≤Ｎ一１一ＭＬ

且ｘ＋Ｙ≠———ｉ—一．

。

Ｎ一１一ＭＬ

第二种情况：￡为奇数，取

Ｉ

肘＝Ｌ竿．Ｊ

对十０≤ｉ≤Ｍ一１，移位序夕ＩＪｅｉ构造如卜：

吼２

ｌ（哗小ｙｍ孚一戈），ｉ为奇数

『（Ⅳ一号￡一ｘ，立掣＋１＋，．），ｉ为偶数

当ＬＩＮ时，

（７）

其中，ｘ，Ｙ为正整数，０≤算＋ｙ≤￡一２．

当Ｌ下Ｎ时，

铲ｉ（哗吩Ⅳ一掣一ｘ），ｉ为奇数＠’

『（＾，一号Ｌ一茹，ｉ半＋ｙ），ｉ为偶数，、

学报

２０１１正

其中，菇，Ｙ为正整数，满足：菇＋Ｙ≤Ｎ—ＭＬ且ｘ＋Ｙ≠

盟二丝

２

’

上面式子中，Ｌ口Ｊ表示取ａ的整数部分，移位序列中元素都是模Ⅳ运算．例如，当ｉ＝０，算＝０时，各种情况下都有ｅ∽＝０（ｍｏｄＮ）．将上述方法得到的移位序列集记为Ｅ（戈，Ｙ）＝｛ｅｏ，ｅｌ＇．一，ｅＭ—Ｉ｝，不同的参数（ｘ，Ｙ）的对应不同的移位序列集．

通过上面方法得到的移位序列都满足交织法中的

两个条件，也就是说利用上面得到的移位序列，通过交织法可以得到低零相关区序列集，序列集中的序列都是移位不等价的．移位序列集的这些性质可以由以下定理１和定理２保证．

定理１设Ｅ（算，ｙ）是由上述构造法得到的含有Ｍ个序列的移位序列集，ｑ＝（ｅｉ，０，ｅｌ，Ｉ）和勺＝（勺，ｏ＇勺，１），

ｏ≤ｉ，．『＜Ｍ是其中任意两个移位序列，ｅｆ’０，８ｆ＇ｌ，勺＇ｏ＇勺，ｌＥ｛０，Ｉ，２，…，Ⅳ一Ｉ｝．记ｄｏ＝ｅｉ，０一ｅＪ，０，ｄｌ＝ｅｉ，１一勺，１，ｄ２＝ｅｆ，ｏ一勺＇ｌ’ｄ３＝ｅｆ．Ｉ一勺，ｏ一１，都是模』、，运算．移位序列有具有如下性质：

…ｍｉ∈ｎ。｛ｄｏ，ｄＩ）≥ｉＬ，ｒａ．《ｉｎ。｛ｄ２，ｄ３｝≥等

证明不失一般性，假设Ｏ≤ｉ≤Ｊ＜Ｍ，下面仅对￡为偶数且￡ＩＮ一１时进行讨论，其它情况证明过程类似．

当￡为偶数且ＬＩＮ一１时，由移位序列的构造过程

计算得ｄｏ＝寺（，一ｉ），ｄｌ－Ｎ一寺（－『一ｉ）和ｄ２＝Ｎ一２一寺（ｉ＋－『＋１）一（茁＋Ｙ），ｄ３＝寺（ｉ＋ｊ＋１）＋１＋（ｘ＋

Ｙ）．由０≤ｉ≤，＜Ｍ可得０≤＇，一ｉ≤Ｍ一１，０＜ｉ＋Ｊ＋１≤２Ｍ一１．所以ｉ≠．，时有

ｄｏ＞ｉＬ

（９）

ｄｌ≥Ⅳ一皿≯≥Ⅳ一孚＋争了Ｌ（１０）

当ｉ≤＿『时，有

掣＜ｄ３≤舰一号＋￡：Ｊ７、ｒ一１一鲁（１１）

由ｄ２＝Ｎ一１一ｄ３得

５“－≤ｄ２＜Ｎ一寺

（１２）

由上述讨论得到结论：．ｍ，。ｉ。ｎ。｛ｄｏ，ｄ ｝≥专且舞

｛ｄ２，ｄ３｝≥兰｝成立．其它情况证明过程类似．

证毕．

定理２设Ｅ（戈，ｙ）是由上述构造法得到的一个移

位序列集，ｅ产（ｅｉ，０＇ｅ１．１）和勺＝（勺’０＇勺．Ｉ）是其中任意

两个移位序列，ｅｉ＇０＇ｅ‘．１＇８，＇０＇勺，ｌ∈｛０，１，２，…，Ⅳ一１｝．记

第４期

李玉博：交织法构造移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集

７９９

ｄｏ＝ｅｉ．０一勺，０，ｄｌ

２

ｅｉ，ｌ一勺，１，ｄ２

２

ｅｉ，ｏ一勺，ｌ，ｄｓ

２

ｅｉ，Ｉ一

８ｆ，ｏ一１都是模Ｎ运算，０≤ｉ，．『＜Ｍ．对于任意ｅｉ≠ｅＪ有

ｄｏ≠ｄ１，且ｄ２≠ｄ３．

证明设０≤ｉ＜Ｊ＜Ｍ，分以下几种情况讨论：

当Ｌ为偶数且ＬＩＮ一１时，由定理１的证明过程可

知，有ｄｏ＝寺（＿『一ｉ），ｄｌ＝Ｎ一号（＿『一ｉ），和ｄ２＝Ｎ一２

一生９（ｉ＋－『＋１）一（并＋Ｙ），ｄ３＝詈（ｉ＋，＋１）＋１＋（＊＋

Ｙ）．若ｄｏ＝ｄｌ，贝０有Ｎ＝（．『一ｉ）Ｌ．由０≤ｊ＝一ｉ≤Ｍ一１，

舭≤Ｎ一２，得（＿『一ｉ）Ｌ＜Ｎ与Ｎ＝（－『一ｉ）Ｌ相矛盾，故

ｄｏ≠ｄ１．若ｄ２＝ｄ３，则有

Ｎ一３＝（ｉ＋Ｊ＋１）Ｌ＋２（茹＋Ｙ）

（１３）

设ｋ＝ｉ＋．卜１，．｜｝为整数．设Ｎ一１＝ｍＬ，上式化简为ｘ

＋ｙ：鱼掣一１．因为ｏ≤戈＋），≤￡一１，上式如果成

立则取值应该在［０，Ｌ一１］ｏ

ｍ—ｋ＝０时，ｚ＋Ｙ＝一１

ｍ一而＝ｌ时，ｘ＋ｙ＝专一１

，ｎ—ｋ＝２时，省＋Ｙ＝Ｌ一１

ｍ—ｋ≥３时，戈＋ｙ≥￡＋寺一１

通过上述计算可以发现，当且仅当ｍ—ｋ＝｛１，２｝时，茹＋Ｙ取值在［０，￡一１］内，进一步得ｋ＝｛ｍ一１，ｍ一２｝＝

｛掣“竿一２１．即矗＝｛等“等一２ｊ时式

（１３）成立．与条件茹＋ｙ≠半，尼＝｛盟尹一１，

盟｝一２｝相矛盾，所以式（１３）不成立，ｄ２≠ｄ３．

可得如：掣，ｄｌ：Ⅳ一掣和ｄ２：Ⅳ一１一

当￡为偶数且￡’Ｎ一１时，由定理１的证明过程

寺（ｉ＋＿『＋１）一（ｘ＋），），ｄ３＝告（ｉ＋，＋１）＋（并＋Ｙ），若

ｄｏ＝ｄＩ，则有Ｎ＝（＿『一ｉ）Ｌ，由０≤Ｊ—ｉ≤Ｍ一１，ＭＬ≤Ｎ一２得（Ｊ—ｉ）Ｌ＜Ｎ与Ｎ＝（＿『一ｉ）Ｌ相矛盾，所以有ｄ０≠ｄ１．若ｄ２＝ｄ３，则有

Ｎ一１＝（ｉ＋＿『＋１）Ｌ＋２（茗＋Ｙ）

（１４）

分两种情况讨论：当Ｎ为偶数时，则等式（１４）左侧为奇数，因为￡为偶数，则等式（１４）右侧为偶数，矛盾，所以上式不成立．当Ｎ为奇数时，设ｋ＝ｉ＋．『＋１，化简得茁

一步可以得到不等式ｏ≤盟掣≤Ⅳ一１一ＭＬ，计算

＋），：盟掣．由于已知０≤菇＋ｙ≤Ｊ７、，一１一ＭＬ，进得到而的取值范围２Ｍ—Ｌ盟｝．ｊ≤后≤Ｌ盟｝＿Ｊ．由

Ｍ：Ｌ竿＿Ｊ尔Ｌ＜Ⅳ可得Ｌ掣－Ｊ：Ｌ竿－Ｊ

＝Ｍ，代入不等式得：肘≤ｋ≤Ｍ．所以当且仅当ｋ＝Ｍ，

即ｚ＋ｙ：盟二安些时式（１４）成立，与初始条件菇＋Ｙ≠盟二安些矛盾，所以式（１４）不成立．由上述讨论可

得到结论ｄ２≠ｄ３．

当￡为奇数时，证明过程类似．

综合上述讨论，得到结论ｄｏ≠ｄＩ，ｄＥ≠ｄ３，定理成立．证毕．

定理３选取异相自相关函数值最大值为艿的序列口做基序列，移位序列集为Ｅ（菇，），），利用交织法构造得到的序列集ｕ为低相关区序列集，表示为

脚（２Ｊ７、，，２Ｍ，Ｌ，２Ｉ艿Ｉ），若艿＝０，则得到零相关区序列

集ｚｃｚ（２Ⅳ，２Ｍ，Ｌ），并且序列集中序列移位不等价．

证明根据引理１、引理２可以得到上述定理成立．证毕．

由定理３可知，利用本文构造法得到的移位序列应用到交织法中可以得到低零相关区序列集，序列集中的序列都是移位不等价的．如果选取不同的参数（戈，Ｙ），可以得到多个移位序列集，不同移位序列集对应着移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集，序列集间的移位不等价性由下面定理４保证．

定理４设８和Ｃ是两个由交织法构造的低零相关区序列集，参数为（２Ｎ，２Ｍ，Ｌ，艿），基序列口长度为Ｊ７ｖ．对应的移位序列集分别为Ｅ（茹。，Ｙ１），Ｅ（茗２，娩）．如果满足ｚｌ＋），１≠菇２＋Ｙ２，则序列集Ｂ和Ｃ是移位不等价的．

证明设ｂｌ∈Ｂ，ｃｉ∈Ｃ，０≤ｉ，＿『≤Ｍ一１．由交织法构造过程可知

ｂｉ＝，（．酽ｍ（口），±Ｆ“（口））ｃｉ＝，（ＳｅＪ０（口），±Ｓ。¨（口））ｅ产（ｅｉ＇０’ｅｉ。１）∈Ｅ（名ｌ，Ｙ１）ｅｊ＝（ｅ土０，ｅｊ’１）∈Ｅ（Ｘ２，娩）

下面仅对当三为偶数且￡ＩＮ一１时进行证明，其他情况类似．

当Ｌ为偶数且￡ＩＮ一１时，计算得ｄｏ＝－５“－（．『一ｆ）＋

茁２一戈Ｉ，ｄｌ＝詈（ｉ一，）＋Ｙｌ—ｙ２，ｄ２＝Ｎ一２一号（ｉ＋－『＋

１）一（菇１＋ｙ２），ｄ３＝寺（ｉ＋＿『＋１）＋１＋（Ｙｌ一髫２）一Ⅳ．若

ｂｉ与ｃｊ移位等价，则有ｄｏ＝ｄｌ或ｄ２＝ｄ３成立．若ｄｏ＝ｄｌ且ｉ＝Ｊ，贝４有戈２一聋】２Ｙ１一Ｙ２，即ｘｌ＋Ｙｌ＝％２＋Ｙ２，

与并ｌ＋，，ｌ≠ｘ２＋Ｙ２相矛盾．若ｄｏ＝ｄｌ且ｉ≠＿『，有下面

８００

电子式子成立：（Ｊ—ｉ）Ｌ＝（茁１＋Ｙ１）一（ｘ２＋Ｙ２）

（１５）

因为０≤算１＋Ｙ１≤Ｌ一１，０≤石２＋Ｙ２≤Ｌ一１，可以推得不等式成立：

１一￡≤（石１＋Ｙ１）一（戈２＋Ｙ２）≤Ｌ一１

（１６）

由上式可知所以等式（１５）不可能成立，故如≠ｄ１．若ｄ２

＝ｄ，，则推得

２Ｎ一３＝（ｉ＋Ｊ＋１）￡＋（ｘｌ＋Ｙ１）＋（ｘ２＋Ｙ２）（１７）由于下面不等式成立：

（ｉ＋＿，＋１）￡＋（Ｘｌ＋Ｙ１）＋（，Ｘ２＋Ｙ２）ｆ１８）

≤（２Ｍ一１）Ｌ＋２（Ｌ—１）≤２Ｎ一４一Ｌ

可以推得２Ｎ一３≤２，ｖ一４一Ｌ，矛盾，所以ｄ２≠ｄ３．由引理１可得，ｂ；与ｃｉ移位不等价．其它情况类似，得到结论

移位序列ｅ产（ｑ’ｏ＇ｅｌ，１）和ｅ产（ｅ；＇ｏ’ｅ；、１）不等价，对应

的低零相关区序列集Ｂ和Ｃ是移位不等价的，定理４成立．

由定理４可知，通过选取满足条件的参数（并，ｙ）就可以构造得到多个移位不等价的低零相关区序列集．下节对移位不等价序列集数目进行讨论．

５移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集数目的讨

论

由移位序列构造法可以得到多个不等价的移位序列集，从而可以利用交织法构造出多个移位不等价的ＺＣＺ／Ｉ．ＥＺ序列集，下面对每种情况下可以得到的不等价ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集的个数进行讨论．

定理５设Ｑ表示通过本文方法构造的移位不等价ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集的个数，则有

Ｌ为偶数时，

Ｑ＝｛Ｊ７＼，一舰，

『Ｌ一２，ＬＩ（Ⅳ一１）

Ｌ下（Ⅳ一１）且Ⅳ偶数（１９）

ｏＮ—ＭＬ—ｌ，

￡十（Ⅳ一１）且Ⅳ奇数

Ｌ为奇数时，

Ｑ＝｛Ｎ—Ｌ－舰ｌ，一。三‰

㈣，

证明设移位序列集Ｅ（戈，Ｙ）是由上述移位序列构造法得到，将各种情况讨论如下：

第一种情况：￡为偶数．

Ｙ取值满足：０≤ｘ＋，，≤Ｌ—ｌ且菇＋ｙ≠盟掣，ｋ：

当￡Ｉ（Ｎ一１）时，由移位序列的构造过程可知ｘ＋

｛盟尹一１，盟｝一２）．所以ｘ＋Ｙ可以取到［ｏ，Ｌ—１］

范围内其它￡一２个值，又由定理４知，当ｚｌ＋Ｙ１≠菇２＋Ｙ２时，移位序列集Ｅ（ｘｌ，Ｙ１）和Ｅ（ｚ２，Ｙ２）是不等价的，也就是说不同的并＋Ｙ的取值对应着不等价的移位序

学报

２０１１年

列集．所以可以得到Ｌ一２个不等价的移位序列集，从

而对应着Ｌ一２个移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集．

当￡斗（Ⅳ一１）且Ⅳ为偶数时，由０≤算＋Ｙ≤Ｎ一１

一舰可知，ｚ＋Ｙ可以取到满足条件的Ｎ—ＭＬ个值，

由定理４可知，可以得到Ｎ—ＭＬ个不等价的移位序列集，从而对应着Ｎ—ＭＬ个移位不等价的ＺＣＴＭＩＥＺ序列集．

当Ｌ＼卜（Ｎ一１）且Ⅳ为奇数时，由Ｏ≤石＋Ｙ≤Ｎ一１

一舰且茹＋ｙ≠盟二安—丝可知，ｚ＋Ｙ可以取到满足

条件的Ｎ—ＭＬ—１个值，由定理４可知，可以得到Ⅳ一

ＭＬ一１个不等价的移位序列集，从而对应着Ｎ一舰个

移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集．

第二种情况：Ｌ为奇数时，证明过程同上面类似．证

毕．

下面对本文方法得到的不等价序列集数目与文献［１］的结果做比较．

表１序列集数目的比较

表ｌ中，￡表示相关区长度，Ⅳ表示序列长度，Ｍ表示序列集中的序列数目．由表１可以看出，设定低零相关区序列集的三个参数（．７ｖ，肼，￡），利用本文方法可以得到更多的低零相关区序列集，这是通过选取不同

参数（戈，ｙ）构造得到不同的移位序列集来实现的．在准同步ＣＤＭＡ系统中，每个小区分配一个低零相关区序

列集，所以利用本文方法可以得到更多的ＺＣＺ／ｉＥＺ序

列集来支持更多的用户．

下面表２列出一些具体的移位序列的例子．并与文献［１］的结果做比较．通过表２可以发现，本文方法可以构造出多个移位序列集．例如，当取Ⅳ＝２ｌ，￡＝７，Ｍ＝２时，本文可以得到６个移位序列集，而文献［１］只能得到一个．因此，若利用长度为２ｌ的理想二值自相关序列或完备序列作为基序列，利用本文的移位序列可以分别交织得到６个参数为（４２，４，７）的移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集，而文献［１］只能得到一个．由此可见，本文方法扩展了交织法的应用，可以得到多个移位不等价的低零相关区序列集，从而为准同步ＣＤＭＡ系统提供

更多的扩频序列．

第４期李玉博：交织法构造移位不等价的ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集

表２当，ｖ＝２１。Ｌ＝７。Ｍ＝２时的移位序列集

８０ｌ

６相互正交的ＺＣＺ序列集的构造

定理６设Ｂ和Ｃ是两个交织法构造的零相关区序列集ｇＣｇ（２Ｎ，２Ｍ，￡），基序列ｎ是一个长度为Ⅳ的完备序列．序列集Ｂ和ｃ对应的移位序列集分别是Ｅ（戈１，），１），Ｅ（ｘ２，Ｙ２），如果参数（Ｘｌ，ｙ１），（Ｘ２，），２）满足下面式子：

当Ｌ为偶数时

ｆ专（卜ｉ）＋ｘ２一茁ｌ≠０（ｍｏｄＮ）

ｉ毒（ｉ一＿『）＋ｙ。一弛≠。（瑚耵ｄＪ７ｖ）

‘２１’

当Ｌ是奇数时

Ｉ号（ｉ一＿『）＋Ｙ１一Ｙ２≠０（ｍｏｄＮ）

ｌ：

ｌ寺（卜ｉ）＋算２一戈ｌ≠ｏ（删Ⅳ）｛：

（２２）

Ｉ寺（ｉ＋，＋１）＋１＋Ｙｌ＋戈２一Ｎ≠０（ｍｏｄＮ）

ｌ‘一

，

ＩＮ一寺（ｉ＋，＋１）一（菇ｌ＋Ｙ２）一１≠０（ｍｏｄＮ）

式中，０≤ｉ，＿『≤Ｍ一１．则序列集Ｂ和Ｃ是相互正交的零相关区序列集．

证明由于序列口是完备序列，由定理３可知，序列集Ｂ和Ｃ是两个零相关区序列集．设６ｉ和ｃ，分别是序列集曰和Ｃ中的序列．有

ｂ产，（翳．ｏ（口），±舒， （ｎ）），ｃ产，（ｓ（．。（ｎ），±．ｓ（。ｔ（口））．ｅ产（ｅｉ．ｏ，ｅｉ。１）∈Ｅ（ｘｌ，），１），

石＝（石，０，石，１）∈Ｅ（戈２，Ｙ２）．

当￡为偶数时，计算得：

ｄｏ，ｄ。∈｛丢（’『一ｉ）＋Ｘ２－－石。，ｉＬ（ｉ一＿『）＋），，一ｙ：）

ｄｏ’ｄ。∈｛掣＋Ｘ２－－ＸＩ，掣＋ｌ＋ｙ。％－Ⅳ＇

当￡是奇数时，计算得：

计算序列ｂｉ和ｃｆ的同相互相关函数得

至王｛手二赴＋ｙ。一弛，Ⅳ一』掣一（并。＋弛）一１）

Ｒ６．。（０）＝吃（一ｄｏ）±心（一ｄ１）

当ｄｏ，ｄｌ≠ｏ（ｍｏｄＮ）时，有Ｒ６。（ｏ）＝０，此时序列集Ｂ和Ｃ中的序列是正交的．证毕．

下面列举一个构造相互正交ＺＣＺ序列集的例子．

例１选取长度为２１的三元完备序列ｎ做基序列如下：

ｏ＝（一＋＋一０＋０＋一＋＋＋＋＋一一０一＋ｏｏ）

“＋”表示“１”，“一”表示“一１”．相关区长度设为￡＝７，则Ｍ＝２，利用表１的移位序列集可以得到６个移Ｅ（１，０），Ｅ（１，１），Ｅ（２，１），Ｅ（２，２），Ｅ（３，２）依次对应着序列集扩，扩，扩如下：

扩＝｛ｕ８，ｕ？，“２，出２｝，酽＝｛ｕ３，Ⅱ｛，ｕ；，Ｍ；｝，矿＝｛Ｍ３，Ｍ｛，“；，Ⅱ；｝．

“２＝（００一＋＋０＋＋一一０＋＋＋０＋＋＋一＋＋

一＋一＋０＋一＋＋一０—００一一十＋＋０一）

“？＝（＋一一＋＋０＋０＋一＋＋＋＋一一一００＋一

０＋＋０—０＋一＋＋＋＋＋一＋０一＋一００）

Ｍ２＝（００一一＋０＋一一＋０一＋一０一＋一一一＋

＋＋＋＋０＋＋＋一一０—００＋一一＋一０＋）

ｕ２＝（＋＋一一＋０＋０＋＋＋一＋一一＋一００一一

０＋一０＋０一一一＋一＋一一一０＋＋＋００）

ｕ；＝（０＋ｏｏ一＋＋一＋＋一＋０＋＋＋０＋＋一一

一＋０＋一＋＋＋０＋０一一一＋０＋一一＋０）

ｕ｛＝（一０＋一＋＋＋０＋０＋一一＋一＋０一一０＋

＋０００＋一一＋＋＋＋一＋０＋＋＋０一＋一）

ｕ；＝（Ｏ一００一一＋＋＋一一一０一＋一０一＋＋一

＋＋０＋＋＋一＋０＋０一＋一一０一一＋＋０）

Ｍ；＝（一０＋＋＋一＋０＋０＋＋一一一一０＋一０＋

一０００一一＋＋一＋一一一０一＋一０＋＋＋）

ｕ３＝（＋００＋０一一＋＋＋＋＋一＋０＋＋一０一＋

０一一＋＋＋０＋０＋一＋＋一＋一一００一＋）

ｕｊ＝（＋一＋０＋一＋＋＋０—０一一０＋一＋＋一

０００＋一０＋＋＋一一＋０＋＋＋０＋＋＋一一）

“｛＝（＋００—０＋一一＋一＋一一一０一＋＋０＋＋

０一＋＋一＋０＋０＋＋＋一一一一＋００一一）

址；＝（＋＋＋０＋＋＋一＋０—０一＋０一一一＋＋

０００一一０＋一＋＋一一０一＋一０一＋一一＋）

可以验证上面３个序列集是相互正交的ＺＣ．Ｚ序列集，参

数为ＺＣＺ（４２，４，７），并且移位不等价．

位不等价零相关区序列集ｚｃｚ（４２，４，７）．设Ｅ（０，０），ＺＣＺ序列集扩，Ｕ１，…，驴．则扩，Ｕ２，扩是相互正交的ＺＣＺ序列集．￡，１，护，扩是相互正交的ＺＣＺ序列集．ＺＣＺ

电Ｆ７结束语

本文提出一种新的侈位序列集构造＝】『法，基ｊ。过种移位序列ｎＪ以利崩交织法构造川多十移位小等价的

低寄相关隧序列集，时论ｒ穆化不等价船／【￡ｚ序刊

集ｎ０存在数Ｒ通过选择年川们参数可以得驯多个移

位币等价的ＺＣＴｄＬＬＺＪ＃列柴，同“前的方法辑ｉ比ｚｃｚ，

ＬＣＺ序列集数Ｈ樽到很大增加，应卅到准同步ＣＤＭＡ系统中可以支持更多的Ⅲ户本文方法还可Ｈ构造相互ｌｌ－变的ＺＥＺ序列龌．放宽，埘完箭序列长度的限制，可以利Ｊｌｌｆｆ意眭度的完备序列做肚序列米构造相互正交

帕础序列集可“为准同步ＣＤＭＡ系统提供更多的

十ｕ址止交的ＺＣＺ｝芋别集

参考女献

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２８（１２）：２３４７—２３５０（ｉｎｏｌｒ眦）

作者简介

｛ｉ＊＂１９８５々｝Ⅻ“自ｍ＾２０Ｉｔ７≈４ｍ，《Ｊｈ＾｛ｍ｝＊ｎＴ＃｛ｍ．Ｅ∞ｇ１１

女｛自路目§‰｛ｎ镕±＊Ａ±．±ｇⅢ％自自

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许ｍ谦目，１９６１年±，陕口城目＾１９９７

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2y41.html