第六章 样本及抽样分布

概率论复习课件

概率论与数理统计

第六章 样本及抽样分布1 2本章基本内容 历年考试例题

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第六章 样本及抽样分布

一、 2-分布 1. 定义

设X1, X2,…, Xn相互独立, 都服从正态分布N(0,1), 则称随机变 量：X= X12+X22+…+Xn2

所服从的分布为自由度为 n 的 2分布，记为X~ 2(n)。2. 性质 1. 设X1, X2,…, Xn 相互独立, 都服从正态分布N( , 2),则n 1 2 2 ( X i ) 2 ~ 2 ( n) i 1

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2.设 X1~ 2(n1) ,X2~ 2(n2) ,且X1,X2相互独立，则X1+X2~

2 ( n 1+ n 2) 。3.若 ~ ( n), 则当n充分大时,2 2

X n 的分布近似正态分布 2n

N(0,1)。

4 . 若 2 ~ 2 ( n), 2分布的数学期望与方差,E(X)=n, D(X)=2n.

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二、t 分布 1. 定义 设X~N(0,1) , Y~ 2 ( n) , 且X与Y相互独立，则称变量

t

X Y n

所服从的分布为自由度为 n的 t 分布，记为t ~ t(n)。 2. 性质

1. 具有自由度为n的t分布t ~ t (n), 其数学期望与方差为： E (t ) 0, D (t ) n ( n 2) ( n 2)4

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2. t分布的上 分为点的性质：t1- (n)=-t (n) 三、F 分布

1. 定义设U~ 2(n1), V~ 2(n2) ,U 与V 相互独立，则称随机变量U n1 F V n2

服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2称 为第二自由度，记作F~F(n1,n2) .V n2 1 ~F(n2,n1) F U n15

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2. 性质

n2 E(F ) n2 2

若n2>2

四、抽样定理

1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )

设总体X的均值为 ,方差为 2,X 1 , X 2 , , X n 是 来自总体的一个样本，则样本均值X 和样本方差S 2有E( X ) , D( X ) 2 n ,6

E (S 2 ) 2

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定理 1 (样本均值的分布) 设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，2 X 是样本均值，则有 X ~ N ( , ) 即 n

X ~ N (0,1) n

定理 2 (样本方差的分布) 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本, X 和S 2 分别为样本均值和样本方差, 则有(n 1) S 2 2 (1) ~ ( n 1) 2 (2) X 与S 2独立.

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定理 3 (样本均值的分布) 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N ( , 2 ) 的样本,

X 和S 2 分别为样本均值和样本方差, 则有X ~ t (n 1) S/ n

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例题 1. 设X1, X2,…, X20是来自总体N(0,16)的样本，统计量 U X k2 ,k 1 9

3 V U

3 X10 X ,W U k 182 k

20

,则

U 16

服从

,V服从

,

W服从

。

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2. 样本X1, X2, X3, X4, X5是来自总体N(0,32)的样本，

cX 5 Y a( X 1 2 X 2 ) b(3 X 3 X 4 ) , Z Y2 2

(1) 求出参数a,b,c,使Y服从 2分布，Z服从t分布； (2) 在前问结果的基础

上，计算D(3Y- X5).

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