8-高等数学第八讲 微分积分中值定理和极值

第八讲 微分与积分中值定理和函数极值

§8.1 微分与积分中值定理

一、知识结构 1、微分中值定理

(1) 罗尔（Rolle）中值定理 若函数f(x)满足下列条件:

(i) f(x)在闭区间?a,b?上连续;(ii) f(x)在开区间?a,b?内可导;(iii)f(a)?f(b),则在?a,b?内至少存在一点?,使得f?(?)?0.

(2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数f(x)满足下列条件:

(i) f(x)在闭区间?a,b?上连续;(ii) f(x)在开区间?a,b?内可导,则在

?a,b?内至少存在一点?,使得

f?(?)?f(b)?f(a)b?a.

(3)柯西中值(Cauchy)定理 若函数f(x)和g(x)满足下列条件:

(i) f(x)和g(x)在闭区间?a,b?上连续; (ii) f(x)和g(x)在开区间

?a,b?内可导,

(iii)f?(x)和g?(x)不同时为零; (iv)g(a)?g(b), 则在?a,b?内至少存在一点?,使得

f?(?)g?(?)f(b)?f(a)g(b)?g(a)?.

2、积分中值定理 (1)积分第一中值定理

259

若函数f(x)在?a,b?上连续,则至少存在一点???a,b?,使得

?baf(x)dx?f(?)?b?a?.

(2)推广的积分第一中值定理

若函数f(x),g(x)在?a,b?上连续,且g(x)在?a,b?上不变号，则至少存在一点???a,b?,使得?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.

aabb3、积分第二中值定理 若函数f(x)在?a,b?上连续,

(i)若函数g(x)在?a,b?上单调递减, 且g(x)?0, 则存在???a,b?,使得?f(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx.

aab?(ii)若函数g(x)在?a,b?上单调递增, 且g(x)?0, 则存在???a,b?,使得?f(x)g(x)dx?g(b)?f(x)dx.

abb?3、泰劳公式（微分中值定理的推广）麦克劳林公式 (1) 一元函数y?f(x)泰劳公式

泰劳公式产生的背景: 将函数f(x)(f(x)在含有x0的某个开区间

?a,b?内具有直到n?1阶的导数) 近似的表示为关于(x?x0)的一个n次多

项式,由于多项式的算法是好算法,我们可以用关于(x?x0)的一个n次多项式来求函数f(x)在某点(x??a,b?)的近似值.

定理1 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间?a,b?内具有直到n?1阶的导数,则当x??a,b?时, f(x)可以表示为(x?x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:

260

f(x)?f(x0)?11!ff?(x0)(x?x0)???f(n)(x0)n!(x?x0)?Rn(x),

n其中Rn(x)?????x??n?1?!?n?1?x0?n?1(拉格朗日型余项)，这里?是属于x与x0之间的某个值.

或, 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间?a,b?内具有直到n?1阶的导数,则当x??a,b?时, f(x)可以表示为(x?x0)的一个n次多项式与一个当x?x0时的(x?x0)n的高阶无穷小之和:

11!f(n)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)???(x0)n!(x?x0)?o?x?x0?n?n?

nn其中o?(x?x0)?为当x?x0时(x?x0)的高阶无穷小.

（2）麦克劳林公式

定理2 如果函数f(x)在含有0的某个开区间?a,b?内具有直到n?1阶地导数,则当x??a,b?时, f(x)可以表示为x的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:

f??(0)2!2f(x)?f(0)?f?(0)x??n?1?x???f(n)(x0)n!x?Rn(x),

n其中Rn(x)?f??x?n?1x，(0???n?1?!?1).

2、二元函数z?f(x,y)的泰劳公式和麦克劳林公式 （1）泰劳公式

定理3 如果函数f(x,y)在含有?x0,y0?的某一领域内连续且有直到

261

n?1阶的连续偏导数,?x0?h,y0?k?为此邻域内任一点，则有

????1????f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)??h?kf(x,y)?h?k00???f(x0,y0)?x?y2!?x?y??????1????1?????h?kf(x,y)?h?k00????n!??x?y??y??n?1?!??xnn?12f(x0??h,y0??k),其中0???1，记号

??????h?k??f(x0,y0)?hfx?x0,y0??kfy?x0,y0?， ?x?y??????22??????h?kf(x,y)?hfx,y?2hkfx,y?kfyy?x0,y0?， 00xx00xy00??x??y??2……

??????h?k??x?f(x0,y0)??y??1mm?Cp?0pmhkn?1pm?p?pmm?p?x?yf(x0,y0),

??????Rn(x)?h?k??n?1?!??x?y??f(x0??h,y0??k), 0???1 称为拉

格朗日型余项.

（2）麦克劳林公式

定理4 如果函数f(x,y)在含有?0,0?的某一领域内连续且有直到n?1阶的连续偏导数,?h,k?为此邻域内任一点，则有

????1???????f(x,y)?f(0,0)??x?yf(0,0)?x?y??x???x?f0,0)???y2!?y??????1????1???????x?yf(0,0)?x?y?????n?1?!??xn!??x?y??y?nn?12

f(?x,?y)，

其中0???1.

二、解证题方法

262

1、微分中值定理

例1 (山东师范大学2006年)设P(x)为多项式函数,试证明:若方程

P?(x)?0没有实根,则P(x)?0至多有一个实根.

证明 用反证法.

因为P(x)为多项式函数, 所以P(x)在???,???上连续并且可导. 如果P(x)?0至少有两个实根, 不妨设为?1??2,则P(?1)?P(?2)?0.在闭区间上用罗尔定理得,存在????1,?2?,使得P?(?)?0. 这与方程

P?(x)?0没有实根发生矛盾, 所以P(x)?0至多有一个实根.

例2 (河北大学2005年)设f(x)可导,?为常数,则f(x)的任意两个零点之间必有?f(x)?f?(x)?0的根.

证明 不妨设f(x)的任意两个零点为???. 令F(x)?f(x)e?x,则

F(?)?F(?)?0. 因为F(x)在??,??上连续, 在??,??内可导,且F(?)?F(?)?0, 所以, 由罗尔定理得:存在x???,??,使得F?(x)?0,

即F?(x)??f(x)e?x?x?f?(x)e?0,进而有?f(x)?f?(x)?0, 所以

x???,??是?f(x)?f?(x)?0的根.

例3(电子科技大学2002年)f(x)在?0,1?上二次可导,

f(0)?f(1)?0,试证明：存在???0,1?，使得f??????1???1?2f?(?).

证明 因为f(x)在?0,1?上连续, f(x)在?0,1?内可导, 且

f(0)?f(1)?0,所以由罗尔定理得:存在???0,1?,使得f?(?)?0.令

263

1?1?x?,g(x)??f?(x)e?0,?x?[0,1). 因为g(x)在?0,1?上连续,在?0,1?内

x?1可导, 且g????g?1??0, 所以由罗尔定理知, 存在?????,1?, 使得g?????0,即f??????1???1?2f?(?).

例4(山东科技大学2005年)设f?x?在整个数轴上有二阶导数,且

limf(x)x?0,f(1)?0,试证明: 在?0,1?内至少存在一点?,使得

x?0f??????0.

证明 因为f?x?在整个数轴上有二阶导数，所以f?x?在整个数轴上连

f(x)?f(x)?x??lim?limx?0. 又因为

x?0x?0x?x?续. 进而f(0)?limf(x)?limx?0x?0?f(1)?0, 所以函数在?0,1?内满足罗尔定理的条件, 进而存在???0,1?,使

得f?(?)?0. 又因f?(0)?limx?0f(x)?f(0)x?limx?0f(x)?0x?0, 并且

f??x?在?0,??上连续, 在?0,??内可导, 所以f??x?在?0,??上满足罗尔定

理的条件, 进而存在???0,??,使得f??????0.

例5(汕头大学2005年) 设f?x?在闭区间?a,b?上有二阶导数,且

f(a)、f(b)均不是f(x)在闭区间?a,b?上最大值和最小值, 试证明: 存在

???a,b?,使得f??(?)?0.

证明 由于f(x)在?a,b?上连续, 所以f(x)在?a,b?上取得最大值和最小值. 又因为f(a)、f(b)均不是f(x)在闭区间?a,b?上最大值和最小值,

264

所以存在?1,?2??a,b?, 不妨设?1??2,使得f(?1),f??2?是f(x)在?a,b?上的最大值和最小值. 进而f?(?1)?f???2??0.由f?x?在闭区间??1,?2?上有二阶导数, 所以f??x?在闭区间??1,?2?上连续, 在开区间??1,?2?内可导. 由罗尔定理知, 存在????1,?2?,使得f??(?)?0. 进而存在???a,b?,使得f??(?)?0.

例6(北京工业大学2005年)设f(x)在???,???上可导, 试证明:

f?(x)?0当且仅当f(x)为一常数.

证明 (1)充分性 因

为

f(x)为一

?lim常

C?C?x数C, 所以

f?(x)?limf?x??x??f(x)?x?x?0?x?0?lim0?0.

?x?0(2)必要性

对任意的x1,x2????,???, 不妨设x1?x2. 显然f?x?在闭区间

?x1,x2?上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以存在???x1,x2?, 使得

f?????x1?x2??f?x1??f?x2?.因为f?????0, 所以f?x1??f?x2?. 进

而f(x)为一常数.

例7(南京大学2001年)设f(x)在?0,1?内可导, 且f?(x)?1, x??0,1?.

?1??(n?2), 试证明limxn存在且有限.

n??n???1??1??11???f?f?????? ????n??m??nm?令xn?f?分析 xn?xm???xn?xm?f? 265

?f????1n?1m?1n?1m?nnm?1m??.

证明 对???0, 存在N?,当n?m?N??,1???xn?xm?1n?1m?n?mnm?nnm?1m??, 所以

?1?时, 有

1?1111n1?1??1??1xn?xm?f???f?????????f????????f?????nmnmnmnmnmm??????,进而由柯西收敛准则知, limxn存在且有限.

n?? 例8(华东师范大学2001年)证明: 若函数f(x)在有限区域?a,b?内可导, 但无界,则其导函数f?(x)在?a,b?内必无界. 证明 用反证法 若函数f?(x)在

?a,b?内有界, 则存在正数M,使得

f?(x)?M,x??a,b?. 由拉格朗日中值定理得:

?a?b??a?b??a?b??a?b?f(x)?f(x)?f???f???f(x)?f???f??2222????????a?b?M?a?b???a?b??a?b??f?????x??f???f????,

2?2??2??2?所以函数f(x)在有限区域?a,b?内有界. 与已知矛盾.

例9(天津工业大学2005年)设xn?R, yn?arctan?kyn?1? (0?k?1), 证明: (1)yn?1?yn?kyn?yn?1; (2)limyn收敛.

n??证明 (1)令f(x)?arctankx, x????,???,则f?(x)?k1?kx22,于

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是f?(x)?k,从而由拉格朗日中值定理得:

yn?1?yn?f(yn)?f(yn?1)?f?????yn?yn?1??kyn?yn?1, 其中?介于yn?1,yn之间.

(2)由(1)的递推关系知,

?nyn?1?yn?kny1?y0,又因为级数

??kn?1y1?y0收敛,所以由比较判别法知, 级数??yn?1?yn?绝对收敛,

n?1n所以limSn收敛, 其中Sn?n????yk?1k?1?yk??yk?1?y1, 进而limyn收敛.

n??例10(湖南师范大学2004年)设f(x)在[0,??)上连续, 在?0,???内可导且f(0)?0, f?(x)在?0,???内严格单调递增, 证明:

f(x)x在

?0,???内内严格单调递增.

?xf?(x)?f(x)?f(x)?分析 关键是证明???0. ?2x?x?证明 因为

f(x)?f(x)?f(0)????(x)?xf?(x)?f(x)?x?f?(x)??xf??, x?x?0?????x?f?(x)?f??????0其中x??0,???, ???0,x?, 所以练习

f(x)x在?0,???内内严格单调递增.

[1](辽宁大学2005年)设f(x)在[a,b]上可导，且a?f(x)?b，f?(x)?1. 证明: 方程f(x)?x在?a,b?内存在惟一的实根.

[2] (南京农业大学2004年) 设函数f(x)在[0,1]上可微, f(0)?0, 当

267

0?x?1时, f(x)?0, 证明: 存在???0,1?,使得

2f?(?)f(?)?f?(1??)f(1??).

[3] (陕西师范大学2002年,武汉大学2004年) 设f(x),g(x)是?a,b?上的可导函数, 且g?(x)?0. 证明: 存在c??a,b?使得

f(a)?f(c)g(c)?g(b)f?(c)g?(c)?.

[4] (西南师范大学2005年)设函数f(x)在???,???内可

x2?x2导,f?(x)??f(x), f(0)?0.证明: f(x)?e4,x????,???.

[5] (北京工业大学2004年)设函数f(x)在x0的某邻域N(x0)内连续, 除

x0外可导，若limf?(x)?l，则f(x)在x0可导且f?(x0)?l.

x?x0[6] (辽宁大学2004年) 设函数f(x)在???,???内可导, 且f(0)?0,

f?(x)?k?1,证明: 方程f(x)?x有实根.

[7] (厦门大学2004年) 设函数f(x)在[a,??)上二阶可微, 且f(a)?0,

f?(a)?0, 当x?a时, f??(x)?0. 证明: 方程f(x)?0在[a,??)上有

惟一的实根.

[8] (北京化工大学2004年) 设函数f(x)在[0,1]上连续, 在?0,1?内可导,

f(0)?0, f(1)?1. 证明: 对于?的正数a和b, 存在?1,?2??0,1?, 使得af???1??bf???2??a?b.

[9] (中科院武汉物理与数学研究所2003年) 设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续, 在开区间?a,b?内可微, 并且f(a)?f(b). 证明: 若函数f(x)在

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闭区间?a,b?上不等于一个常数, 则必有两点?,???a,b?, 使得f?????0, f?????0.

[10] (中山大学2006年) 证明: 当x?0时, 存在?(x)??0,1?, 使得1?x?x?1412x??(x), 并且lim?(x)和lim?(x)（答案：

x?0?x???x?0lim??(x)?，lim?(x)?x???12 ）.

2、积分中值定理

例1(上海大学2005年)已知f(x),g(x)在?a,b?上连续,f(x)?0,g(x)不变号,求limn???bnaf(x)g(x)dx.

解 因为f(x),g(x)在?a,b?上连续, g(x)在?a,b?上不变号,所以由积分第一中值定理得?因

limbnaf(x)g(x)dx?nf(?)?g(x)dx,其中???a,b?. 又

ab为

f????0, 所以lnn??if(m?)?1,进而

n???bnabf(x)g(x)dx?lim?nf(?)?g(x)dx???an??????bag(x)dx.

?例2(河北大学2005年)证明:

???2sinx1?x?0dx?2?2cosx1?x20dx.

分析

?2sinx1?x0dx?2???2cosx1?x?0dx?2?2sinx?cosx1?x20dx?0.

证明 当x??0,?????sinx?cosx?0在0,时, ?4?上不变号,当4????????????x??,?时, sinx?cosx?0在?,?上不变号. 由推广的积分第一

?42??42?中值定理得：

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??2sinx?cosx1?x1?22?0dx??4sinx?cosx1?x2?0dx???2sinx?cosx1?x2dx

4?1??1?1????sin40x?cosx?dx?11??2????sin24x?cosx?dx

?22?2?11??2?2?11??2?2?11??2?0,

sinx???????其中???0,?, ???,?, 进而?2dx?201?x?4??42????2cosx1?x20dx.

例3(电子科技大学2005年)设f(x)在?0,1?上可导,且

1f(1)?2?20f(x)e1?x2dx,证明: 存在???0,1?,使得f?????2?f(?).

2证明 令F(x)?f(x)e?x, x??0,1?. 由积分中值定理知, 存在

?1????0,??2?f???e1??2,

1使得

f???e1??2?1???0???2?121?20f(x)e1?x2dx即

?2?f(x)e201?x2dx. 因为f(1)?2?0f(x)e?11?x2dx, 所以

f???e1??2?f(1)??2, 进

?1而

f???e??2?f(1)e?1. 又因为

F(?)?f(?)e?f(1)e, F(1)?f(1)e, 所以, 在区间??,1?上由微

分中值定理(罗尔)得:F?????0, 其中????,1?. 因为F?(?)?f?(?)e??2?2?f(?)e??2,所以f?????2?f(?).

例4(山东科技大学2004年)设f?x?在?0,??上连续, 在?0,??内可导, 且

1f???????0e??xf(x)dx,证明: 至少存在一点???0,??, 使得

f?????f???.

270

1证明:

F(?)?eF????e??令F(x)?e?xf(x),由

f???????0e??xf(x)dx和

f(?)，得:

111??f????e?????0e??xf(x)dx??1??0e?xf(x)dx????0F(x)dx.

由积分中值定理: F???????0?1?F?x?dx??F(?)??0??F(?),其中

??????0,?.在??,??内应用微分中值定理(罗尔)得: F?(?)?0,其中

???????????,??.由F(x)?e?xf(x)得: F?(?)??ef(?)?ef?(?),所以

?1?f?????f???.

例5(西安电子科技大学2003年)设f?x?在?a,b?上二阶连续可导, 证明:存在???a,b?使得?f(x)dx??b?a?f?ab1?a?b?3f??????b?a?. ???2?24证明: 由分部积分公式得

?ba?baf(x)dx??2af(x)dx??ba?b2f(x)dx

a?b??2af(x)d?x?a???ba?b2f(x)d?x?b?a?ba?b???x?a?f(x)?a2??2a?x?a?f?(x)dx???x?b?f(x)?ba?b2???x?b?f?(x)dxa?b2b

?a?b???b?a?f???2??a?b?2f?(x)2ad?x?a??2a?b?ba?b2f?(x)2d?x?b?

22?a?b??2f?(x)?????b?a?f??x?a????2?a?2??a?b?2?x?a?22af??(x)dx

271

?2f?(x)????x?b???a?b2??2b?b?x?b?22a?b2f??(x)dx

?a?b???b?a?f????2?a?b?2?x?a?22af??(x)dx??ba?b2?x?b?22f??(x)dx

?a?b???b?a?f???f??(c1)?a?2?a?b2?x?a?223dx?f??(c2)?a?b2b?x?b?22dx(积分中值定理)

?a?b??b?a?f??2?????b?a?48?f??(c1)?3f??(c2)?(介值性定理)

?a?b??b?a?f??2??b?a?f??(c), ??24?其中c介于c1,c2之间. 即c??a,b?. 3、泰劳公式（微分中值定理的推广）

例1（西安电子科技大学2004年） 设f(x)在?0,1?上有二阶导数，且满足条件f(x)?a，f??(x)?b，a和b为非负常数，证明不等式

f?(x)?2a?b2， x?(0,1).

分析：要熟练运用Taylor展开. 证明：在x?(0,1)处做Taylor展开有

f(1)?f(x)?f?(x)(1?x)?f(0)?f(x)?f?(x)x?f??(?2)2f??(?1)2x

f??(?1)2(1?x)?22(1?x)2，

上面两式相减有 f?(x)?f(1)?f(0)?以f?(x)?2a?b2f??(?2)2x，所

2?(1?x)2?x2??2a?b.

2例2（陕西师范大学2003年，中国地质大学2004年）设函数f在区间

272

?a,b?上有二阶导数且

f??(?)?4(b?a)2f??(a)?f??(b)?0,则必存在一点??(a,b)使得

f(b)?f(a).

分析：关键是做Taylor展开. 证明：应用Taylor公式，将f(a?b2)分别在a、b点展开，注意

a?b2??2?b，使得

f??(a)?f??(b)?0，故存在?1和?2，a??1?1?a?b??b?a?f???f(a)?f??(?1)??222????2,

21?a?b??b?a?f?f??(?2)???f(b)??.

2?2??2?两式相减得: f(b)?f(a)?4(b?a)218?f??(?1)?12f??(?2)?(b?a)?0, 故

f(b)?f(a)?12?f??(?)?f??(?2)??f??(?).

其中 ?????1,f??(?1)?f??(?2)??2,f??(?1)?f??(?2).

例3(北京交通大学2005年)设函数f(x)在区间(0,??)内有二阶函数，

limf(x)?0，并当x?(0,??)时，有f??(x)?1. 证明：limf?(x)?0.

x???x???分析：关键是做Taylor展开.

证明：要证明limf?(x)?0，即要证明对任意的??0，存在A?0，

x???当x?A时有

f?(x)??. 利用Taylor公式，对任意的h?0，有

f(x?h)?f(x)?f?(x)h?122f??(?)h, ???0,h?,

273

即f?(x)?1h1h?f(x?h)?f(x)??12f??(?)h. 从而

f?(x)??1h?f(x?h)?f(x)??12h12f??(?)h?1hf(x?h)?f(x)?12f??(?)hf(x?h)?f(x)?, 取

h??, 因为lx???if(x)m?0, 所以

0?limx???1??1f?(x)?lim?f(x?h)?f(x)?h??0x???2??h2, 其中

f(x?h)?f(x)??. 即limf?(x)?0.

x???例4（上海大学2005年、中国科学院2007年）设函数f(x)在?0，2?上有f(x)?1，f??(x)?1. 证明：f?(x)?2.

分析：关键是做Taylor展开. 证明：在x?(0,2)处做Taylor展开有

f(0)?f(x)?f?(x)x?f??(?1)2x2,

(2?x)，

2f(2)?f(x)?f?(x)(2?x)?f??(?2)2将上面两式相减有

f?(x)?12?f(2)?12f(0)??f??(?2)4(2?x)?2f??(?1)42x，所以

2f?(x)??1?14?f(2)?2f(0)??2x1242f??(?1)?2(2?x)42f??(?2).

?(2?x)?x??1??(1?x)?1??2.例5（江苏大学2004年）已知函数f(x)在区间??1,1?内有二阶导数，且

274

f(0)?f?(0)?0, f??(x)?f(x)?f?(x), 证明：存在??0，使得在

???,??内

f(x)?0.

分析：关键是做Taylor展开.

证明：将f??(x)?f(x)?f?(x)右端的f(x),f?(x)在x?0处按Taylor公式展开. 注意到f(0)?f?(0)?0，有

f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(?)2x?2f??(?)2x, f?(x)?f?(0)?f??(?)x,

2其中?,?是属于0与x之间的某个值.

f??(?)2从而f(x)?f?(x)?2x?f??(?)x.

现令x?????11?x0???,??44??11??11?,?，则由f(x)?f?(x)在??,?上连续知，存在44??44? ，使得

f(x0)?f?(x0)?m?14?x?1x?f(x)?af?(x)??Mx.

下面只要证明M?0即可. 事实上

M?f(x0)?f?(x0)?14f??(?0)2x0?f??(?0)x0?2?1?f??(?0)???f(?)0??4?2???f?????f????00f???0??f??0??

（由f(x)?f?(x)?1412f?????22x?f?????x）

??2M?M，

275

即0?M?2M, 所以M?0. 在??????11?,?上f(x)?0. 44?2例6（辽宁大学2005年）求lim?x?1?xsinx????1????. x??分析：利用Taylor展开式计算函数极限. 解： 将sin1x展开成带Peano余项的二阶Taylor公式

111?1?sin???o?3?，则 3xx6x?x??2??2?1??lim?x?1?xsin???lim?x??1?x??x?x???????x???11?1????x??o?3??3?????? x6xx????????2?1?1????1?1???lim?x?1?1??x?o?lim?o1?. ??3???2???x??x??6x?x????6?6??cosx?ex4?x22例7（山东师范大学2006年）求lim.

x?0分析：利用Taylor展开式计算函数极限. 解 进行带Peano余项的Taylor展开

x2cosx?1?2?x424?ox??, e5?x22?1?x22?x48x2?o(x),

5所以cosx?e?x22??x412?o(x), 进而lim5cosx?ex4?2x?0??112.

例8（浙江大学2005年、华南理工大学2005年）设f(x)在[a,??)上有连续的二阶导数，且已知M0?sup?f(x)x??0,????和M2?sup?f??(x)x??0,???? 均为有限数. 证明：

276

(1)f?(t)?2M0t?t2M2 ，对任意的t?0，x?(0,??)成立；

(2)M1?sup?f?(x)x?(0,??)?也是有限数，且满足不等式M1?2M0M2 .

分析：Taylor展开式.

证明(1)考虑f(x?t) 在

f(t?t)?f(t)?t?(t)t?f?(t)?f(2t)?f(t)t?f??(?)2f??(?)2tt,t?02t处的Taylor，

展开式，

则

，所以

f?(t)?f(2t)?f(t)t2Mt0?f??(?)2t ，有题设条件可得

f?(t)??M22t .

2Mt0 (2)同理由Taylor展开式知，f?(t)?2M0tM2?M22t成立，从而

M1??2t ，取t?2M0M2 即得证.

例9（哈尔滨工业大学2006年）设f(x)在?0,???内二阶可微，

limf(x)?0 ，但limf?(x)不存在.证明：存在x0?0，使f??(x0)?1 .

x???x???分析 Taylor展开式.

证明 反证法，设对任意的x?(0,??) ，均有f??(x)?1 .利用Taylor展开式，对任意的h?0，有f(x?h)?f(x)?f?(x)h?f?(x)?1hf(x?h)?f(x)?h2122f??(?)h，因此有

，取h?? ，由limf(x)?0知，存在

x???A?0，当x?A 时，有f?(x)??24277

，于是f?(x)??，x?A ，即

x???limf?(x)?0 ，矛盾.

例10 （华中科技大学2007年）设 f(x)在（0,1） 上二阶可导且满足f??(x)?1 ，(0?x?1 ，又设f(x) 在?0.1? 内取到极值f(0)?f(1)?1 .

14 .证明：

分析 极值点，Taylor展开式.

证明 因为f(x) 在(0,1)上二阶可导，假设?在极值点，则f(?)?14、

f?(?)?0.对f(x) 关于x?0、x?1 在?点Taylor展开有f(0)?f(?)?f?(?)(??)?f??(?1)2(??)，?2?(?,1).

2又有

f(1)?f(?)?f?(?)(1??)?f??(?)2(1??)2，

?2?(?,1).

所

f(0)?f(1)?f(?)?0?f??(?1)212以有

?f(?)?0?f??(?2)2(1??)

2?2 ?2f(?)? ?2?f??(?1)?22?f??(?2)(1??)

?122?1??2?(1??)2??12?12?1.

这里另g(x)?x(1?x)，x?(0,1)，则最大值g(1)?1. 练习

[1]（华中科技大学2005年）设f(x)在?0,1?上有二阶连续导数，

f(0)?f(1)?0，f??(x)?85，f?(x)?85，给出f(x)(0?x?1)的一个

估计.

278

[2]（华中科技大学2004年）设f(0)?f(1)?0,f??(x)?2,(0?x?1)，证明：f?(x)?1.

[3]（北京航空航天大学2005年）证明：对任意的n，有

e?1n?11(?1)???2?3!?????n!??1. ???(n?1)!?[4]（华南理工大学2004年）设f(x)在??1,1?上三次可微，

f(?1)?f(0)?f?(0)?0,f(1)?1.证明：存在x?(?1,1)，使得f(3)(x)?3.

[5]（大连理工大学2006年） 将f(x)?数.

1(1?x)2 在x?0展开成Taylor级

[6]（同济大学1999年）求limx?x2ln(1??x?0??11?)?(答案：).

2x?[7]（大连理工大学2004年）设f(x)在?0,1?上二阶可导，且有

f(0)?f(1)?0,minf(x)?x??0,1??12，证明：存在??(0,1)，使得f??(?)?4.

[8] （东南大学2004年）（1）设f(x)在?0.2?上二阶可导，f?(0)?f?(2)?0.

2证明：存在??(0,2)使得3?0f(x)dx?3?f(0)?f(2)??4f??(?).

（2）若在（1）中只假定f(x)在?0,2?上存在二阶导数而不要求二阶导数连续，那么（1）的结论是否成立？

e?x22[9]（东南大学2003年） 求lim?cosxx4x?0(答案：?18).

279

[10]（同济大学1999年）求limsin22x?xcosx2x?0xln(1?x)arcsinx(答案：

16).

§8.2 函数的极值和最值 函数的凸性与拐点

一、知识结构 1、函数的极值和最值

函数y?f(x)的极值是一个局部概念，而函数y?f(x)的最值是一个整体概念. 如函数y?f(x)在区间?a,b?上有定义, 如果x0??a,b?的某个邻域U(x0,?)内有f(x)?f(x0)(f(x)?f(x0)), 则我们称函数y?f(x)在点x0取得极大值(极小值). 函数y?f(x)在区间?a,b?上的最大值f(x0)满足f(x0)?f(x), 其中x??a,b?.函数y?f(x)在区间?a,b?上的最小值

f(x0)满足f(x0)?f(x), 其中x??a,b?.

(1) 一元函数y?f(x)的极值和最值

定理1（必要条件） 设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那未这函数在x0处的导数为零，即f?(x0)?0.

定理2（第一种充分条件） 设函数f(x)在点x0的一个邻域内可导且

f?(x0)?0.

（1）如果当x取x0左侧邻近的值时，f?(x)恒为正；当x取x0右侧邻近的值时，f?(x)恒为负，那未函数f(x)在x0处取极大值；

（2）如果当x取x0左侧邻近的值时，f?(x)恒为负；当x取x0右侧邻近的值时，f?(x)恒为正，那未函数f(x)在x0处取极小值；

280

（3）如果当x取x0左右两侧邻近的值时，f?(x)恒为正或恒为负；那未函数f(x)在x0处没有极值.

定理3 （第二种充分条件）设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且

f?(x0)?0f??(x0)?0，那么

（1）当f??(x0)?0时，函数f(x)在点x0处取极大值； （2）当f??(x0)?0时，函数f(x)在点x0处取极小值. 一元函数y?f(x)在闭区间?a,b?上的最值：

（1）一元函数y?f(x)在?a,b?内的极大值与f(a),f(b)中最大的为一元函数y?f(x)在闭区间?a,b?上的最大值;

（2）一元函数y?f(x)在?a,b?内的极小值与f(a),f(b)中最小的为一元函数y?f(x)在闭区间?a,b?上的最小值.

(2) 二元函数z?f?x,y?的极值和最值

定理1(必要条件) 设函数f(x,y)在点?x0,y0?处可导，且在?x0,y0?处取得极值，那未这函数在?x0,y0?处的偏导数为零，即fx(x0,y0)?0，

fy(x0,y0)?0.

定理2 (充分条件)设函数f(x,y)在点?x0,y0?某邻域内连续且有一阶、二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)?0，fy(x0,y0)?0，令

fxx(x0,y0)?A，fxy(x0,y0)?B，fyy(x0,y0)?C，

则函数f(x,y)在点?x0,y0?是否取得极值的条件如下：

281

（1）AC?B2?0时具有极值， 且当A?0时有极大值，当A?0时有极小值；

（2）AC?B2?0时没有极值；

（3）AC?B2?0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论. 利用拉格朗日函数求极值和最值(条件极值)

求函数z?f(x,y)的极值，其中?x,y?满足条件F(x,y)?0. 构造拉格朗日函数L(x,y,?)?f(x,y)??F(x,y), 解方程

?Lx(x,y,?)?0?x?x0???Ly(x,y,?)?0得?y?y0，则?x0,y0?为函数z?f(x,y)的极值点?L(x,y,?)?0????0???(根据实际问题确定)，进而求得函数z?f(x,y)的极值z?f(x0,y0).

2、函数的凸性与拐点

定义1 若曲线y?f(x)在某区间内位于其切线的上方, 则称该曲线在此区间内是凸的, 此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线的下方, 则称该曲线在此区间内是凹的, 此区间称为凹区间.

定义2 设函数y?f(x)在区间I上连续，如果对区间I上任意两点

f(x1)?f(x2)?x?x2?，那么称y?f(x)在区间I的图x1,x2，恒有f?1??22??形是（向上）凹（或凹弧）；如果恒有f?f(x1)?f(x2)?x1?x2?，那么??22??称y?f(x)在区间I的图形是（向上）凸（或凸弧）.

定理1 设函数y?f(x)在区间?a,b?上连续，在?a,b?内具有一阶和二

282

阶导数，那么

(1) 若在?a,b?内f??(x)?0，则y?f(x)在区间?a,b?的图形是凹的； (2) 若在?a,b?内f??(x)?0，则y?f(x)在区间?a,b?的图形是凸的. 3、函数y?f(x)图像的描绘

主要用函数y?f(x)的一阶导数y??f?(x)和二阶导数y???f??(x)的性质和曲线y?f(x)的渐进线描绘函数y?f(x)图像.

如果f??(x)?0, x??a,b?, 则函数y?f(x)图像在区间?a,b?内向下凸. 如果f??(x)?0, x??a,b?, 则函数y?f(x)图像在区间?a,b?内向上凸. 如果f??(x0)?0, 且f??(x)在?a,x0?,?x0,b?上异号, 则x0为函数

y?f(x)图像的拐点.

如果f?(x)?0, x??a,b?, 则函数y?f(x)在区间?a,b?内单调递增. 如果f?(x)?0, x??a,b?, 则函数y?f(x)在区间?a,b?内单调递减.

二、解证题方法 1、函数的极值和最值

例1（南京大学2003年）对任意y0?0, 求?(x)?y0x(1?x)在?0,1?y0?1

中的最大值, 并证明该最大值对任意y0?0, 均小于e.

解 由于??(x)?y0x2y0?1(1?x)?y0x2y0?1y0 ，令

y0??(x)?y0x得函数?(x)的稳定点x?(1?x)?y0x?0

y0y0?1, 所以函数?(x)的最大值为

283

?1???()??1???y0?1y?10??y0y0?1.

因为ln?1?x???x, 0?x?1, 所以

?y01???()??1??y0?1y0?1???y0?1?e?y0?1????????y0?1??1?e?1 .

例2（复旦大学2000年, 北京理工大学2003年）在下列数

1,2,33,44,?,nn,?中，求出最大的一个数.

解 构造辅助函数f(x)?xxx, x?1, 则

?1lnx??1lnx?11?f?(x)??ex??ex??2lnx?2????x??x??x?xxlnx2x, 令f?(x)?0得

函数f(x)?xx, x?1的稳定点x?e. 当1?x?e, f(x)?0,当x?e,

ef(x)?0, 所以函数f(x)在点x?e取得最大值1,2,33,4e. 从而下列数

4,?,nn,?中最大的一个数只可能是2,33中的一个, 又因

2?33, 所以下列数1,2,33,44,?,nn,?中最大的一个数是33.

例

233（北京化工大学

242200422004年）在下列数

1,2,3,4,?,2004,?中，求出最大的一个数.

解

1构

?lnx造辅助函数

f(x)?xx2, x?1, 则

?f?(x)??ex??2xx22lnx??22?2?x?2?xlnxx??e??2lnx?2??2?xxx???, 令

f?(x)?0得函数f(x)?xx2, x?1的稳定点x?e. 当1?x?e,

e2f(x)?0,当x?e, f(x)?0, 所以函数f(x)在点x?e取得最大值e.

284

从而下列数1,22,332,442,?,200420042,?中最大的一个数只可能是2,323232中的一个,

2422004又因2?2332,

3所以下列数

21,2,3,4,?,22004,?中最大的一个数是3.

例4（中山大学2006年）设S为由两条抛物线y?x2?1与y??x2?1xa22所围成的闭区域,椭圆面积最大.

?yb22?1在S内, 确定a,b(a、b?0), 使椭圆的

解 两条抛物线y?x2?1与y??x2?1的交点为??1,0?，?1,0?，

?0,?1?，?0,1?.

S为x?1?y??x?1，因为椭圆

22xa22?yb22?1在S内, 所以

?x?acost，0?t?2?，由椭圆0?a,b?1. 椭圆的参数方程为?y?bsint?xa22?yb22?1和区域S的对称性知，椭圆

22xa22?yb22?1的面积最大时， 必须

有bsint?1?acost22 ，?20?t??2有惟一解. 即

bsint?1?acost?0,0?t?有惟一解.

令

f(t)?bsint?1?acost??asint?bsint?a?1?0,0?t?22222?2.

则f(0)?a?1?0, f?2???222??b?1?0 ，??b?4a(a?1)?0，?2? 285

sint??b2?a?2??b2a2?1. 于是b?2a1?a2，

22?a?1. 椭圆

xa22?yb22?1的面积

f(a)??ab??a2a1?a?2?a221?a2,

22?a?1. 即

f?(a)?4?a1?a?22?a32?0, 得a?63, b?223, 故最大面积

1?a为

43?9.

例5（湖南师范大学2005年）设a,b,p,q都是正数，（1）求

f(x)?xpp?1?x?q在区间?0,1?上最大值；（2）证明：

qp?q?a??b??a?b????????p??q??p?q????????.

p解

p?1(1)因

?qxp为f(x)?x?1?x?q,

, 所以令

f?(x)?px?1?x?q?1?x?q?1?x?q?1?1?x?q?1f?(x)?pxp?1?qxp?0得稳定点x?pp?q. 又

?p??f(0)?f(1)?0, f?????p?q?pqpqp, 进而函数f(x)?x?1?x?q?p?q?p?qpqp?p??在区间?0,1?上最大值为f????p?q??q?p?q?p?q.

(2)因为

286

?p??a??a???a???a??b?f??1???f???????????????a?b??a?b???a?b???a?b??a?b??p?q?pqpqpqpqp?q?p?q?,?a??b??a?b?所以???????p??q??p?q????????pqp?q.

例6（南京农业大学2004年）试问方程x3?3px?q?0在实数域内有几个实根.

解 由于lim?x?3px?q????, lim?x?3px?q????, 所以方

33x???x???程x3?3px?q?0在实数域内至少有一个实根. 令f(x)?x3?3px?q, 则f?(x)?3x2?3p?3?x2?p?.

(1)当p?0时, 有f?(x)?0, 进而f(x)单调递增, 方程

x?3px?q?0在实数域内只有一个实根.

3(2) 当p?0时, 得f(x)?x3?3px?q的稳定点x?上述稳定点将???,???分成三个区间??,?p, x??p. p, p?p, ???p,p,??p,??. 当x???,???p时, f(x)严格单调递增, 当x?????时, f(x)严格单调递减, 当x?在x??小值?2p方

程

?p,??时, f(x)严格单调递增. 进而,

p?q.在x?p时, f(x)取得极

?p时, f(x)取得极大值2pp?q. 所以, 当2px?3px?q?03?p?q?2p??p?q?q?4p?0时,

?23只

23有一个

3实根, 当

?2pp?q?2p??p?q?q?4p?0时, 方程x?3px?q?0有两

?个实根, 当

?2pp?q?2p??p?q?q?4p?0时, 方程

?23 287

x?3px?q?0有三个实根.

3综上所述, 当p?0时, 方程x3?3px?q?0在实数域内有一个实根, 当p?0, 且q2?4p3?0时, 方程x3?3px?q?0只有一个实根, 当

p?0, 且q?4p?0时, 方程x?3px?q?0有两个实根, 当p?0,

233且q2?4p3?0时, 方程x3?3px?q?0有三个实根.

例7（上海交通大学2005年）求函数f(x,y,z)?x4?y4?z4在条件

xyz?1下的极值.

分析 用Lagrange乘数法求函数f(x,y,z)?x4?y4?z4在条件

xyz?1下的极值.

解 构造Lagrange函数L(x,y,z,?)?x4?y4?z4???xyz?1?, 由

?Lx(x,y,z,?)?4x3??yz?0?3?Ly(x,y,z,?)?4y??zx?0 ?3?Lz(x,y,z,?)?4z??xy?0?L(x,y,z,?)?xyz?1?0??得x?y?z?1, 所以极值为f(1,1,1)?3.

2222例8(中国科技大学2000年)设x?xy?y?3, 求x?y的最大值.

分析 用Lagrange乘数法求函数f(x,y)?x?y在条件

x?xy?y?3下的极值

2222解 构造Lagrange函数L(x,y,?)?x?y???x?xy?y?3?, 由

2222 288

?Lx(x,y,?)?1?2x?1?y2?0?2?Ly(x,y,?)?1?2y?1?x?0 ?L(x,y,?)?x2?x2y2?y2?3?0??????得x?y??1,???14 , 所以f(x,y)?x?y的最大值为2.

例9(浙江师范大学2006年) 要制造一个容积为a立方米的无盖长方体水箱, 问这个长方体水箱的长、宽、高各是多少米时，用料最省.

解 设该无盖长方体水箱的长、宽、高各为x,y,z, 则a?xyz. 该无盖长方体水箱的用料为f(x,y,z)?xy?2?yz?zx?.

构造Lagrange函数L(x,y,z,?)?xy?2?yz?zx????xyz?a?, 由

?Lx(x,y,z,?)?y?2z??yz?0??Ly(x,y,z,?)?x?2z??zx?0 ??Lz(x,y,z,?)?2?y?x???xy?0?L?(x,y,z,?)?xyz?a?0?得x?y?为x?y?332a, z?1232a, 所以该无盖长方体水箱的长、宽、高各

2a, z?1232a时, 用料最省.

例10（东北大学2003年）已知a,b,c为正, 求f(x,y,z)?ax?by?cz在x?y?z?1的最大值和最小值.

解 令L(x,y,z,?)?ax?by?cz??(x?y?z?1)，对L求一阶偏导，并令它们都等于0.

?????Lx(x,y,z,?)?a?2?x?0Ly(x,y,z,?)?a?2?y?0Lz(x,y,z,?)?a?2?z?0222222222，求得该方程组的解为

?L?(x,y,z,?)?x?y?z?1?0 289

1?222???a?b?c?2?a?x??222?a?b?c， ?b?y??222a?b?c??cz???222a?b?c?由于所求问题的最值只能在这些稳定点取得，故f(x,y,z)的最小值为

?f????aa?b?c222222,?ba?b?c222,???222?a?b?c?；

c??a?b?c最大值为

?f???aa?b?c222,ba?b?c222,???222?a?b?c?ca?b?c.

222练习

[1] (北京工业大学2003年)设0?x?判断函数f(x)?e?2x12, 证明: 1?x?e?2x(提示:利用导数

?1?x的单调性,并利用f(0)?0).

1x1[2] (北京工业大学2005年)求supx(提示:利用导数判断函数f(x)?xx0?x???1x1的单调性, 并由此计算最大值、最小值. supx表示f(x)?xx上确界,即

0?x???1f(x)?xx最小的上界)

[3] (南京大学2002年) 设f(x)?x?ln(a?x), x????,a?.

(1) 求f(x)在???,a?上的最大值;

290

(2) 设x1?lna, x2?ln(a?x1), xn?1?f(xn)（n?2,3?），求

limxn.

n??解: (1) 由f?(x)?a?1?xa?x?0得函数的驻点(稳定点)x?a?1. 由

x????,a?1?时, 由f?(x)?0, x?(a?1,a)时, 有f?(x)?0. 故

f(x)?x?ln(a?x)在???,a?上的最大值为f(a?1)?a?1.

(2) 令xn?1?f(xn)?xn?ln(a?xn), 不妨设limxn?A, 对

n??xn?1?xn?ln(a?xn)两边取极限得A?A?ln(a?A), 进而A?a?1, 即

limxn?a?1.

n??[4] (山东科技大学2006年) 证明不等式1?2lnx?x2(提示: 构造非负的辅助函数f(x)?x2?1?2lnx, x?0. 再运用导数判断其最小值非负). [5](大连理工大学2006年)设f(x,y)?ax2?2bxy?cy2, 求f(x,y)在

222x?y?1上的最大值与最小值(b?ac?0, a、b、c?0)(选作.提示:

用

L(Lagrange

x?,?y,?2乘

)?a数

2法求

2极.). xn值

y(c.

y即

1令

)xy?x?2?b?12[6](重庆大学2004年)求f(x,y)??xn?y? (n为正整数) 在条件

x?y?a, x?0,y?0、常数a?0下的极值(提示: 用Lagrange乘数法求

极值. 即令L(x,y,?)?1?x2n?yn???(x?y?a). 答案: 极值为2x?y2nn1na).

n[7] (山东大学2005年)设x?0,y?0. 证明:

?x?y???? ?2?n 291

分

n析: 要

n证

x?y2nn?x?y?????2?nn, 只

n要证

?x??y??x??x?n?1n?11?n, 即, ?2??2?1?1??2????????x?y??x?y??x?y??x?y???x??x?1?n进而为??1??0. ????2x?y??x?y??nn所以, 构造函数f(t)?tn??1?t??21?n, t??0,1?, 并求得f(t)在稳定点

nt?12处的值等于零,且令t?xx?y可证所要结论.

[8](天津工业大学2006年)设f(x)在(??,1]内二阶可导, f?(1)?0,

f(1)?0, f?(x)严格单调递减, 证明: f(x)在(??,1]内至少有一个根.

解: 由拉格朗日(Lagrange)中值定理和f?(x)严格单调递减知, 当x?1时

,

有

f(x)?f(1)?f?(?)(x?1)?f?(1)(x?1), 即

f(x)?f(1)?f?(1)(x?1).

所以limx????f(1)?f?(1)(x?1)????, 进而limf(x)???. 又因为

x???f(1)?0, 且f(x)在(??,1]内连续, 所以f(x)在(??,1]内至少有一个根.

[9](中北大学2005年)证明: 当0?x?解: 令f(x)?sinx?2?2时, 有

2??2sinxx?1.

2?x, 则f?(x)?cosx?2?. 当0?x?arccos2?时, f?(x)?0, 即f(x)?sinx?f?(x)?0,即f(x)?sinx?2?x严格单调递增, 当x?arccos?2时,

x在

?x严格单调递减. 故f(x)?sinx?? 292

??????上的最小值为f(0)?f???0, 所以, 当x?0,?2????2????时,

?0,2???f(x)?0, 即

sinxx?2?.

?2令g(x)?x?sinx, 则g?(x)?1?cosx?0, 0?x?, 进而

g(x)?x?sinx严格单调递增, 所以g(x)?x?sinx?g(0)?0, 进而当0?x??2时,

sinxx?1.

综上所述, 当0?x??2时, 有

2??sinxx?1.

2、函数的凸性与拐点

例1 (中山大学2007年)求平面曲线??x?a?cost?tsint??y?a?sint?tcost?(a?0)上对应

于t?t0点的法线方程， 并讨论曲线在?0,??一段的凹凸.

解 由于x?(t)?atcost，y?(t)?atsint，所以对应于t?t0点的法线方程为

at0cost0??x?a?cost0?t0sint0???at0sint0??y?a?sint0?t0cost0???0.

dy由于y??dyatsint?dt??tantdxdxatcostdt,

dy?y???dy?1, 所以 ?dt??3dxdxatcostatcostdtsect2?x?a?cost?tsint??????当t??0,?时, 有y?0, 进而平面曲线?(a?0)

?2??y?a?sint?tcost? 293

是向下凸的, 当t?????,??时, 有y???0, 进而平面曲线?2?t??x?a?cots?tsin(a?0)是向下凹的. ???y?asint?tcots?例2 (华东师范大学2004年)证明不等式: 2x?1?x2, x??0,1?. 证明 构造辅助函数f(x)?2x?1?x2即可，具体过程略.

例3(汕头大学2004年)设y?f(u)是凸的单调递增函数, u?g(x)是凸函数, 试确定复合函数y?f(g(x))的凹凸性, 并证明你的结论.

证明 y?f(g(x))是凸函数. 证明如下: 因为u?g(x)是凸函数, 所以对????0,1?, 有g??x1?(1??)x2???g(x1)?(1??)g?x2?. 又

y?f(u)是单调递增函数, 所以

f?g??x1?(1??)x2???f??g(x1)?(1??)g?x2??. 又y?f(u)是凸的,

则

f??g(x1)?(1??)g?x2????f?g(x1)??(1??)f(g?x2?), 进而

y?f(g(x))是凸函数.

例4 (数学(一)2011年)曲线y??x?1??x?2??x?3??x?4?的拐点是

234( )

A. ?1,0?; B. ?2,0?; C. ?3,0?; D. ?4,0?. 解 选C. 对于A,B,y???0,进而曲线y??x?1??x?2??x?3??x?4?2324的拐点可能是C,D. 而y??含有?x?4?因式，所以y??在x?4两侧不异号，而y??含有因式x?3，所以y??在x?3两侧异号.

294

例5（西安电子科技大学2007年）设f?(x0)?f??(x0)?0,f???(x0)?0，且f(x)在x0点的某邻域内有三阶联系导数，则下列选项正确的是（ D） A.f?(x0)是f?(x)的极大值； B. f(x0)是f(x)的极大值； C. f(x0)是f(x)的极小值； D.?x0,f点.

解 因为f???(x0)?0，所以f?(x)在x0点的某邻域U?x0,??内是向下凸的函数，进而f?(x)在x0点左邻域内U??x0,??是单调减函数，f?(x)在x0点右邻域内U??x0,??是单调增函数，所以，f?(x)?f?(x0)?0，

x?U??x0,??.进而y?f(x)在x?U??x0,?? ，并且f?(x)?f?(x0)?0，

?x0??是曲线y?f(x)的拐

x0点邻域内U?x0,??是单调增函数，所以?x0,f?x0??是曲线y?f(x)的

拐点.

131?x?t?t??33，例6（数学（三）2011年） 设函数y?y(x)由参数方程?11?y?t3?t?33?求y?y(x)的极值和函数凹凸区间.

dydxdydtdxdtt?1t?122解 因为???0,所以函数y?y(x)的驻点为

?51??,??,??1,1?. ?33?又因为

?2??t?1?dy??d??dt?t2?1??222dyd?dy?2tt?1?2tt?14t?dx????????,??332222dxdx?dx?dxdtt?1t?1t?1???????? 295

dy1??11??所以, 函数y?y(x)拐点为?,?.当???,?时, 函数2?0,函数

dx3??33??dy?1?是下凹的,当?,???时, 函数?0,函数是上凸的. 函数y?y(x)的2dx?3?22极大值是1,极小值是?13.

3、函数y?f(x)图像的性质和描绘(略)

例1(武汉大学2006年)求函数y?x?2arctanx的极值、拐点和渐进线，并描绘出其图像.

解: y?x?2arctanx的定义域为???21?x2??2?k?,???k??, k?Z. 2?由y??1?x ?0得x1?1,x2??1. 由y???2x(1?x)1 22?0得x3?0.

????k?,????2?????k????2?k?1,2,?????k?,????2?????k????2?k??1,?2,? ?????,1??2? ?1 ??1,0? 0 ?0,1? ????1,??2? y? y?? y ? ? 0 ? ?1 ?0 ? ? ???1? 1 ????极大值 ?拐点 ?极小值 ?? 极大值yx??1??2?1, 极小值yx??1?1??2, 拐点(0,0).

296

由limf(x)??知x?x??2?k?，k?Z为y?x?2arctanx的垂直渐

?2?k?近线.

因为a?limf(x)x?1, b?limx??x????f(x)?x??x???limarctanx???2或

b?lim?f(x)?x??limarctanx?x??x???2, 所以y?x??2, y?x??2为斜渐

近线.

根据以上结果可画出函数的图形，图形略. 例2(重庆大学2005年) 求函数f(x)?x221?x的极值与拐点, 并求过拐

点的切线方程, 描绘出函数f(x)?解 略. 练习

x221?x的图像.

1[1]运用导数的知识作出函数y??x?6?ex的图形. [2] 运用导数的知识作出函数y?2x22?1?x?的图形.

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