江西财经大学08年大一期末考试微积分试题带答案

专用于数学复习

江西财经大学

一、填空题(每小题3分，共15分.）

1

1. limxsin ________.

x 0x

(n 1)x

2. 设f(x) lim2，则f(x)的间断点是________.

n nx 1

1df 1(x)

3. 已知f(1) 2，f'(1) ,则

4dx

x 2

_______.

4. (xx) _______.

5. 函数f(x) 4x3 x4的极大值点为________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分.）

1. 设f(x)的定义域为(1,2), 则f(lgx)的定义域为________. A.(0,lg2) B. [0,lg2] C. (10,100) D.(1,2).

2. 设对任意的x，总有 (x) f(x) g(x)，使lim[g(x) (x)] 0，则

x

a

limf(x)______.

x

A.存在且一定等于零 B. 存在但不一定等于零

C.不一定存在 D. 一定存在. 3. 极限limx 0

ex 2x

________.

A. e2 B. e 2 C. e D.不存在.

f(3x) f( 2x)

________.

x 0tanx

A.0 B. 1 C. 2 D. 5.

2x

5. 曲线y 渐近线的条数为________.

1 x2

A．0 B．1 C．2 D．3.

4. 设f(0) 0，f (0) 1，则lim

ex sinx 1

三、（8分.） 求lim.

x 0sinx2

1

四、（8分.） 求lim (cosx)x.

x 0

五、（8分.）

专用于数学复习

x(secx)x 2x 0

确定常数a,b, 使函数f(x) 处处可导.

x 0 ax b六、（8分.）

1

设f(x) xarctanx ln(1 x2),求dy.

2

七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

已知x2 2xy y3 6确定y是x的函数,求y . 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

2

353

列表求曲线y x3 x3 1的凹向区间及拐点.

52

九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，10分.）

某工厂生产一种产品的总成本函数为C(Q) 1200 2Q，需求函数为P 其中Q为产量，P为价格，求（1）生产该产品的最优产量和最大利润. (2)该产品在销售价格P 2时需求对价格的弹性，并指出其经济意义.

十、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）

1. 设f(x)在[a,b]上连续，且f(a) a,f(b) b,证明在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使f( ) .

2. 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导, 且f(1) 0,求证:至少存在一点

100Q

，

(0,1),使得3 f'( ) f( ) 0.

江西财经大学08－09第一学期 期末考试参考答案与评分标准

一、填空题（3×5=15）

1、0 2、 x 0 3 、 4 4、xx xa 1 alnx 1 5、x 3

二、单项选择题（3×5=15）

a

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D

ex sinx 1ex sinx 1

lim lim 2分22x 0x 0sinxx

ex cosx

6分三、（8×1=8） lim

x 02x

ex sinx1 lim 8分x 022

专用于数学复习

四、（8×1=8）

1

x 0

xlim(cosx) e

1

sinx cosx

1

2

x 0

lim

lncosxx

2分

e

x 0

lim12

6分

e 8分五、（8×1=8）

因为f x 在 , 处处可导，所以f x 在x 0处连续可导。……1分 因为

limx(secx)x 2 0 2分

x 0

ax b b 3分 lim

x 0

f x b 4分

所以 b 0 5分 又因为

ax b 0

f 0 lim a

x 0 x

x 2

x(secx) 0

f 0 lim 1

x 0 x

所以 a 1 ………8分

六、（8×1=8）

112x

5分1 x221 x2

arcsinx 6分f x arctanx x dy arcsinxdx 8分

七、（8×1=8）

2x 2y 2xy 3y2y 0 4分y

2x 2y

7分

2x 3y2

2x 2y(2 2y )(2x 3y2) (2x 2y)(2 6yy )y () 8分222

2x 3y(2x 3y)

八、（8×1=8）

（1）定义域为 , ；

（2）

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y x x 1分

2 11 42x 133

y x x 3分4

33

3x3

23

13

令y 0得x1 （3）列表：

1

，又x2 0为y 不存在的点 4分 2

8分

九、经济应用题（10×1=10）

1 、

L Q R Q C Q

2Q 1200

十、

L Q

2 2分Q 625 4分

L Q 0,L 625 0

Q 625

时利润最大，最大利润为L 625 1250………8分

2 、Q

10000p2

20000

EQp3

p 2

EP

p2EQEP

2 10分

p 2

十、证明题(6×2=12)

1. 设F(x) f(x) x ，则有F(x)在[a,b]上连续，………2分

F(a) f(a) a 0,F(b) f(b) b 0, 4分

根据零值定理可得在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使F( ) 0，

专用于数学复习

即f( ) ………6分

1 2

2.设

F(x) (x),

则F (x) x3f(x) (x)。………2分

3

显然F(x)在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，且F(0) F(1) 0。………4分

由罗尔定理知：至少存在一点 (0,1)使

1 2

F ( ) 3f( ) ( ) 0

3

即f( ) 3 f ( ) 0

………6分

一、选择题(每题2分)

1、设 x 定义域为（1,2），则 lgx 的定义域为（） A、（0,lg2）

B、（0，lg2 C、（10,100） D、（1,2）

x2 x2、x=-1是函数 x =的（） 2

xx 1A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、不是间断点 3

、试求A、 4、若

x 01

B、0 C、1 D、 4

yx

1，求y 等于（） xy

A、

2x yy 2x2y xx 2y

B、 C、 D、

2x y2y x2y x2x y

2x

的渐近线条数为（） 2

1 x

A、0 B、1 C、2 D、3 6、下列函数中，那个不是映射（）

5、曲线y

A、y2 x (x R ,y R ) B、y2 x2 1 C、y x2 D、y lnx (x 0) 二、填空题（每题2分）

专用于数学复习

1

、__________

(n )1x

，则() fx的间断点为__________

x nx2 1

fx)m il2、、设 （

x2 bx a

5，则此函数的最大值为__________ 3、已知常数 a、b,lim

x 11 x

4、已知直线 y 6x k是 y 3x2的切线，则 k __________ 5、求曲线 xlny y 2x 1，在点（，11）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）

x2

是有界函数 ( ) 1、函数y

1 x2

2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、若lim

，就说 是比 低阶的无穷小 ( )

4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、求函数 y x

sin1x

的导数

1

2、已知f(x) xarctanx ln(1 x2），求dy

2

3、已知x2 2xy y3 6，确定y是x的函数，求y 4、求lim

tanx sinx

x 0xsin2x

5

、计算 1

(cosx)x 6、计算lim

x 0

五、应用题

1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R（x) 100x x2，总成本函数为

C(x) 200 50x x2，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润

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最大的情况下，总税额最大？（8分）

1

2、描绘函数y x2 的图形（12分）

x

六、证明题（每题6分）

1f() A 1、用极限的定义证明：设limf(x) A,则lim

x x 0 x

2、证明方程xex 1在区间（0,1）内有且仅有一个实数

一、 选择题

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题

1、x 0 2、a 6,b 7 3、18 4、3 5、x y 2 0 三、判断题

1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题

1、

sin

1x

y （x （e

sin

) )

1

lnxx

e

sin

1

lnxx

x

2、

sin

1x

1111

cos( )lnx sin xx2xx 1111( 2coslnx sin)

xxxx

dy f (x)dx (arctanx x arctanxdx

3、解：

112x

)dx 22

1 x21 x

2x 2y 2xy 3y2y 0

y 2x 3y

2x 3y2 y

4、解：

(2 3y )(2x 3y2) (2x 2y)(2 6yy )

(2x 3y2)

2

专用于数学复习

x2

当x 0时，x tanx sinx,1 cosx

2

12xxtanx(1 cosx)1

原式=lim lim3 2x 0x 0xsinxx2

5、解：

令x t6dx 6t5

原式

（1 t

2

)t3

t2

6

1 t2

t2 1 16

1 t2

1

6 (1 )

1 t2

6t 6arctant C

6arctan C

6、解：

1

原式 limex

x 0

lncosx

e

x 0

lim

1xlncosx

其中：

1

lncosx2

x 0x

lncosx

limx 0 x2

1

( sinx)

limx 0 2x

tanx1

lim x 0 2x2lim

原式 e

五、应用题

1、解：设每件商品征收的货物税为a，利润为L(x)

1

2

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L(x) R(x) C(x) ax

100x x2 (200 50x x2) ax 2x2 (50 a)x 200

L (x) 4x 50 a

50 a

令L (x) 0,得x ,此时L(x)取得最大值

4a(50 a)

税收T=ax

4

1

T (50 2a)

4

1

令T 0得a 25T 0

2

当a 25时，T取得最大值

2、解：

D ，0

0, 间断点为x 0y 2x

1

x2

令y 0则x y 2

2x3

令y 0则x 1

渐进线：

limy y无水平渐近线

x x 0

limy 0 x 0是y的铅直渐近线yx3 1lim y无斜渐近线x xx2

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图象

六、证明题 1、证明：

limf(x) A

x

0, M 0

当x M时，有f(x) A

111

0，则当0 x 时，有 MMMx1

f() A

x

1

即limf() A

x x取 =

2、证明：

令f(x) xex 1

f(x)在（0,1）上连续

f(0) 1 0,f(1) e 1 0

由零点定理：至少存在一个 （0,1），使得f( ) 0,即 e 1又 f (x) (x 1)ex 0,x (0,1)则f(x)在 0,1 上单调递增

方程xex 1在（0,1）内有且仅有一个实根

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