【一本 高考】2016届高三(新课标版)数学(理)二轮专题复习(讲解+

(2015·陕西，15，易)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P

的坐标为________．

【解析】 设P(x 0，y 0)(x 0>0)，

由y ＝e x ，得y ′＝e x ，

∴y ′|x ＝0＝1.

由y ＝1x ，得y ′＝－1x 2，

∴－1x 20

＝－1， ∴x 0＝1或x 0＝－1(舍去)，

∴y 0＝11＝1，

∴点P 的坐标为(1，1)．

【答案】 (1，1)

1．(2011·江西，4，易)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－1，0)∪(2，＋∞)

C ．(2，＋∞)

D ．(－1，0)

【答案】 C f (x )的定义域为(0，＋∞)，

又由f ′(x )＝2x －2－4x

＝2（x －2）（x ＋1）x

>0， 解得－12，

所以f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．

2．(2011·大纲全国，8，中)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )

A.13

B.12

C.23 D ．1

【答案】 A ∵y ′＝－2e －2x ，∴曲线在点(0，2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，

其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点A ? ??

??23，23，所以三角形面积S ＝1231323＝13，故选A. 3．(2012·广东，12，易)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为________．

【解析】 ∵y ′＝3x 2－1，∴y 在点(1，3)处的切线斜率k ＝2，由点斜式方程，得切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.

【答案】 2x －y ＋1＝0

4．(2014·广东，10，易)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．

【解析】 ∵y ′＝－5e －5x ，∴k ＝y ′|x ＝0＝－5，故所求切线方程为y －3＝－5x ，即5x ＋y －3＝0.

【答案】 5x ＋y －3＝0

5．(2014·江苏，11，中)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，

且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．

【解析】 因为曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，所以4a ＋b 2＝－5.①

又y ′＝2ax －b x 2，且曲线在点P (2，－5)处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，所以4a －b 4＝－72.②

由①②解得???a ＝－1，b ＝－2.

所以a ＋b ＝－3. 【答案】 －3

6．(2013·北京，18，13分，中)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1，0)处的切线．

(1)求L 的方程；

(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．

解：(1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.

所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.

(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )＞0(?x ＞0，x ≠1)．

g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2

. 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，

所以g ′(x )＜0，故g (x )单调递减；

当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，

所以g ′(x )＞0，故g (x )单调递增．

所以，g (x )＞g (1)＝0(?x ＞0，x ≠1)．

所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．

考向1 导数的运算

1．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数 f (x )＝C (C 为常数)

f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *)

f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x

f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x

f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x

f ′(x )＝a x ln a (a >0) f (x )＝e x

f ′(x )＝e x f (x )＝lo

g a x

f ′(x )＝1x ln a (a >0，且a ≠1) f (x )＝ln x

f ′(x )＝1x

2.运算法则

(1)导数的运算法则

①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；

②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

③????

??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)． (2)复合函数的求导法则

y ＝f (u (x ))的导数为y ′x ＝y ′u 2u ′x .

(1)分析清楚复合函数的复合关系，确定出内函数与外函数，适当选定中间变量，由外向内逐层求导，做到不重不漏．

(2)特别要注意的是中间变量的系数，避免出现(cos 2x )′＝－sin 2x 的错误．

(1)(2014·大纲全国，7)曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )

A ．2e

B ．e

C ．2

D ．1

(2)(2015·浙江温州高三月考，5)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )

A ．－e

B ．－1

C ．1

D ．e

(3)(2013·江西，13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________．

【解析】 (1)∵y ′＝x ′·e x －1＋x ·(e x －1)′＝(1＋x )e x －1，

∴曲线在点(1，1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.故选C.

(2)∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，

∴f ′(x )＝[2xf ′(1)]′＋(ln x )′＝2f ′(1)＋1x ，

∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝－1.

(3)令t ＝e x ，故x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，∴f ′(x )＝1x ＋1，∴f ′(1)＝2.

【答案】 (1)C (2)B (3)2

【点拨】 解题(2)时注意弄清f ′(1)为常数而非变量；解题(3)时先换元求解析式，然后再求导．

导数运算的原则和方法

(1)原则：先化简解析式，再求导．

(2)方法：

①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；

④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

⑥复合函数：由外向内，层层求导．

要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记混公式法则．

(2015·江西九江月考，15)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导数f ′(x )在

D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导数，记为f ″(x )＝[f ′(x )]′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D

上为凸函数．以下四个函数在?

????0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)． ①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；

③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .

【解析】 由①知，f ′(x )＝cos x －sin x ，

则f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ? ????x ＋π4<0在区间?

????0，π2上恒成立；由②知，f ′(x )＝1x －2(x >0)，则f ″(x )＝－1x 2<0在区间? ????0，π2上恒成立；由③知，f ′(x )＝－3x 2＋2，则f ″(x )＝－6x <0在区间?

????0，π2上恒成立．故①②③中的函数为凸函数．由④知，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)>0在区间? ????0，π2上恒成立，故④中

的函数不是凸函数．

【答案】 ①②③

考向2 导数的几何意义及其应用

导数的几何意义

函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．

“过某点”与“在某点”的区别：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．

(1)(2014·课标Ⅱ，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(2)(2015·山东威海质检，7)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )

A ．x ＋y －1＝0

B ．x －y －1＝0

C ．x ＋y ＋1＝0

D ．x －y ＋1＝0

(3)(2014·江西，13)若曲线y ＝e －

x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． (4)(2015·河南郑州模拟，12)已知点P 在曲线y ＝

4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．

【解析】 (1)y ′＝a －1x ＋1

，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，∴a ＝3. (2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，

∴设切点为(x 0，y 0)．

又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴???y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，

解得x 0＝1，y 0＝0.

∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.

∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.

(3)设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，

∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，

∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，

∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2，2)．

(4)∵y ＝

4e x ＋1

， ∴y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e x

e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. ∵e x >0，∴e x ＋1e x ≥2，

∴y ′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0)．

又α∈[0，π)，∴α∈????

??3π4，π. 【答案】 (1)D (2)B (3)(－ln 2，2) (4)????

??3π4，π 【点拨】 解题(1)时注意弄清点(0，0)在曲线上；解题(2)时注意弄清过曲线“在某点”和“过某点”的曲线的切线的区别；解题(3)的关键是弄清曲线在点P 处的导数与直线斜率之间的关系；解题(4)时注意

正切函数在??????0，π2∪? ??

??π2，π的图象与其正切值之间的对应关系．

与导数几何意义有关问题的常见类型及解题

策略

(1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：

①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；

②由点斜式求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．

(2)已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .

(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．

(2015·河北石家庄一模，14)已知点P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P

处切线倾斜角的取值范围为?

?????0，π4，则点P 横坐标的取值范围是________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，P 点处切线倾斜角为α，则0≤tan α≤1，

由f (x )＝x 2＋2x ＋3，得f ′(x )＝2x ＋2，

令0≤2x 0＋2≤1，得－1≤x 0≤－12.

【答案】 ????

??－1，－12

1．(2015·江西赣州高三期末，5)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )

A ．0

B ．－1 C.12 D ．2

【答案】 C 依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，∴f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.

2．(2014·河南平顶山模拟，8)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )

A ．1 B.32 C.52 D. 2

【答案】 D 将x 2－y －ln x ＝0变形为y ＝x 2－ln x (x >0)，则y ′＝2x －1x .令y ′＝1，则x ＝1或x ＝－12

(舍)，可知函数y ＝x 2－ln x 的斜率为1的切线的切点横坐标为x ＝1，纵坐标为y ＝1.故切线方程为x －y ＝0.则点P 到直线y ＝x －2的最小距离即切线方程x －y ＝0与y ＝x －2的两平行线间的距离，d ＝||0＋22＝2.

方法点拨：解答本题的关键是将点到直线的最小距离转化为两平行线间的距离．

3．(2015·云南昆明一中调研，9)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

【答案】 C 依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝230＋b ，故b ＝0，又有m ＝f (0)＝g (0)，则m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.

4．(2015·山西大同质检，7)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )

A.??????－12，＋∞

B.? ??

??－∞，－12 C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]

【答案】 A 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根，即2ax 2＋2x

－1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0.综上，a ≥－12.

5．(2015·山东济宁二模，6)若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为( )

A ．(1，1)

B ．(2，3)

C ．(3，1)

D ．(1，4)

【答案】 A y ＝x 2＋a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y ′＝2x ＋a x ≥22a ＝4，即a

＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1，1)．

6．(2015·河南新乡质检，12)过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( )

A ．3条

B ．2条

C ．1条

D ．0条[来源学科网ZXXK]

【答案】 A 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，

利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，

将点A (2，1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋5＝0.令y ＝2x 30－6x 20＋5，则y ′＝6x 20－12x 0.由y ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，

y ＝5>0；x 0＝2时，y ＝－3<0.所以方程2x 30－6x 20＋5＝0有3个解．故过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多

有3条，故选A.

方法点拨：曲线y ＝f (x )过点(x 0，y 0)(点不在曲线y ＝f (x )上)的切线方程的求解步骤：

(1)设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；

(2)写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)·(x －x 1)；

(3)将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；

(4)将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．

7．(2015·广东惠州质检，11)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．

【解析】 由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.

【答案】 5x ＋y ＋2＝0

8．(2014·湖北武汉三模，14)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 015x 1＋log 2 015x 2＋…＋log 2 015x 2 014的值为________．

【解析】 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1

， ∴x 1·x 2·…·x 2 014＝123233343…32 0132 01432 0142 015＝12 015，

则log 2 015x 1＋log 2 015x 2＋…＋log 2 015x 2 014＝log 2 015(x 1·x 2·…·x 2 014)＝log 2 01512 015＝－1.

【答案】 －1

9．(2015·河北唐山一中月考，20，12分)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.

(1)求a的值；

(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)由已知得f ′(x)＝3ax2＋6x－6a，

∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.

(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．

∵g′(x0)＝6x0＋6，

∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，

将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.

当x0＝－1时，切线方程为y＝9；

当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.

由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，

①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.

在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；

在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，

∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.

②由f ′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，

解得x＝0或x＝1.

在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；

在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，

∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.

综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.

1．(2015·课标Ⅱ，12，难)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(0，1)

B ．(－1，0)∪(1，＋∞)

C ．(－∞，－1)∪(－1，0)

D ．(0，1)∪(1，＋∞)

【答案】 A 设h (x )＝f （x ）x .∵f (x )是奇函数，

∴f (－x )＝－f (x )，

∴h (－x )＝f （－x ）－x

＝f （x ）x ＝h (x )． ∴h (x )是偶函数．

∵xf ′(x )－f (x )＜0，

∴h ′(x )＝? ??

??f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0. ∴h (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，且h (±1)＝0，如图所示，

可知满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．

思路点拨：构造函数h (x )＝f （x ）x ，并判断其奇偶性和单调性，最后数形结合求解不等式．

2．(2015·课标Ⅰ，12，难)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )

A.??????－32e ，1

B.????

??－32e ，34 C.??????32e ，34 D.????

??32e ，1 【答案】 D 设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题意知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax

－a 的下方．因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x ＜－12时，g ′(x )＜0；当x ＞－12时，g ′(x )＞0.所以当x ＝－

12时，[g (x )]min ＝－2e －12；当x ＝0时，g (0)＝－1；当x ＝1时，g (1)＝e ＞0.又直线y ＝ax －a 恒过点(1，0)且斜率为a ，故－a ＞g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，

解得32e ≤a ＜1，故选D.

3．(2015·山东，21，14分，难)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .

(1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由；

(2)若?x >0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围．

解：(1)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1

， 令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．

(i)当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； (ii)当a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)．

①当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，

f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点；

②当a ＞89时，Δ＞0，

设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，

因为x 1＋x 2＝－12，

所以x 1＜－14，x 2＞－14，

由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.

所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；

当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；

当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．

所以函数有两个极值点．

(iii)当a ＜0时，Δ＞0，

由g (－1)＝1＞0，可得x 1＜－1，

当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；

当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．

所以函数有一个极值点．

综上所述，

当a ＜0时，函数f (x )有一个极值点；

当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；

当a ＞89时，函数f (x )有两个极值点．

(2)由(1)知，

(ⅰ)当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为f (0)＝0，

所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意；

(ⅱ)当89＜a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，

所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意； (ⅲ)当a ＞1时，由g (0)＜0，可得x 2＞0.

所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减；

因为f (0)＝0，

所以x ∈(0，x 2)时，f (x )＜0，不合题意；

(ⅳ)当a ＜0时，设h (x )＝x －ln(x ＋1)．

因为x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1

＞0， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．

因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )＞h (0)＝0，

即ln(x ＋1)＜x .

可得f (x )＜x ＋a (x 2－x )＝ax 2＋(1－a )x .

当x ＞1－1a 时，ax 2＋(1－a )x ＜0.

此时f (x )＜0，不合题意．

综上所述，a 的取值范围是[0，1]．

4．(2015·课标Ⅱ，21，12分，难)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .

(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；

(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．

解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .

若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0；

当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0.

若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；

当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0.

所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所

以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是?

??f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1， 即???e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.

① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，

则g ′(t )＝e t －1.

当t <0时，g ′(t )<0；

当t >0时，g ′(t )>0.

故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，

故当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0.

当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；

当m >1时，由g (t )的单调性得，g (m )>0，即e m －m >e －1；

当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1.

综上，m 的取值范围是[－1，1]．

5．(2015·课标Ⅰ，21，12分，难)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .

(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；

(2)用min(m ，n )表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．

解：(1)f ′(x )＝3x 2＋a .设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0，0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即?????x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20

＋a ＝0.

解得x 0＝12，a ＝－34.

因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．

(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)无零点．

当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点．若

a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点．

当x ∈(0，1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0，1)的零点个数．

(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0，1)无零点，故f (x )在(0，1)单调．而f (0)＝14，f (1)＝a

＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0，1)有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0，1)没有零点．

(ⅱ)若－3

??－a 3，1单调递增，故在(0，1)中，当x ＝－a 3时，f (x )取得最小值，最小值为f ?

????－a 3＝2a 3－a 3＋14. ①若f ?

????－a 3>0，即－34

????－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0，1)有唯一零点； ③若f ?

????－a 3<0，即－3

综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54

－34时，h (x )有三个零点．

6．(2015·安徽，21，13分，难)设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .

(1)讨论函数f (sin x )在? ????－π2

，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； (2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在??????－π2

，π2上的最大值D ； (3)在(2)中，取a 0＝b 0＝0，求z ＝b －a 2

4满足条件D ≤1时的最大值． 解：(1)f (sin x )＝sin 2x －a sin x ＋b [来源:学科网ZXXK]

＝sin x (sin x －a )＋b ，－π2＜x ＜π2.

[f (sin x )]′＝(2sin x －a )cos x ，－π2＜x ＜π2. 因为－π2＜x ＜π2，所以cos x ＞0，－2＜2sin x ＜2. ①当a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )在? ????－π2

，π2内单调递增，无极值； ②当a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )在? ????－π2

，π2内单调递减，无极值； ③对于－2＜a ＜2，在? ????－π2

，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a ， 当－π2＜x ≤x 0时，函数f (sin x )单调递减；

当x 0≤x ＜π2时，函数f (sin x )单调递增，

因此，－2＜a ＜2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值f (sin x 0)＝f ? ??

??a 2＝b －a 24. (2)当－π2≤x ≤π2时，

|f (sin x )－f 0(sin x )|

＝|(a 0－a )sin x ＋b －b 0|

≤|a －a 0|＋|b －b 0|，

当(a 0－a )(b －b 0)≥0时，取x ＝π2，等号成立；

当(a 0－a )(b －b 0)＜0时，取x ＝－π2，等号成立．

由此可知，|f (sin x )－f 0(sin x )|在??????－π2

，π2上的最大值为D ＝|a －a 0|＋|b －b 0|. (3)D ≤1即为|a |＋|b |≤1，此时0≤a 2≤1，－1≤b ≤1，从而z ＝b －a 24≤1.

取a ＝0，b ＝1，则|a |＋|b |≤1，并且z ＝b －a 24＝1.

由此可知，z ＝b －a 24满足条件D ≤1的最大值为1.

1．(2013·浙江，8，中)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1，2)，则( )

A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值

B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值

C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值

D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值

【答案】 C 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x －1，f ′(1)≠0，故A ，B 错；当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，f ′(x )＝(x 2－1)e x －2x ＋2＝(x －1)[(x ＋1)e x －2]，故f ′(x )＝0有一根为x 1＝1，另一根x 2∈(0，1)．当x ∈(x 2，1)时，f ′(x )＜0，f (x )递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，故选C.

2．(2012·重庆，8，中)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)

B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)

C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)

D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)

【答案】 D ①当x <－2时，1－x >0.

∵(1－x )f ′(x )>0，

∴f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－2)上是增函数． ②当－20.

∵(1－x )f ′(x )<0，

∴f ′(x )<0，即f (x )在(－2，1)上是减函数．

③当1

∵(1－x )f ′(x )>0，∴f ′(x )<0，

即f (x )在(1，2)上是减函数．

④当x >2时，1－x <0.

∵(1－x )f ′(x )<0，

∴f ′(x )>0，即f (x )在(2，＋∞)上是增函数．

综上，f (－2)为极大值，f (2)为极小值．

3．(2014·陕西，10，中)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )

A ．y ＝1125x 3－35x

B ．y ＝2125x 3－45x

C ．y ＝3125x 3－x

D ．y ＝－3125x 3＋15x

【答案】 A 根据题意，知所求函数在(－5，5)上单调递减．对于A ，y ＝1125x 3－35x ，∴y ′＝3125x 2

－35＝3125(x 2－25)，∴?x ∈(－5，5)，y ′<0，∴y ＝1125x 3－35x 在(－5，5)内为减函数，同理可验证B ，C ，D 均不满足此条件，故选A.

4．(2014·课标Ⅰ，11，难)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，－2)

D ．(－∞，－1)

【答案】 C 方法一：由已知可知a ≠0.∵f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .

①当a >0时，函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在? ????0，2a 上单调递减，在? ??

??2a ，＋∞上单调递增，且f (0)＝1>0，故f (x )有小于0的零点，不合题意．

②当a <0时，函数f (x )在? ????－∞，2a 上单调递减，在? ??

??2a ，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，要使x 0>0且唯一，只需f ? ??

??2a >0，即a 2>4，∴a <－2，故选C. 方法二：f ′(x )＝3ax 2－6x ，

当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，

则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈? ????0，23时，f ′(x )<0；x ∈? ??

??23，＋∞时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ? ??

??23＝59>0，则f (x )的大致图象如图所示．

不符合题意，排除A ，B.

当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x

＝－2x (2x ＋3)，

则当x ∈? ????－∞，－32时，f ′(x )<0，x ∈? ??

??－32，0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ? ??

??－32＝－54，则f (x )的大致图象如图所示．

不符合题意，排除D.

5．(2014·课标Ⅱ，12，难)设函数f (x )＝3sin πx m .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2

的取值范围是( )

A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)

B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【答案】 C f ′(x )＝3πm cos πx m ，

由题意知，存在f (x )的极值点x 0，

则有f ′ (x 0)＝3πm cos πx 0m ＝0，

即πx 0m ＝π2＋k π，k ∈Z .

则x 0＝m 2＋km ，k ∈Z .

又x 0满足x 20＋[f (x 0)]2

即? ????m 2＋km 2＋?

????3sin πx 0m 2

????k π＋π22

??k ＋122? ??

??122，∴m 2－3>m 24， ∴m 2>4，∴m >2或m <－2，故选C.

6．(2013·重庆，17，13分，中)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)．

(1)确定a 的值；

(2)求函数f (x )的单调区间与极值．

解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，

故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .

令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－

8a)(x－1)．由点(0，6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝1 2.

(2)由(1)知，f(x)＝1

2(x－5)

2＋6ln x(x>0)，

f′(x)＝x－5＋6

x＝

（x－2）（x－3）

x.

令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.

当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2

由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝9

2＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.

7．(2014·山东，20，13分，难)设函数f(x)＝e x

x2－k?

?

?

?

?

2

x＋ln x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底

数)．

(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．

解：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝x2e x－2x e x

x4－k?

?

?

?

?

－

2

x2＋

1

x

＝x e x－2e x

x3－

k（x－2）

x2

＝（x－2）（e x－kx）

x3.

由k≤0可得e x－kx>0，

所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．

所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，

故f(x)在(0，2)内不存在极值点；

当k>0时，设函数g(x)＝e x－kx，x∈[0，＋∞)．

因为g′(x)＝e x－k＝e x－e ln k，

当0

当x∈(0，2)时，g′(x)＝e x－k>0，y＝g(x)单调递增．

故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．

当k>1时，

得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减；

x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．

所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．

函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，

当且仅当???g （0）>0，

g （ln k ）<0，

g （2）>0，0

解得e

综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为? ????e ，e

22.

8．(2014·课标Ⅱ，21，12分，难)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x .

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值；

(3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．

解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，等号当且仅当x ＝0时成立．

所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．

(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )

＝e 2x －e －2x －4b ·(e x －e －x )＋(8b －4)x ，

g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]

＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．

①当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号当且仅当x ＝0时成立，

所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增，而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.

②当b >2时，若x 满足2

综上，b 的最大值为2.

(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.

当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－3

12>0.692 8；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2xoq.html