2010年山东省高考数学试卷（理科）

2010年山东省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2010?山东）已知全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，则CUM=（ ） A．{x|﹣1＜x＜3} B． {x|﹣1≤x≤3} C． {x|x＜﹣1，或x＞3} 2．（5分）（2010?山东）已知

D． {x|x≤﹣1，或x≥3} ，其中i为虚数单位，则a+b=（ ） 2 C． 3 D． 1 A．﹣1 B． 3．（5分）（2010?山东）在空间，下列命题正确的是（ A．平行直线的平行投影重合 垂直于同一平面的两个平面平行 C． ） B． 平行于同一直线的两个平面平行 D． 垂直于同一平面的两条直线平行 x

4．（5分）（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=

（ ） 1 3 A．﹣3 B． ﹣1 C． D． 5．（5分）（2010?山东）已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）=（ ） 0.477 0.625 0.954 0.977 A．B． C． D． 6．（5分）（2010?山东）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ） 2 A．B． C． D． 7．（5分）（2010?山东）由曲线y=x，y=x围成的封闭图形面积为（ ） A．B． C． 2

3

2

D． 8．（5分）（2010?山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A．36种 B． 42种 C． 48种 D． 54种 9．（5分）（2010?山东）设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 充分必要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 10．（5分）（2010?山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分

别为（ ） A．3，﹣11 B． ﹣3，﹣11 x

2

C． 11，﹣3 D． 11，3 11．（5分）（2010?山东）函数y=2﹣x的图象大致是（ ）

A．B． C． D． 12．（5分）（2010?山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=mq﹣np，下面说法错误的是（ ） b=b⊙a A．若a与b共线，则a⊙b=0 B． a⊙2222 对任意的λ∈R，有（λa）⊙C．b=λ（a⊙b） D． （a⊙b）+（a?b）=|a||b| 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）（2010?山东）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为 _________ ．

14．（4分）（2010?山东）若对任意x＞0，

≤a恒成立，则a的取值范围是 _________ ．

15．（4分）（2010?山东）□ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为 _________ ． 16．（4分）（2010?山东）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线?：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线?垂直的直线的方程为 _________ ．

三、解答题（共6小题，满分74分）

2

17．（12分）（2010?山东）已知函数f（x）=sin2xsinφ+cosxcosφ﹣sin（）．

（Ⅰ）求φ的值；

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，

18．（12分）（2010?山东）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令

（n∈N），求数列{bn}的前n项和Tn．

+

2

+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，

]上的最大值和最小值．

19．（12分）（2010?山东）如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．

3

（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P﹣ACDE的体积．

20．（12分）（2010?山东）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分； ②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局； ③每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束． 假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为

（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率； （Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

21．（12分）（2010?山东）如图，已知椭圆

的离心率为

，以该椭圆上的点和椭圆的左、

，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．

4

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1?k2=1； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

22．（14分）（2010?山东）已知函数（Ⅰ）当

时，讨论f（x）的单调性；

2

（a∈R）．

（Ⅱ）设g（x）=x﹣2bx+4．当范围．

时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值

5

2010年山东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2010?山东）已知全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，则CUM=（ ） A．{x|﹣1＜x＜3} B． {x|﹣1≤x≤3} C． {x|x＜﹣1，或x＞3} D． {x|x≤﹣1，或x≥3} 考点： 补集及其运算。 分析： 由题意全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，知然后根据交集的定义和运算法则进行计算． 解答： 解：因为集合M={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}，全集U=R， ∴CUM={x|x＜﹣1，或x＜3}． 故选C． 点评： 本题考查集合的补集运算，以及简单的含绝对值的不等式的求解，属容易题． 2．（5分）（2010?山东）已知

，其中i为虚数单位，则a+b=（ ）

1 2 3 A．﹣1 B． C． D． 考点： 复数代数形式的混合运算。 分析： 先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果． 解答： 解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1． 故选B． 点评： 本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题． 3．（5分）（2010?山东）在空间，下列命题正确的是（ ） A．平行直线的平行投影重合 B． 平行于同一直线的两个平面平行 垂直于同一平面的两个平面平行 C．D． 垂直于同一平面的两条直线平行 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系。 分析： 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案． 解答： 解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误． 平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误． 垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误． 故选D． 点评： 本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题． 4．（5分）（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（ ） 1 3 A．﹣3 B． ﹣1 C． D． 考点： 奇函数。 分析： 首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值． 解答： 解：因为f（x）为定义在R上的奇函数， x

6

所以f（0）=2+2×0+b=0， 解得b=﹣1， 所以当x≥0时，f（x）=2+2x﹣1， 又因为f（x）为定义在R上的奇函数， 1所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2+2×1﹣1）=﹣3， 故选A． 点评： 本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）． 5．（5分）（2010?山东）已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）=（ ） 0.477 0.625 0.954 0.977 A．B． C． D． 考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 专题： 计算题；图表型。 分析： 画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果． 解答： 解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称， 而P（ξ＞2）=0.023， 则P（ξ＜﹣2）=0.023， 故P（﹣2≤ξ≤2）=1﹣P（ξ＞2）﹣p（ξ＜﹣2）=0.954， 故选C． 0x2

点评： 本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解． 6．（5分）（2010?山东）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ） 2 A．B． C． D． 考点： 极差、方差与标准差。 专题： 计算题。 分析： 由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可． 解答： 解：由题意知（a+0+1+2+3）=1，解得a=1， ∴样本方差为S=[（﹣1﹣1）+（0﹣1）+（1﹣1）+（2﹣1）+（3﹣1）]=2， 故选D． 点评： 本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键． 7．（5分）（2010?山东）由曲线y=x，y=x围成的封闭图形面积为（ ）

2

3

222222 7

A． 考点： 定积分在求面积中的应用。 专题： 计算题。 23123分析： 要求曲线y=x，y=x围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫0（x﹣x）dx即可． 解答： 解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1] B． C． D． 所求封闭图形的面积为∫0（x﹣x）dx═123， 故选A． 点评： 本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积． 8．（5分）（2010?山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A．36种 B． 42种 C． 48种 D． 54种 考点： 排列、组合的实际应用。 专题： 分类讨论。 分析： 由题意知甲的位置影响乙的排列，甲在第一位和甲不在第一位，对于排列有影响要分两类：一类为甲排在413第一位共有A4种，另一类甲排在第二位共有A3A3种，根据分类计数原理得到结果． 解答： 解：由题意知甲的位置影响乙的排列 ∴要分两类：一类为甲排在第一位共有A4=24种， 13另一类甲排在第二位共有A3A3=18种， ∴故编排方案共有24+18=42种， 故选B． 点评： 本题主要考查排列组合基础知识，考查分类与分步计数原理，分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”． 9．（5分）（2010?山东）设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 充分必要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 考点： 等比数列。 分析： 首项大于零是前提条件，则由“q＞1，a1＞0”来判断是等比数列{an}是递增数列． 解答： 解：若已知a1＜a2，则设数列{an}的公比为q， 因为a1＜a2，所以有a1＜a1q，解得q＞1，又a1＞0， 所以数列{an}是递增数列；反之，若数列{an}是递增数列， 则公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2， 所以a1＜a2是数列{an}是递增数列的充分必要条件． 故选C 点评： 本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题． 410．（5分）（2010?山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分

别为（ ） A．3，﹣11

B． ﹣3，﹣11 C． 11，﹣3 D． 11，3 8

考点： 简单线性规划。 专题： 数形结合。 分析： ①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x﹣4y=0，平移直线观察最值． 解答： 解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示， 可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时， 目标函数z=3x﹣4y取得最大值3； 当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时， 目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，故选A． 点评： 本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x﹣4y的几何意义是解答好本题的关键． 11．（5分）（2010?山东）函数y=2﹣x的图象大致是（ ） A．B． C． x

2

D． 考点： 函数的图象与图象变化。 专题： 数形结合。 分析： 充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数的零点2，4；函数的特殊函数值f（﹣2）符号加以解决即可． 解答： 解：因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C； 当x=﹣2时，2﹣x=x2，故排除D， 所以选A． 点评： 本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力． 12．（5分）（2010?山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=mq﹣np，下面说法错误的是（ ） b=b⊙a A．若a与b共线，则a⊙b=0 B． a⊙2222 对任意的λ∈R，有（λa）⊙C．b=λ（a⊙b） D． （a⊙b）+（a?b）=|a||b| 考点： 平面向量数量积的运算。 分析： 根据题意对选项逐一分析．若与共线，则有，故A正确； 因为得到答案． ，而，所以有，故选项B错误， 9

解答： 解：若与共线，则有因为，而，故A正确； ，所以有，故选项B错误， 故选B． 点评： 本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（2010?山东）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为 ．

考点： 程序框图。 专题： 操作型。 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果． 解答： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： x y 是否继续循环 循环前 10∥ 第一圈 10 4 是 第二圈 4 1 是 第三圈 1﹣是 第四圈﹣﹣否 故输出y的值为故答案为： ． 点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 14．（4分）（2010?山东）若对任意x＞0，

≤a恒成立，则a的取值范围是 a≥ ．

10

考点： 基本不等式在最值问题中的应用。 专题： 计算题。 分析： 根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得． 解答： 解：∵x＞0， ∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号）， ∴=≤=，即的最大值为， 故答案为a≥ 点评： 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题． 15．（4分）（2010?山东）□ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=A的大小为

．

，b=2，sinB+cosB=

，则角

考点： 同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；正弦定理。 专题： 计算题。 分析： 由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，根据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可． 解答： 解：由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1， 因为0＜B＜π，所以B=45°，b=2，所以在△ABC中， 由正弦定理得：， 解得sinA=，又a＜b，所以A＜B=45°，所以A=30°． 故答案为 点评： 本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力． 16．（4分）（2010?山东）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线?：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线?垂直的直线的方程为 x+y﹣3=0 ． 考点： 直线与圆的位置关系。 分析： 先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线?垂直的直线的方程． 解答： 解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为（a，0）， 则由题意知：，解得a=3或﹣1， 又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0）， ∵圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=﹣3， 故所求的直线方程为x+y﹣3=0． 故答案为：x+y﹣3=0． 点评： 本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力． 三、解答题（共6小题，满分74分）

11

17．（12分）（2010?山东）已知函数f（x）=sin2xsinφ+cosxcosφ﹣sin（）．

（Ⅰ）求φ的值；

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，

]上的最大值和最小值．

2

+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，

考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的最值。 专题： 计算题。 分析： 2（1）由已知中函数f（x）=sin2xsinφ+cosxcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．我们将（，）代入函数的解析式，结合φ的取值范围，我们易示出φ的值． （2）由（1）的结论，我们可以求出y=f（x），结合函数图象的伸缩变换，我们可以得到函数y=g（x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，不难求出函数的最大值与最小值． 解答： 解：∵函数f（x）=sin2xsinφ+cosxcosφ﹣sin（又因为其图象过点（∴解得：φ= ， 22+φ）（0＜φ＜π）， ，）． φ﹣ （2）由（1）得φ=∴f（x）=sin2xsinφ+cosxcosφ﹣sin（=∴∵x∈[0，∴4x+∴当4x+当4x+∈==] 时，g（x）取最大值； 时，g（x）取最小值﹣． +φ） 点评： 本题考查三角函数的诱导公式即二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力．已知函数图象求函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一． 18．（12分）（2010?山东）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．

12

（Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令

（n∈N），求数列{bn}的前n项和Tn．

+

考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和。 专题： 计算题。 分析： （1）根据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n项和公式． （2）根据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，本题考查的是数列求和的典型方法﹣﹣裂项法，注意解题过程中项数不要出错． 解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴有， 解得a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn==n+2n； 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1， ∴bn====， ∴Tn=即数列{bn}的前n项和Tn==． =， 点评： 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键．是每年要考的一道高考题目． 19．（12分）（2010?山东）如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形． （Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P﹣ACDE的体积．

考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角。 专题： 计算题；证明题；综合题；转化思想。 分析： （Ⅰ）要证平面PCD⊥平面PAC，只需证明平面PCD内的直线CD，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可； 13

（Ⅱ）过点A作AH⊥PC于H，说明∠PBO为所求角，然后解三角形求直线PB与平面PCD所成角的大小，也可以利用空间直角坐标系，求出向量，平面PCD的一个法向量，计算，即可． （Ⅲ）直接求出底面面积和高，再求四棱锥P﹣ACDE的体积． 解答： 解：（Ⅰ）证明：因为∠ABC=45°，AB=2，BC=4， 所以在△ABC中，由余弦定理得：222，解得， 所以AB+AC=8+8=16=BC，即AB⊥AC， 又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB， 又PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC， 又因为CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC； （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC， 所以在平面PAC内，过点A作AH⊥PC于H， 则AH⊥平面PCD，又AB∥CD，AB?平面PCD内，所以AB平行于平面PCD， 所以点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离，过点B作BO⊥平面PCD于点O， 则∠PBO为所求角，且AH=BO，又容易求得AH=2， 所以，即∠PBO=30°， 所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30°； 另解：（Ⅱ）因为△PAB为等腰三角形，所以又AB∥CD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离． 由CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，，所以PC=4． 故PC边上的高为2，即点A到平面的距离，即点点B到平面PCD的距离为2． 设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则又，所以． ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知AB，AC，AP两两互相垂直， 分别以AB，AC，AP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由△PAB为等腰直角三角形，所以， 而，则因为AC∥ED，CD⊥AC，所以四边形ACDE是直角梯形． 因为AE=2，∠ABC=45°，AE∥BC，所以∠BAE=135°，∠CAE=45°， 故因此量， 则而

，所以． ，设是平面PCD的一个法向，解得x=0，y=z．取y=1，得． ， 14

设θ表示向量与平面PCD的法向量所成的角，则 因此直线PB与平面PCD所成角的大小为； ，（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得AC=，所以四边形ACDE的面积为=． ，所以四棱锥P﹣ACDE的体积为 点评： 本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力． 20．（12分）（2010?山东）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分； ②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局； ③每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束． 假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为

，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率； （Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ． 考点： 离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差。 专题： 综合题。 分析： （1）根据题意，列举甲能进入下一轮的五种情况，由于每题答题结果相互独立，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果． （2）由题意可知答对一个题或答错一个题都不能决定甲的去留，所以最少答两个题，随机变量ξ可能的取值为2，3，4，由于每题的答题结构都是相对独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果． 解答： 解：设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用Mi（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确， 用Ni（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则Mi与Ni（i=1，2，3，4）是对立事件．由题意得， 则． （Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q， 则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4 由于每题答题结果相互独立，

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∴P（Q）=P（M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4） =P（M1M2M3）+P（N1M2M3M4）+P（M1N2M3M4）+P（M1M2N3M4）+P（N1M2N3M4）=（Ⅱ）由题意可知随机变量ξ可能的取值为2，3，4， 由于每题的答题结果都是相对独立的， ∵， ， P（ξ=4）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣﹣= ∴． 点评： 本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查相互独立立事件、对立事件的概率和求解办法，考查用概率知识解决实际问题的能力． 21．（12分）（2010?山东）如图，已知椭圆

的离心率为

，以该椭圆上的点和椭圆的左、

右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D． （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1?k2=1； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

考点： 圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题。 专题： 计算题；证明题；综合题；数形结合。 分析： （Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程； （Ⅱ）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果； （Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x﹣2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|，求得λ的值． 解答： 解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=， 得，又2a+2c=， 222所以可解得，c=2，所以b=a﹣c=4， 16

所以椭圆的标准方程为； 所以椭圆的焦点坐标为（±2，0）， 因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为（Ⅱ）设点P（x0，y0）， 则k1=，k2=， ． ∴k1?k2==， 又点P（x0，y0）在双曲线上， ∴，即y0=x0﹣4， 22∴k1?k2==1． （Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立， 则由（II）知k1?k2=1， ∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2）， 由方程组消y得：（2k+1）x+8kx+8k﹣8=0， 2222设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则由韦达定理得，， ∴AB==， 同理可得CD===， ∵|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|， ∴λ==﹣==， ∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立． 点评： 本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性

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的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 22．（14分）（2010?山东）已知函数（Ⅰ）当

时，讨论f（x）的单调性；

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（a∈R）．

（Ⅱ）设g（x）=x﹣2bx+4．当

时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值

范围． 考点： 利用导数研究函数的单调性。 分析： （1）直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性； （2）利用导数求出f（x）的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g（x）在闭区间[1，2]上的最大值，然后解不等式求参数． 解答： 解：（Ⅰ）， 令h（x）=ax﹣x+1﹣a（x＞0） （1）当a=0时，h（x）=﹣x+1（x＞0）， 当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． （2）当a≠0时，由f′（x）=0，即ax﹣x+1﹣a=0，解得当当22． 时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减； 时，，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减． 当a＜0时，当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． 综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增； 当当 （Ⅱ）当有时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1∈（0，2）， ， ，x2∈[1，2]，（※） 时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减； 时，函数f（x）在（0，1）单调递减，单调递增，单调递减． 又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以又g（x）=（x﹣b）+4﹣b，x∈[1，2] 当b＜1时，g（x）min=g（1）=5﹣2b＞0与（※）矛盾；

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当b＞2时，综上，实数b的取值范围是当b∈[1，2]时，g（x）min=g（1）=4﹣b≥0也与（※）矛盾； ． ． 2点评： 本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力． 参与本试卷答题和审题的老师有：xiexie；jj2008；mrguo；Linaliu；wsj1012；394782；qiss；wodeqing；zhwsd；yhx01248；wzj123；Mrwang；涨停；zhiyuan；sllwyn（排名不分先后） 菁优网

2012年10月15日

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