第12章 随机过程及其统计描述12.3 泊松过程及维纳过程

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第三节

泊松过程及维纳过程

一、独立增量过程 二、泊松过程的数学模型 三、维纳过程的数学模型 四、小结

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一、独立增量过程 给定二阶矩过程 给定二阶矩过程 ( X ( t ), t ≥ 0} , 称随机变量 X ( t ) X ( s ) , 0 ≤ s < t 为随机过程在区间 ( s , t ] 上的 增量 .如果对任意选定的 正整数 n 和任意选定的 如果对任意选定的 0 ≤ t0 < t1 < t 2 < L < t n , n 个增量 X ( t1 ) X ( t 0 ), X ( t 2 ) X ( t1 ),L, X ( t n ) X ( t n 1 ) 相互独立 , 则称 { X ( t ), t ≥ 0} 为独立增量过程.特征: 在互不重叠的区间上, 特征: 在互不重叠的区间上,状态的增量是相 互独立的. 互独立的.

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在 X (0) = 0 的条件下 , 独立增量过程的有限维分布函数族可以由增 量 X ( t ) X ( s ) (0 ≤ s < t )

的分布确定 . 如果对任意的实数 如果对任意的实数 h 和 0 ≤ s + h < t + h ,X ( t + h) X ( s + h) 和 X ( t ) X ( s ) 具有相同的分布 ,则称增量具有平稳性. 则称增量具有平稳性. 增量具有平稳性 如果增量具有平稳性, 如果增量具有平稳性 那么增量 X(t)-X(s) 的分 本身. 布函数只依赖于时间差 t-s, 而不依赖于 t 和 s 本身 当增量具有平稳性时, 当增量具有平稳性时,称相应的独立增量过程 齐次的或时齐的. 是齐次的或时齐的.

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独立增量过程的协方差 函数 C x ( s , t ).设 X ( 0) = 0 , 方差函数 DX ( t ) 已知 . 记 Y (t ) = X (t ) µ X (t ) . 当 X ( t ) 具有独立增量时 , Y (t ) 也具有独立增 Y (0) = 0, E[Y ( t )] = 0, DY ( t ) = E[Y 2 ( t )] = DX (t ). 量;

因此 , 当 0 ≤ s < t 时 , 有 C X ( s , t ) = E[Y ( s )Y ( t )] = E {[Y ( s ) Y (0)][(Y ( t ) Y ( s )) + Y ( s )]} = E {[Y ( s ) Y (0)][(Y ( t ) Y ( s )) + Y ( s )]} = E[Y ( s ) Y (0)]E[Y ( t ) Y ( s )] + E[Y 2 ( s )]

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= DX (s ). 因此 因此 , 对任意 s , t ≥ 0, 协方差函数可用方差函 数

表示为

CX (s, t ) =DX (m s, t )). in(

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二、泊松过程的数学模型1.问题的提出 问题的提出考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： 考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; 自电子管阴极发射的电子到达阳极 (2)意外事故或意外差错的发生; (2)意外事故或意外差错的发生; 意外事故或意外差错的发生 (3)要求服务的顾客到达服务站. (3)要求服务的顾客到达服务站. 要求服务的顾客到达服务站

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2.问题的分析与求解 问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点, 将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到 达阳极、 达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质 点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移, 点出现.

因此研究的对象可以认为是随时间推移, 随时间推移 陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机 的质点流. 的质点流. 用 用 N ( t ), t ≥ 0表示在时间间隔 (0, t ]内时间轴上 出现的质点数 . {N ( t ), t ≥ 0}是一个状态取非负整数 、时间连

称为计数过程 续的随机过程 , 称为计数过程. 计数过程

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计数过程的一个典型样本函数

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记 记 N ( t0 , t ) = N ( t ) N ( t 0 ) , 0 ≤ t0 < t , 表示在时

间间隔 ( t0 , t ]内出现的质点数 .随机事件 { N ( t 0 , t ) = k } 的概率为 Pk ( t0 , t ) = P { N ( t0 , t ) = k }, k = 0, 1, 2,L.

对N(t )的假设 (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性. (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性. 在不相重叠的区间上的增量具有独立性( 2) 对于充分小的 t , P1 ( t , t + t ) = P { N ( t , t + t ) = 1} = λ t + o( t ),常数 λ > 0 称为过程 N ( t ) 的强度 .

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( 3)对于充分小的 t ,

∑ Pj (t , t + t ) = ∑ P{ N (t , t + t ) = j } = o( t ) j=2 j=2( 4 ) N ( 0 ) = 0.

∞

∞

满足条件(1)(2)(3)(4)的计数过程 { N ( t ), t ≥ 0}称作 满足条件

λ 强度为 的泊松过程.称作 强度为 的泊松流. λ

泊松资料

相应的质点流或质 相应的质点流或质 点出现的随机时刻 t1 , t 2 ,L

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增量的分布律

由于 ∑ Pk ( t0 , t ) = 1 , 所以根据假设有 P0 ( t , t + t ) = 1 P1 ( t , t + t ) ∑ Pk ( t , t + t ) = 1 λ t + o( t ).概率的计算k =2 k =0 ∞

∞

当 t > 0时 , 先计算 P0 ( t 0 , t ) . P0 ( t0 , t + t ) = P { N ( t0 , t + t ) = 0} = P { N ( t 0 , t ) + N ( t , t + t ) = 0} =P { N ( t0 , t ) = 0, N ( t , t + t ) = 0},

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P0 ( t 0 , t + t ) = P { N ( t 0 , t ) = 0, N ( t , t + t ) = 0}

= P { N ( t0 , t ) = 0}P { N ( t , t + t ) = 0} = P0 ( t 0 , t )[1 λ t + o( t )],

P0 ( t0 , t + t ) P0 ( t0 , t ) = λP0 ( t0 , t ) t + o( t ),P0 ( t0 , t + t ) P0 ( t 0 , t ) o( t ) , = λP0 ( t 0 , t ) + t t令 t → 0 , 取极限得微分方程

dP0 ( t 0 , t ) = λP0 ( t 0 , t ). dt

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因为 N ( t0 , t 0 ) = 0, 所以 P0 ( t0 , t0 ) = 1.利用初值条件求解微分方程可得

P0 ( t 0 , t ) = e

λ ( t t0 )

,

t > t0 .

再计算 Pk ( t 0 , t ), k ≥ 1.P { N ( t 0 , t + t ) = k } = P { N ( t 0 , t ) + N ( t , t + t ) = k } = =

∑ P { N ( t , t + t ) = j } P { N ( t 0 , t ) = k j } j=0 ∑ Pj (t , t + t ) Pk j (t0 , t ) j=0k

k

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因为当 k ≥ 2 时,

∑ Pj (t , t + t ) Pk j (t0 , t ) ≤ ∑ Pj (t , t + t ) = o( t ), j=2 j=2所以 Pk ( t0 , t + t ) = ∑ Pj ( t , t + t ) Pk j ( t0 , t )j =0 k

k

∞

= [1 λ t + o( t )]Pk ( t0 , t ) + [λ t + o( t )]Pk 1 ( t 0 , t ) + o( t ),将此式进行整理后可得

( k ≥ 1).

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Pk

( t0 , t + t ) Pk ( t 0 , t ) = λPk ( t 0 , t ) t + λPk 1 ( t 0 , t ) t + [ Pk ( t0 , t ) + Pk 1 ( t0 , t ) + 1]o( t ),

两边除以 t , 令 t → 0, 取极限得微分 差分方程 dPk ( t 0 , t ) = λPk ( t 0 , t ) + λPk 1 ( t0 , t ), t > t 0 . dt 因为 N ( t0 , t0 ) = 0, 所以Pk ( t 0 , t0 ) = 0, k ≥ 1. 令 k = 1,利用初值条件和 P0 ( t 0 , t ) 的表达式可得P1 ( t0 , t ) = λ ( t t 0 )e λ ( t t0 ) , t > t0 .

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令 k = 2, 利用初始条件和 P0 ( t0 , t ), P1 ( t 0 , t ) 可得 [λ ( t t0 )]2 λ ( t t0 ) P2 ( t0 , t ) = e , t > t0 . 2 如此重复, 如此重复,一般地可得到 Pk ( t0 , t ) = P{ N ( t 0 , t ) = k } [λ ( t t0 )]k λ ( t t0 ) = e , t > t 0 , k = 0,1,L. k! 增量 结论 增量 N ( t0 , t ) = N ( t ) N ( t0 )的概率分布是参数

为λ ( t t0 ) 的泊松分布 ,且只与时间差 t t 0 有关;强度为λ的泊松过程是齐次的独 立增量过程 .

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泊松过程的数字特征

N ( t ) N ( t 0 ) π( λ ( t t 0 )), t > t 0 ≥ 0. ~ E[ N ( t ) N ( t0 )] = Var[ N ( t ) N ( t 0 )] = λ ( t t0 ).令 t0 = 0 , 根据假设 N (0) = 0 可得

E[ N ( t )] = λt ,DN ( t ) = Var[ N ( t )] = λt ,

均值函数 方差函数

N (t ) λ = E[ ]. t 泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值. 质点数目的期望值.

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C N ( s , t ) = λ min{s , t }, s , t ≥ 0. 协方差函数

RN ( s , t ) = E[ N ( s ) N ( t )] = λ2 st + λ min{s , t }, s, t ≥ 0.相关函数

若 若 λ 是时间 t的函数 λ = λ ( t ), t ≥ 0, 则称泊松过 程是非齐次的 .

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3.与泊松过程有关的随机变量 与泊松过程有关的随机变量(1)等待时间 等待时间 设质点(或事件) 设质点(或事件)依次重复出现的时刻 t1 , t 2 , L , t n , L

是强度为 λ的泊松流 ,{ N ( t ), t ≥ 0}为相应泊松过程 . 记 W0 = 0, Wn = t n , n = 1,2,L 则Wn 是随机变量 , 表示第 n 个质点(或事件第 n 次 )

出现的 等待时间.

T1

T2 W1 W2

Tk W k 1 W k

O

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2xai.html