08机械原理习题解答改1

机械原理习题解答

例4-1 绘制图4-2所示液压泵机构的机构运动简图。

解：该机构由机架1、原动件2和从动件3、4组成，共4个构件，属于平面四杆机构。 机构中构件1、2，构件2、3，构件4、1之间的相对运动为转动，即两构件间形成转动副，转动副中心分别位于A、B、C点处；构件3、4之间的相对运动为移动，即两构件间形成移动副，移动副导路方向与构件3的中心线平行。构件1的运动尺寸为A、C两点间距离，构件2的运动尺寸为A、B两点之间的距离，构件3从B点出发，沿移动副导路方向与构件4在C点形成移动副，构件4同时又在C点与构件1形成转动副。

选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动简图的视图平面。

选择比例尺?l=0.001m/mm，分别量出各构件的运动尺寸，绘出机构运动简图，并标明原动件及其转动方向，如图4-2所示。

图4-3 简易冲床机构?l=0.001m/mm

例4-2 绘制图4-3所示简易冲床的机构运动简图。

解：图示机构中已标明原动件，构件6为机架，其余构件为从动件。需要注意的是，在区分构件时应正确判断图中各构件都包括哪些部分，例如：构件3就包括两部分，如图所示。

该机构中构件1与机架以转动副连接，转动副中心位于固定轴的几何中心A点处；构件2除与构件1形成回转中心位于C点的转动副外，又与构件3形成移动副，移动副导路沿BC方向；构件3也绕固定轴上一点B转动，即构件3与机架形成的转动副位于B点，同时

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构件3与构件2形成移动副，又与构件4形成中心位于D点的转动副；构件4与构件5形成中心位于E点的转动副；构件5与机架6形成沿垂直方向的移动副。

该机构属于平面机构，因此选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动简图的视图平面。

选择比例尺?l=0.001m/mm，量出各构件的运动尺寸，绘出机构运动简图，并标明原动件及其转动方向，如图4-3所示。

4-3 题4-３图为外科手术用剪刀。其中弹簧的作用是保持剪刀口张开，并且便于医生单手操作。忽略弹簧，并以构件1为机架，分析机构的工作原理，画出机构的示意图，写出机构的关联矩阵和邻接矩阵，并说明机构的类型。

1412机构示意图 e1v1e4v2e2v3e33v4题4-３图

解：若以构件1为机架，则该手术用剪刀由机架１、原动件２、从动件３、４组成，共４个构件。属于平面四杆机构。

当用手握住剪刀，即构件１(固定钳口)不动时，驱动构件２，使构件２绕构件１转动的同时，通过构件３带动构件４(活动钳口)也沿构件１(固定钳口)上下移动，从而使剪刀的刀口张开或闭合。其机构示意图和机构拓扑图如上图所示。

其关联矩阵为： 邻接矩阵为：

e1v1LM?v2v3v41100e20110e30011e41v1v3v40； AM?v201v10101v21010v30101v410； 10机构的拓扑图

例4-4 计算图4-13所示压榨机机构的自由度。

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解：机构为平面机构。

机构中构件1为偏心轮，构件2绕构件1的几何中心发生相对转动，即形成中心位于偏心轮几何中心的转动副，因此偏心轮相当于一个有两个转动副的构件，一个转动副是在点A与机架11形成的，另外一个是在偏心轮几何中心处与构件2形成的。

该机构中存在结构对称部分，构件8、9、10 和构件4、5、6。如果去掉一个对称部分，机构仍能够正常工作，所以可以将构件8、9、10以及其上的转动副G、H、I和C处的一个转动副视为虚约束；构件7与构件11在左右两边同时形成导路平行的移动

图4-13 压榨机机构

副，只有其中一个起作用，另一个是虚约束；构件4、5、6在D点处形成复合铰链。机构中没有局部自由度和高副。

去掉机构中的虚约束，则机构中活动构件数为nF?3n?2Pl?Ph??7，机构中低副数Pl?1

?10，得

3?7?2?10

例4-5 计算图4-14所示自动驾驶仪操纵机构的自由度。

解：自动驾驶仪操纵机构为空间机构，机构中

共有3个活动构件，其中构件1、2之间形成圆柱副，属Ⅳ级副；构件2、3形成转动副，属Ⅴ级副；构件3、4形成球面副，属Ⅲ级副；构件4、1形成转动副，属Ⅴ级副。

则机构自由度为:

F?6?3?5?2?4?1?3?1?1

图4-14 自动驾驶仪操纵机构

4-6 在题4-6图所示所有机构中，原动件数目均为1时，判断图示机构是否有确定的运动。如有局部自由度、复合铰链和虚约束请予以指出。

解：（a）、F?3n?2Pl?Ph?3?7?2?10?1，机构有确定的运动。其中：Ｆ、D、

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B、C四处均为复合铰链，没有局部自由度、虚约束；

（b）、F?3n?2Pl?Ph?3?9?2?12?1?2，机构没有确定的运动。其中：Ａ处为复合铰链，Ｋ处为局部自由度，没有虚约束；

（C）、F?3n?2Pl?Ph?3?7?2?10?1，机构有确定的运动。其中：构件AB、BC、CD、AD四杆中有一杆为虚约束，如果将构件AD视为虚约束，去掉虚约束，则点Ｂ、Ｃ均为复合铰链，没有局部自由度；

（d）、F?3n?2Pl?Ph?3?3?2?4?1?0，系统不能运动，

所以也就不是一个机构。从图中可以看出，铰链点C是构件BC上的点，其轨迹应当是以铰链点B为圆心的圆，同时，铰链点C又是构件CD上的点，轨迹应当是移动副F约束所允许的直线，两者是矛盾的，所以，系统不能运动。系统中没有局部自由度、复合铰链、虚约束。

（e）、F?3n?2Pl?Ph?3?5?2?6?3，机构没有确定的运动。没有局部自由度、复合铰链、虚约束。

(a)(b)(c)(d)题4-６图

4-7 计算题4-7图所示齿轮－连杆机构的自由度。

(e) 共69页 第4页

题4-７图

解：（a）、F?3n?2Pl?Ph?3?4?2?5?1?1,铰链点A为复合铰链，齿轮副为高副。

（b）、F?3n?2Pl?Ph?3?6?2?7?3?1，铰链点B、C 、D均为复合铰链。

4-8 题4-８图所示为缝纫机中的送料机构。计算该机构的自由度，该机构在什么条件下具有确定的运动？

解：

F?3n?2Pl?Ph?3?4?2?4?2 ?2C处的滚子为局部自由度，构题4-８图

件1于构件2、构件3与构件2之间形成两对高副，但是，每对高副的法线都是重合的，所以，每对高副中有一个高副为虚约束。

由于该机构具有２个自由度，所以该机构在有２个原动件的条件下就具有确定的运动。

4-9 计算题4-９图所示机构的自由度。

(a)题4-9图

解：（a）、F?3n?2Pl?Ph?3?6?2?6?4?2

(b)（b）、F?3n?2Pl?Ph?3?7?2?9?1?2（注：滑块Ｄ受到的运动约束与构件FGC上Ｃ的运动轨迹相重合，所以滑块Ｄ及其上的转动副和移动副均应视为虚约束。）

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4-10 构思出自由度分别为１、２和３的Ⅲ级机构的设计方案。

(a)(b)(c)解：由机构的组成原理可知，一个Ⅲ机构中，至少应当包含有一个Ⅲ级基本杆组。将一个Ⅲ级基本杆组中的一个外副与一个单自由度的机构相联，另外两个外副与机架相联，则可以得到一个单自由度的Ⅲ机构；如果将Ⅲ级基本杆组中的两个外副分别与两个单自由度的机构相联，另外一个外副与机架相联，则可以得到一个有两个自由度的Ⅲ机构。而最简单的单自由度机构是一个构件与机架通过一个低副（如：转动副）联接所形成的机构。 按照以上分析，自由度分别为１、２和３的Ⅲ级机构最简单的结构分别如图中（a）、（b）和（c）所示。

4-12 确定图4-19a所示机构当构件８为原动件时机构的级别。

解：确定机构的级别关键是要拆出机构中所含的基本杆组。当构件８为原动件时，拆基本杆组首先应当从最远离原动件的构件1拆起，可以拆出Ⅱ级基本杆组ABC，然后，又依次可以拆出Ⅱ级基本杆组DEF和GHI。如下图示。所以该机构为Ⅱ级机构。

FCBDGEAJ图4-19

例5-1 在图5-3所示的铰链四杆机构中，已知该机构的结构参数以及构件1的转速为?1，机构运动简图的比例尺为?l。利用速度瞬心法，求在图示位置时，构件2和构件3的转速?2和?3的大小和方向。 解：首先找出相关的速度瞬心：速度瞬心P10、P12、P23、P03可根据相应的构件构成转动副直接确

HI 共69页 第6页 图5-3

定出来；而P02和P13需应用三心定理来确定：速度瞬心P02应在三个构件0、1、2的两个已知速度瞬心P10和P12的连线上，同时又应在三个构件0、3、2的两个已知速度瞬心P03、P23的连线上，则这两条连线的交点即为P02。速度瞬心P13的确定方法类似，它应是P12 P23连线和P10P03连线的交点。

由速度瞬心的概念，在速度瞬心点两构件的绝对速度相同，便可求解未知转速。在速度瞬心点P12有

VP12??1?P10P12?l??2?P12P02?l 式中P10P12和P12P02可直接从所作的图中量取。由上式可解出 ?2??P10P12P12P02?1

由绝对速度vP12方向，得出ω2方向为顺时针方向。 同理， 在速度瞬心点P13有

VP13??1?P10P13?l??3?P03P13?l

?由绝对速度vP13的方向，可知其为逆时针方向。

例5-2 在图5-4所示的凸轮机构，已知该机构的结构尺寸和凸轮1的角速度?1。利用瞬心法，求机构在图示位置时从动件2的线速度v2。机构运动简图的比例尺为?l。

解：构件1与机架0的速度瞬心P01以及从动件与机架的速度瞬心P02可根据相应的构件分别构成转动副和移动副而直接确定出来。凸轮1和从动件之间的瞬心P12的确定方法是：一方面，P12应在构件1、2高副接触点K的公法线n-n上，另一方面，利用三心定理，它又应在瞬心P01和P02的连线上，即又应在过点P01而垂直于从动件2与机架移动副导路的直线上。因而，n-n与该直线的交点即为P12。

再根据速度瞬心的概念，可得： ?1?P01P12?l?vP12?v2

其中，P01P12可以直接从图中量出。从动件的速度v2方向如图中vP12所示。

图5-4 ? 共69页 第7页

5-2 在题5-2图所示所示的平面组合机构中，已知机构作图的比例尺μl，及构件1的角速度?1，求图示位置构件4的线速度v4。

?P02P04P24nP23?P14题5-2图 P01P12nP34P04?vP14解：根据两个构件相成运动副的瞬心的确定方法可以确定出瞬心P01,P02,P23，P34，

P04的位置或所在的直线。由于题目已知构件１的角速度，求构件４的线速度，因而需求出

速度瞬心P14。一方面，P14应在瞬心P01和P04的连线上，另一方面，它也应在瞬心P12和P24的连线上。而瞬心P12一方面应在构件１、２高副接触点的公法线n-n上，另一方面，它也应在瞬心P01和P02的连线上；瞬心P24一方面应在瞬心P23和P34的连线上，另一方面，它也应在瞬心P02和P04的连线上。

根据速度瞬心的概念，可得?1?P01P14?l?vP14?v4，其中，P01P14可以直接从图中量出。构件４的速度方向如图中vP所示。

14

5-3 确定题5-3图所示机构所有的速度瞬心。如果已知构件1的角速度?1，设图示比例为?l，

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(a)题5-3图

(b)

P56P25P15P1224vP34?4P26o2P241o1P45P2353o3P35P36?3P13P34o?1P14P16P466(a)vP13求图示位置时，题5-3图（a）齿轮4的角速度?4的大小、方向和题5-3图（b）构件3的速度V3的大小和方向。

解：（a）、图示机构共有6个构件，所以速度瞬心的数目为CN?2N(N?1)2?15。其

中：P14、P16和P46在转动副O1处；P12、P15和P25在转动副O2处； P35在转动副O3处；

P36在转动副O处；P23在表示齿轮２和齿轮３的圆的切点处；P24在表示齿轮２和齿轮４的

圆的切点处；P13在瞬心P12和P23的连线与瞬心P16和P36的连线的交点处；P26在瞬心P24和

P46的连线与瞬心P23和P36的连线的交点处；P34在瞬心P23和P24的连线与瞬心P36和P46的

连线的交点处；P56在瞬心P35和P36的连线与瞬心P15和P16的连线的交点处；P45在瞬心P24和P25的连线与瞬心P34和P35的连线的交点处。

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根据速度瞬心的概念，可得?1?P16P13?l??3?P36P13?l?vP13，从而可先求出构件３的角速度?3??1?P16P13P36P13，其中，P16P13和P36P13可以直接从图中量出，构件３的速度方

向如图中?3所示；再根据速度瞬心的概念，可得?4?P34P46?l??3?P34P36?l?vP34，从而可求出构件４的角速度?4??3?P34P36P34P46，其中，P34P36和P34P46可以直接从图中量出，

构件４的速度方向如图中?4所示。

423n1n??P14v3P13P34P23n?P12nP24(b)（b）、图示机构共有４个构件，所以速度瞬心的数目为CN?2N(N?1)2?6。其中：P14和

P24分别在构件１和构件４、构件２和构件４形成的转动副处；P34在垂直于移动副导路的

无穷远处；P12在过高副接触点Ｂ的公法线n-n和瞬心P14、P24的连线的交点处；P23在过高副接触点Ｃ的公法线n??n?和瞬心P24、P34的连线的交点处；P13在瞬心P12和P23的连线与瞬心P14和P34的连线的交点处。

根据速度瞬心的概念，可得?1?P13P14?l?vP13?v3，其中，P13P14可以直接从图中

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量出。构件３的速度方向如图中v3所示。

6-3 在题6-3图的四杆闭运动链中，已知a?150mm，b?500mm，c?300mm，

d?400mm。欲设计一个铰链四杆机构，机构的输入运动为单向连续转动，确定在下列

情况下，应取哪一个构件为机架？①输出运动为往复摆动；②输出运动也为单向连续转动。

解：①当输出运动为往复摆动时，机构应为曲柄摇杆机构，此时应取四杆中最短杆的相邻杆，即b或d作为机架。

②当输出运动也为单向连续转动时，机构应为双曲柄机构，此时应取四杆中的最短杆，即a作为机架。

6-5 在题6-5图a、b中

题6-3图

(a)题6-5图

(b)（1） 说明如何从一个曲柄摇杆机构演化为题6-5图a的曲柄滑块机构、再演化为题

6-5图b的摆动导杆机构；

（2） 确定构件AB为曲柄的条件；

（3） 当题6-5图a为偏置曲柄滑块机构，而题6-5图b为摆动导杆机构时，画出构件

3的极限位置，并标出极位夹角?。

解：（1）当曲柄摇杆机构的摇杆为无穷长时，则原来摇杆与机架之间的转动副就变为移动副，原机构就演化为了题6-5图a的曲柄滑块机构。如果取曲柄滑块机构中的连杆作为机架，则曲柄滑块机构就演化为了题6-5图b的摆动导杆机构。

（2）对于图（a），构件AB为曲柄的条件是a?e?b；对于图（b），只要导杆BC足够长，满足装配要求，则构件AB始终为曲柄。

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（3）对于题6-5图（a），构件3的极限位置在曲柄１和连杆２的两次共线处，其极限

B?AC13123CC2132?B1B2(a)位置31、32和极位夹角?如图（a）所示；对于题6-5图（b），构件3的极限位置在曲柄１与滑块２形成的转动副Ｂ的轨迹圆与导杆３的切线处，即?ABC32和极位夹角?如图（b）所示。

其极限位置31、?90?，

3B3112?B121114A?12B23222C(b)

6-6 题6-6图为开槽机上用的急回机构。原动件BC匀速转动，已知a?80mm，b?200mm，lAD?100mm，lDF?400mm。

共69页 第12页 题6-6图

（1） 确定滑块F的上、下极限位置； （2） 确定机构的极位夹角；

（3） 欲使极位夹角增大，杆长BC应当如何调整？

解：（1）由于a?80mm?b?200mm，所以四杆机构ABC为转动导杆机构，

0

导杆AB也是曲柄，可以相对机架转动360，则滑块Ｆ的上、下极限位置如图中F2、F1的位置。

lAF2?lAD?lDF?100?400?500mm lAF1?lDF?lAD?400?100?300mm

（2） 对应滑块F的极限位置，可以确定出导杆AC的位置及滑块C的位置C1，C2。由图中几何关系，得

??arccosalBC?arccos80200?66.42?

则极位夹角??180??2??47.16?。

（3）欲使极位夹角增大，应使?角减小，所以杆长BC就当减小。

例6-3已知图6-14所示机构的结构尺寸、固定铰链点的位置和原动件的运动。试分别以构件CD和构件AB为原动件，确定机构中所有从动构件的运动。

F2FCC2?bDF1B?aA?C1 共69页 第13页

解：首先建立直角坐标系如图所示。 固定铰链点D、E、A的坐标分别为D(0,0)，E(xE,yE)，A(xA,yA)。当以构件CD为原动件时，机构为Ⅱ级机构；而当以构件AB为原动件时，机构为Ⅲ级机构。 （一）、以构件CD为原动件时

构件CD为定轴转动，已知原动件的运动，就是已知构件CD绕点D转动的角位置?1、角速度?1和角加速度?1

图6-14 铰链点C是构件CD上点，同时也是构件3上的点，而构件3是一个从动构件，因此，运动分析从铰链点C开始。

铰链点C是构件1上的点，运动约束为到点D之间的距离lCD不变，并且点C、D连线与坐标轴x正向之间的夹角为?1，所以可以写出其位置方程

?xC?xD?lCDcos?1 (a) ?y?y?lsin? (b)DCD1?C其中xD?yD?0,lCD和?1由题意是已知的，只有xC,yC两个未知数，因此，可以立即计算出铰链点C的位置。

将上式对时间t分别作一次、二次求导，可得点C的速度和加速度方程如下 ??vCx?vDx?lCD?1sin?1 (a) ??v?v?l?cos? (b)DyCD11?Cy其中 vDx?vDy?0

2??aCx?aDx?lCD?1cos?1?lCD?1sin?1 (a) ?2?a?a?l?sin??l?cos? (b)DyCD11CD11?Cy其中 aDx?aDy?0，根据已知的?1和?1，就可以求出铰链点C的速度和加速度。 确定出从动构件3上点C的运动之后，必须再确定构件3上另外一个点才能确定出构件3的运动。构件3上的点B和点F都可以作为下一步要求解的点。但是，在目前的条件下，

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无论是确定点B的位置、还是构件3上的点F的位置都必须联立三个或三个以上的方程才能求解。

如果现在转而分析构件2上的点F情况就不同了。构件2上点F受到两个运动约束：1）直线CF垂直于直线FE；2）点F到点E的距离保持不变，且为已知的机构结构参数。因此，可以建立构件2上点F的位置方程，如下：

2?(xF?xE)2?(yF?yE)2?lEF (a)? ?yF?yEyF?yC???1 (b)?x?xx?xEFC?F由于点C的位置已经求出，所以在上式中只有xF,yF两个未知数，方程为非线性方程组，可以利用牛顿迭代法求解，初始点的选取可以由在草稿纸上画出机构的大概位置来确定。当然方程也可以利用代数消元的方法求解。

在求得点F的位置之后，利用上式对时间的一阶和二阶导数，可以得到点F的速度方程

??(xF?xE)vFx?(yF?yE)vFy?(xF?xE)vEx?(yF?yE)vEy (a)???(2xF?xC?xE)vFx?(2yF?yC?yE)vFy?(xF?xC)vEx?(xF?xE)vCx ???(y?y)v?(y?y)v (b)FCEyFECy??式中vEx?vEy?0，只有两个未知数vFx和vFy，为线性方程组，可以直接求解。 利用上式对时间的二阶导数，求出点F的加速度方程：

??(xF?xE)aFx?(yF?yE)aFy?(xF?xE)aEx?(yF?yE)aEy?22?-(vFx-vEx)-(vFy-vEy) (a)???(2xF?xC?xE)aFx?(2yF?yC?yE)aFy?(xF?xC)aEx?(xF?xE)aCx ?2??(y?y)a?(y?y)a-2(v -vFxvCx -vFxvEx?vExvCx)FCEyFECyFx?2??-2(vFy -vFyvCy -vFyvEy?vEyvCy) (b)?其中aEx?aEy?0，方程仍然为线性方程，可以直接求解。

在求出点F的运动之后，便可以求解点B的运动了。点B既是构件3上的点，同时，也是构件4上的点，所以，它是继续进行机构运动分析的一个关键点，它所受到的运动约 束是：1）B、F、C共线；2）点B、C之间的距离保持不变。据此可建立出点B的位置方程：

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yB?yC?xB?xC? (a)?yF?yC ?xF?xC222?(x?x)?(y?y)?l (b)CBCBC?B点B的速度方程为：

??(yF?yC)vBx?(xF?xC)vBy?(yF?yB)vCx?(xF?xB)vCy????(yB?yC)vFx?(xB?xC)vFy (a) ??(x?x)v?(y?y)v?(x?x)v?(y?y)v (b)BCBxBCByBCCxBCCy??点B的加速度方程为：

??(yF?yC)aBx?(xF?xC)aBy?(yF?yB)aCx?(xF?xB)aCy???(yB?yC)aFx?(xB?xC)aFy-2(vBxvFy-vBxvCy-vCxvFy-vByvFx?? ??vByvCx?vCyvFx) (a)??(x?x)a?(y?y)a?(x?x)a?(y?y)aBCBxBCByBCCxBCCy??22-(v-v)-(v-v) (b)BxCxByCy??至此已经可以看出：运动分析的关键是位置方程的建立，速度和加速度方程可以分别将位置方程对时间求一阶和二阶导数得到。

在求出了以上各点的运动以后，机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点，因此，各个从动构件的运动都可以确定出来了。例如，构件3的质心点S3 的位置方程

?(xs3?xC)2?(ys3?2?(xs3?xB)?(ys3??yC)2yB)2??ls23Cls23B

构件3的角位置、角速度和角加速度分别为

tan?3?yBxB?yC?xC

?3??3??B?y?C)?(yB?yC)(x?B?x?C)(xB?xC)(ylBC?B???C)?(yB?yC)(??B???C)(xB?xC)(?yyxxlBC22

除了确定各个构件的运动，还可以确定构件与构件之间的相对运动。例如，要确定构件4与构件5的相对运动，由图6-14可知，构件4与构件5形成移动副，因此，两者之间的

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相对运动为移动，可以选构件4上的点B和构件5上的点A，以这两个点之间的距离变化表示构件4与构件5之间的相对运动，则相对运动的位置方程为

H2AB?(xA?xB)2?(yA?yB)2

相对运动的速度和加速度分别可由上式对时间的一阶和二阶导数求出。 （二）、以构件AB为原动件时

此时，点A、B之间距离H、vAB和aAB为已知的。构件5为液压驱动的油缸，构件

AB4为活塞。机构可以拆出构件1、2、3、4组成的Ⅲ级杆组，机构为Ⅲ级机构。

机构中铰链点B、C和构件2上的点F都不能分别求解，只能利用AB、BC、DC、EF之间的距离为已知的长度、点B、F、C共线和直线BF、EF垂直的运动约束，建立出三个待求点B、E、F的位置方程组，联立求解，即

f1f2f3f4f5f6??????(xB(xBxC2?xA)2?(yB?xC)2?(yB?yC22?lCD2????yA)2?H2AB??002yC)2?lBC0yE)2

?l2EF(xF(xC(xF?xE)?(yF??0??yF)?yE)?00?xF)(yC?xB)(xFyB)?(xC?xB)(yC?yB)(yF?xE)?(yF在上述方程中未知数的个数与方程数相等，在机构的可动范围内方程组有确定的解，方程组是非线性的代数方程，可采用牛顿迭代法等方法进行求解。

机构的速度和加速度方程仍然是由位置方程的一阶和二阶导数求得，与Ⅱ级机构相同，机构的速度和加速度方程均为线性方程组。

6-9 在题6-9图所示机构中，已知机构中各构件的杆长和固定铰链点A、D、F的位置、原动件的运动。试在以下两种情况下写出确定机构中所有从动构件运动的相应位置方程。 （1）以构件1为原动件； （2）以构件5为原动件。

解：首先建立直角坐标系如图所示。固定铰链点Ａ、Ｄ、Ｆ的坐标分别为A(0,0)、

D(xD,yD)、F(xF,yF)。

（1）、当以构件1为原动件时，该机构为Ⅱ级机构，可以逐点求解。先求点Ｂ的运

动。点Ｂ在构件１上，所以点Ｂ的位置方程为

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?xB?lABcos?1 ?y?lsin?AB1?ByGx题6-9图

点Ｃ到点Ｂ的距离保持不变，点Ｃ到点Ｄ的距离保持不变，根据这两个条件，可建

立Ｃ点的位置方程为

2?(xB?xC)2?(yB?yC)2?lBC ?222(x?x)?(y?y)?lCDCCD?D点Ｅ到点Ｂ的距离保持不变，点Ｅ到点Ｃ的距离保持不变，根据这两个条件，可建

立Ｃ点的位置方程为

2?(xB?xE)2?(yB?yE)2?lBE ?222?(xC?xE)?(yC?yE)?lCE在求出了以上各点的运动以后，机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点，

因此，各个从动构件的位置都可以确定出来了。

欲求构件5的运动，需要在构件5上确定一个特殊点G，如图所示。点G的位置方

程为：

?(xF?xG)2?(yF?yG)2??yG?yFx?xE???G?xG?xFyG?yE?2lFG

（2）、当以构件５为原动件时，该机构为Ⅲ级机构，不能逐点求解，而只能联立求

解。先确定点Ｇ的运动，其位置方程为

?xG?xF?lFGcos?5 ??yG?yF?lFGsin?5利用AB、BC、CD、BE、CE之间的距离保持不变，且为已知的长度，直线FG和

EG垂直的运动约束，建立三个待求点B、C、E的位置方程，即

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222?(xA?xB)?(yA?yB)?lAB?222(x?x)?(y?y)?lBCBCBC?222?(xC?xD)?(yC?yD)?lCD? ?222(xB?xE)?(yB?yE)?lBE?222?(xC?xE)?(yC?yE)?lCE???(xG?xF)(xG?xE)?(yG?yF)(yG?yE)?0六个方程需要联立求解。

例6-4 对图6-16a所示的平面二杆机械手进行逆运动学分析。

a b 图6-16 平面二杆机械手及其逆运动学分析 解：首先，考虑二杆机械手的工作空间，在此机构中运动输出为点P，所以，其工作空间就是点P可以到达的区域。

假设转动副A、B都是周转副，如果l1?l2，则点P可以到达的区域为以点A为圆心、半径为2l1的圆；如果l1?l2，则点P的可到达区域为以点A为圆心、外径为l1?l2、内径为l1?l2的圆环。如果转动副A、B不全是周转副，则点P的可到达区域显然要减小。

由题21图b可知，对于点P的位置(x,y)逆解有两个，分别用实线和虚线表示。 为了得到封闭解，将点A与点(x,y)连接起来，

r?x?yx22??arctany

根据余弦定理可得

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??arccosl1?l2?r2l1l2222， ??arccosr?l1?l22rl1222

则 ?2????， ?1????

式中，取“-”对应图6-16b中的实线所示的解，取“+”对应虚线所示的解。

例6-6 设计一个铰链四杆机构ABCD，实现连杆的三个精确位置P1Q1,，P2Q2，P3Q3。

解：在铰链四杆机构中，动铰链点B、C既是连杆上的点，同时，又是连架杆上的点，其轨迹为分别以固定铰点A和D为圆心，相应连架杆杆长为半径的圆弧，故称点B和C为圆点，而点A和D为圆心点。据此，可以得出机构的设计作图方法如下：

将给出的表示连杆精确位置的直线PQ扩大成一个平面封闭区域。在区域中任意取两个点作为圆点B、C，并由给定的连杆精确位置确定出B1、B2、B3和C1、C2、C3，如图6-18所示。

图6-18 实现连杆三个位置的铰链四杆机构设计 作B1B2连线的中垂线

a12，再作B2B3连线的中垂a23，则a12和a13的交点即为圆心点A的位置。

同样，作C1C2连线的中垂线d12和C2C3连线的中垂线d23，d12和d23的交点即为圆心点D的位置。

连接AB1C1D，就得到了所要设计的机构。机构的两个连架杆分别是AB、CD，连杆是BC，各个构件的杆长为直接从图中量出的长度乘以作图比例。

值得注意的是，在确定铰链点B、A的位置时没有考虑铰链点C、D，同样，在确定铰

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链点C、D的位置时没有考虑铰链点B、A的位置。这样的设计通常被称为“分边综合”。

此时的设计结果有无穷多个，因为点B、C在刚体的位置是任意选取的。如果直接将点P、Q作为圆点，则设计出来的机构与铰链四杆机构ABCD不同。

在机构运动设计中，除了对机构精确位置的要求之外，还可能有其他的设计要求。如果还要求机构为曲柄摇杆机构，则应检验设计出的机构是否满足曲柄摇杆机构的条件，如果不满足，则应重新选择圆点B、C，按照上述过程重新作图。

6-11 设计一个铰链四杆机构，如题6-11图所示。已知摇杆CD的长度lCD?75mm，机架AD的长度lAD?100mm，摇杆的一个极限位置与机架之间的夹角??450, 构件AB单向匀速转动。试按下列情况确定构件AB和BC的杆长

lAB,lBC，以及摇杆的摆角?。

（1） 程速比系数K=1;

题6-11图

（2） 行程速比系数K=1.5;

解：（1）、当行程速比系数K=1时，机构的极位夹角为 ??180?K?1K?1?0?

即机构没有急回特性，固定铰链点Ａ应在活动铰链点Ｃ的两个极限位置C1、C2的连线上，从而可确定活动铰链点Ｃ的另一个极限位置。选定比例尺，作图，如下图（a）所示。

C1C2?D45?B1AB2(a)直接由图中量取AC1?70.84，AC2?61.76，所以构件AB的长为

AC1?AC2270.84?61.762lAB???4.54mm

共69页 第21页

构件BC的长为 lBC?AC1?AC22?70.84?61.762?66.3mm

摇杆的摆角??7?

（2）、当行程速比系数K=1.5时，机构的极位夹角为 ??180?K?1K?1?180?1.5?11.5?1?36?

即机构具有急回特性，过固定铰链点Ａ作一条与已知直线AC1成36?的直线再与活动铰链点Ｃ的轨迹圆相交，交点就是活动铰链点Ｃ的另一个极限位置。选定比例尺，作图，如

C1C2???D45??B??2C2B1AB2(b)下图（b）所示。

B1?由图（b）可知，有两个交点，即有两组解。直接由图中量取AC1?70.84，

?AC2?25.75，AC2?169.88。故有解一：

构件AB的长为lAB?AC1?AC22AC1?AC22?70.84?25.75270.84?25.752?22.55mm

构件BC的长为lBC?摇杆的摆角??41? 解二：

构件AB的长为lAB???48.3mm

?AC2?AC12?169.88?70.842?49.52mm

共69页 第22页

构件BC的长为lBC??AC2?AC12?169.88?70.842?120.36mm

摇杆的摆角???107?

6-12 设计一个偏心曲柄滑块机构。已知滑块两极限位置之间的距离C1C2=50㎜，导路的偏距e=20㎜，机构的行程速比系数K=1.5。试确定曲柄和连杆的长度lAB,lBC。

解：行程速比系数K=1.5，则机构的极位夹角为 ??180?K?1K?1?180?1.5?11.5?1?36?

选定作图比例，先画出滑块的两个极限位置C1和C2，再分别过点C1、C2作与直线C1C2

成90????54?的射线，两射线将于点Ｏ。以点Ｏ为圆心，OC2为半径作圆，再作一条与直线C1 C2相距为e?20mm的直线，该直线与先前所作的圆的交点就是固定铰链点Ａ。作图过程如解题24图所示。

直接由图中量取AC1?25mm，AC2?68mm，所以 曲柄AB的长度为lAB?AC2?AC12AC1?AC22?68?25268?252?21.5mm

连杆BC的长度为lBC???46.5mm

C1C2C1C2?AeB290???B1

O解题6-12图 例6-7 设计一个转杆滑块机构，实现连杆精确位置（Pi,θi）i=2,?，n。

解：图6-21所示转杆滑块机构，可取机构的设计变量为

xA,yA,xB1,yB1,xC1,yC1。

共69页 第23页

这六个设计变量确定之后，机构的所有运动几何尺寸，包括各个构件的杆长、滑块导路的方位等，就确定出来了。

机构运动过程中，动铰链点B、C的运动约束是：（1）从连杆BC上看，点B、C之间的距离保持不变；（2）从连架杆AB上看，点B到点A的距离保持不变；（3）从连架杆滑块C上看，点C始终在一条直线上运动。

由于设计要求给出了连杆精确位置（Pi,θi）i=2,?，n。由（Pi,θi）i=2,?，n，可以很容易地写出连杆的位移矩阵。如果利用连杆的位移矩阵方程建立连杆上点B、C在连杆第1位置时的坐标与其在连杆第i位置时的坐标之间的关系，则运动约束（1）就不再是独立的了。利用了连杆的位移矩阵方程，就不能再利用运动约束（1）了。

根据以上分析，可以确定出机构设计方程建立的主要途径：利用连杆的位移矩阵方程和利用连架杆的运动约束。

运动约束（2）和（3）的数学表达为：

(xB1?xA)?(yB1?yA)?(xBi?xA)?(yBi?yA) i?2,3,... (1)

2222xC1xC2xCiyC1yC2yCi111?0 i?3,4,..... (2)

由设计要求给出的连杆精确位置（Pi,θi）i=2,?，n，可以写出连杆从第一位置到第i位置的位移矩阵：

?cos?1i?sin?1i??0??sin?1icos?1i0xPiyPi?xP1cos?1i??xP1sin?1i?1yP1sin?1i??yP1cos?1i (3)

????D1i??铰链点B、C满足位移矩阵方程 ?xBi?y?Bi??1?xCi?y?Ci??1???????????xB1????[D1i]yB1 (4)

????1???xC1????[D1i]yC1 (5)

????1??在式（1）中有中间变量xBi,yBi，将位移矩阵方程（4）代入，就可以消去中间变量，得到只含设计变量xA,yA,xB1,yB1的设计方程；同样，将式（5）代入式（2）可得到只含

共69页 第24页

设计变量xC1,yC1的设计方程。

为了便于求解，应当将联立求解方程的数目减少到最少，因此，设计方程的求解与图解法相同，也采用“分边综合”：求解只含设计变量xA,yA,xB1,yB1的设计方程确定出点A、B1，求解只含设计变量xC1,yC1的设计方程确定出点C1。

从代数学中可知：当方程个数小于方程中的未知数数目时，可以任意假设一些未知数，方程有无穷多解；当方程个数大于方程中的未知数数目时，方程一般无解；只有当方程个数与方程中的未知数数目相等时，方程才有确定的解。含设计变量xA,yA,xB1,yB1的设计方程中有四个未知数，当给定连杆n个位置时，可以得到n-1个设计方程。由此可知，当给定连杆五个位置时，含设计变量xA,yA,xB1,yB1的设计方程才有确定的解。由此可以得出结论：由铰链点A、B组成的杆组可以实现的连杆精确位置的最大数目为5。由铰链点A、B组成杆组的导引方式称为转杆导引。

下面通过具体数值的例子进行说明。 设需要实现的连杆精确位置为三组位置

ii?1 ?2 3 xpi ypi ?i 1.0 2.0 3.0 1.0 0.5 1.5 300 300 750 i?刚体从第1位置到第2位置的位移矩阵 ?12??2??1?cos0??sin0????0?0? ?sin0?cos0?02?cos0??sin0???0.5?sin0??cos0?

??1??D12??由式（4）得

共69页 第25页

xB2?xB1cos0?yB1sin0?2?cos0?sin0????????yB2?xB1sin0?yB1cos0?0.5?sin0?cos0带入式（1）得????（（xB1cos0?yB1sin0?2?cos0?sin0）?xA)????222

?((xB1sin0?yB1cos0?0.5?sin0?cos0)?yA)?(xB1?xA)?(yB1?yA) (a)刚体从第1位置到第3位置的位移矩阵

?13??3??1?45?

?D13???cos45??sin45???0??sin45?cos45?03?cos45??sin45???1.5?sin45??cos45?

??1?由式（4）得

xB3?xB1cos45?yB1sin45?3?cos45?sin45????????yB3?xB1sin45?yB1cos45?1.5?sin45?cos45带入式（1）得????（（xB1cos45?yB1sin45?3?cos45?sin45）?xA)????222

?((xB1sin45?yB1cos45?1.5?sin45?cos45)?yA)?(xB1?xA)?(yB1?yA) (b)方程（a）(b)中共有四个未知数xA,yA,xB1,yB1，所以可以任意假设其中的两个。如果取xA?0, yA?0，联立方程（a）(b)解出xB1?0.994078, yB1?3.238155。

如果取不同的xA,yA，可以得到不同的解。这就说明了在精确连杆位置数目为三的情况下，设计方程有无穷多解。

现在对含设计变量xC1,yC1的设计方程（由式（2）得到）进行分析。含设计变量xC1,yC1的设计方程中有两个未知数，当给定连杆n个位置时，可以得到n-2个设计方程。所以，在给定精确连杆四个位置的时候，设计方程就有确定的解了。由此得出结论：由滑块和转动副组成的杆组可以实现的连杆精确位置的最大数目为4。滑块和转动副组成杆组的导引方式称为滑块导引。

对于上面的三个连杆精确位置，由式（2）得到滑块导引的设计方程

共69页 第26页

xC1xC1cos0?yC1sin0?2?cos0?sin0?????????yC1xC1sin0?yC1cos0?0.5?sin0?cos0???????11?01xC1cos45?yC1sin45?3?cos45?sin45 xC1sin45?yC1cos45?1.5?sin45?cos45方程中有两个未知数xC1,yC1，可以任意设其中一个。设xC1?10，解出yC1??1.0106。

图6-21所示的转杆滑块机构，如果确定了所有设计变量xA,yA,xB1,yB1,xC1,yC1，则机构的运动几何尺寸就可以按下面的计算方法确定出来。对于上面的三个连杆精确位置及设计方程的解可以得出

lAB?lBC?(xA?xB1)?(yA?yB1)222?3.38762(xB1?xC1)?(yB1?yC1)yC1?yC2xC1?xC2?14.030?9.9578

??arctan其中xC2,yC2仍由位移矩阵方程（5）计算得出。滑块导路的位置由?,xC1,yC1便可以确定了。

6-16 设计一个带有一个移动副的四杆机构（题6-16图），实现输入杆AB转角?j与输出滑块CC’的移动Sj之间的对应关系。已知起始时?0和S0、固定铰链点A的坐标。

题6-16图 （1） （2） （3） （4）

分别写出从起始位置到第j组对应位置，构件AB和滑块的位移矩阵； 如何得到机构的设计方程？

分析该机构最多能够实现多少组精确对应位置关系。 如何求出机构的L2, L3,L4 ?等机构运动参数？

共69页 第27页

解：已知xA，yA，xC1??xA?S0，yC1??yA；则设计变量为xB1，yB1，xC1，yC1。 （1）、从起始位置到第j组对应位置，构件AB和滑块CC?的位移矩阵分别为

?D?1jAB?cos?1j??sin?1j???0?1??0???0010?sin?1jcos?1j0xA(1?cos?1j)?yAsin?1j??yA(1?cos?1j)?xAsin?1j j?2,3,.. .??1??D?1jCC?Sj?S1??0 j?2,3,.. .??1?（2）、铰链点Ｂ和Ｃ还满足Ｂ、Ｃ之间的距离保持不变的运动约束，为此建立约束方程为

(xB1?xC1)?(yB1?yC1)?(xBj?xCj)?(yBj?yCj) j?2,3,. .

2222式中铰链点Ｂ和Ｃ还满足位移矩阵方程

?xBj??yBj?1??xCj??yCj?1?????[D1j]AB???xB1???yB1 (a) ????1????xC1???? (b) ?[D]y?1jCC?C1?????1???将(a)和(b)代入运动约束方程就得到仅含设计变量的方程，从而可求解。

（3）、由于有４个设计变量，当给定n组对应位置时，可以得到n-1个方程，所以该

机构最多能够实现５组精确对应位置关系。

（4）、在确定了设计变量为xB1，yB1，xC1，yC1之后，机构的L2, L3,L4 ?等机构运动参数分别为

L2?(xB1?xA)?(yB1?yA)

22L3?L4?(xB1?xC1)?(yB1?yC1) (xC1?xC1?)?(yC1?yC1?)

yC1?yC1?xC1?xC1?2222??arctan

共69页 第28页

6-18 设计一个曲柄摇杆机构ABCD，利用连杆上点P的轨迹拨动摄像胶片,如题6-18图所示。已知A(-12.14, 3.06)，D(-7.10, -0.52)，P1(0, 0), P2(-4.07, -0.5), P3(-2.10, 3.05), ?12?131?，

??13?277.5。确定机构中各个构件的杆长，并检验机构是否存在曲柄。

题6-18图

解：已知xA，yA，xD，yD；则设计变量为xB1，yB1，xC1，yC1。 杆AB的位移矩阵为

?D1i?AB?cos?1i??sin?1i???0?sin?1icos?1i0xA(1?cos?1i)?yAsin?1i??yA(1?cos?1i)?xAsin?1i i?2,3 ①

??1?连杆上点Ｂ和Ｐ满足Ｂ、Ｐ之间的距离保持不变的运动约束，为此建立约束方程为

(xB1?xP1)?(yB1?yP1)?(xBi?xPi)?(yBi?yPi) i?2,3 ②

2222同时，铰链点B又是构件AB上的点，铰链点Ｂ还满足位移矩阵方程 ?xBi???yBi?[D1i]AB????1???xB1???yB1 ③ ????1??将③式代入运动约束方程②就得到仅含设计变量xB1和yB1和两个方程，从而可解出xB1和yB1。

代入具体数值，得

?D12?AB??0.6561??0.7547??0??0.7547?0.65610?17.7954??14.2296

??1??xB2??0.6561xB1?0.7547yB1?17.7954所以由③式有?

?yB2?0.7547xB1?0.6561yB1?14.2296 共69页 第29页

?D13?AB?0.1305???0.9914??0?0.99140.13050?13.5891???9.3756

??1??xB3?0.1305xB1?0.9914yB1?13.5891所以由③式有?

y??0.9914x?0.1305y?9.3756B1B1?B3分别代入②式有

?(xB1?0)2?(yB1?0)2?(?0.6561xB1?0.7547yB1?17.7954?4.07)2?(0.7547xB1?0.6561yB1?14.2296?0.5)2?2222?(xB1?0)?(yB1?0)?(0.1305xB1?0.9914yB1?13.5891?2.1)?(?0.9914xB1?0.1305yB1?9.3756?3.05)?xB1??10.1607 由上式可以解出?

?yB1?2.5561?xB3??12.3812?xB2??13.0583从而可以求出?；?；

y?1.0319y?4.8844?B2?B3在确定出xB1、yB1、xB2、yB2、xB3、yB3后，就可建立连杆的位移矩阵为

?cos?1i??sin?1i???0?sin?1icos?1i0xPi?xP1cos?1i?yP1sin?1i??yPi?xP1sin?1i?yP1cos?1i i?2,3 ④

??1?yPi?yBixPi?xBi?D1i?BC式中：?1i??i??1，i?2,3，?i?arctan i?1,2,3

摇杆上铰链点Ｃ和Ｄ满足Ｃ、Ｄ之间的距离保持不变的运动约束，为此建立约束方程为

(xC1?xD)?(yC1?yD)?(xCi?xD)?(yCi?yD) i?2,3 ⑤

2222式中铰链点Ｃ还满足位移矩阵方程 ?xCi?y?Ci??1???[D1i]BC????xC1???yC1 ⑥ ????1??将⑥式代入运动约束方程⑤就得到仅含设计变量xC1和yC1和两个方程，从而可解出

xC1和yC1。

代入具体数值，得

?1?arctanyP1?yB1xP1?xB1?arctan0?2.55610?10.1607??0.2465

共69页 第30页

?2?arctanyP2?yB2xP2?xB2yP3?yB3xP3?xB3?arctan?0.5?4.8844?4.07?13.05833.05?1.0319?2.1?12.3812??0.5397

?3?arctan?arctan?0.1938

所以?12??2??1??0.5397?0.2465??0.2932

?13??3??1?0.1938?0.2465?0.4403

?0.9573???0.289??0?0.2890.95730?4.07???0.5

?1???D12?BC?xC2?0.9573xC1?0.289yC1?4.07所以由⑥式有?

y??0.289x?0.9573y?0.5C1C1?C2?0.9046??0.4262???0?0.42620.90460?2.1??3.05

?1???D13?BC?xC3?0.9046xC1?0.4262yC1?2.1所以由⑥式有?

y?0.4262x?0.9046y?3.05C1C1?C3分别代入⑤式有

?(xC1?7.1)2?(yC1?0.52)2?(0.9573xC1?0.289yC1?4.07?7.1)2?(?0.289xC1?0.9573yC1?0.5?0.52)2?2222?(xC1?7.1)?(yC1?0.52)?(0.9046xC1?0.4262yC1?2.1?7.1)?(0.4262xC1?0.9046yC1?3.05?0.52)?xC1??4.7026 由上式可以解出?

?yC1?2.6021从而可确定出机构中各个构件的杆长分别为

lAD?lAB?(xA?xD)?(yA?yD)?(xA?xB1)?(yA?yB1)22222(?12.14?7.1)?(3.06?0.52)?6.1821 (?12.14?10.1607)?(3.06?2.5561)22222??2.0424

2lBC?lCD?(xB1?xC1)?(yB1?yC1)?(xC1?xD)?(yC1?yD)?222(?10.1607?4.7026)?(2.5561?2.6021)?5.4583 (?4.7026?7.1)?(2.6021?0.52)?3.9364

22在上述四杆中，因为lAB?lAD?lBC?lCD，即最短杆与最长杆的杆长之和小于其余两杆的杆长之和，并且最短杆是lAB，所以该机构一定存在曲柄。

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5-6 题5-6图为一个对心直动滚子从动件盘形凸轮机构，凸轮为原动件，图示位置时凸轮在与滚子接触点B的曲率中心在点O。试对机构进行高副低代，并确定机构的级别，验证替代前后机构的自由度、凸轮1与从动件2之间的速度瞬心都没有发生变化。

解：增加一个新的构件1?与原构件１和从动件２分别在高副接触点的曲率中心O?和原滚子中心以转动副相联接，如图（b）所示，就完成了原高副机构的高副低代。

机构可以拆出一个Ⅱ级基本杆组、原动件和机架组成的单自由度机构，所以原机构为Ⅱ级机构。

替代前机构的自由度为F?3n?2Pl?Ph?3?2?2?2?1?1； 替代后机构的自由度为F?3n?2Pl?Ph?3?3?2?4?1；

替代前凸轮1与从动件2之间的速度瞬心P12在过高副接触点Ｂ的公法线n-n和瞬心

P13、P23的连线的交点处，如图（a）所示；替代后凸轮1与从动件2之间的速度瞬心P12在

’

瞬心P11?和P1?2的连线与瞬心P13和P23的连线的交点处，如图（b）所示。

由以上分析可知：替代前后机构的自由度、凸轮1与从动件2之间的速度瞬心都没有

3322P1?2BnP12高副低代 1P13O1?P23P13OP121P23P11?O?O?(a)发生变化。

n(b)7-2 设凸轮机构中从动件的行程为h，凸轮推程运动角为?0。试推导当推程从动件的运动规律为余弦加速度运动规律时，从动件位移s与凸轮转角?之间的关系应为：

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s?h2[1?cos(??0?)]。

解：设余弦加速度方程为a?accos(动件的速度始终为正值。

对上式积分得

v????0其中?0与?相对应是为了保证在推程中从)，

?adt??accos(???0)dt??accos(???t?0)dt??0???acsin(???t?0)?C1

再对上式积分得 s??vdt??(???a?0csin(???t?0)?C1)dt???0222???accos(???t?0)?C1t?C2

再由边界条件??0时，v?0，s?0；???0时，v?0，s?h；确定出待定常数和积分常数为

h???2)； C1?0；C2?；ac?(22?0h将上式代入位移表达式得

s?h2[1?cos(??0?)]

7-5 补全题7-5图不完整的从动件位移、速度和加速度线图，并判断哪些位有刚性冲击，哪些位置有柔性冲击。

解：根据关系式v?dsd??，a?dvd??，补全后的从动件位移、速度和加速度

线图如上右图所示。在运动的开始时点Ｏ，以及?/3、4?/3、5?/3处加速度有限突变，

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所以在这些位置有柔性冲击；在2?/3和?处速度有限突变，加速度无限突变，在理论上将会产生无穷大的惯性力，所以在这些位置有刚性冲击。

7-7 在题7-7图中所示的摆动滚子从动件盘形凸轮机构中，已知摆杆AB在起始位置时垂直于OB，lOB?40mm，lAB?80mm，滚子半径rr?10mm，凸轮以等角速度?逆

时针转动。从动件的运动规律是：凸轮转过180?，从动件以正弦加速度运动规律向上摆动

30；凸轮再转过150时，从动件以等加速等减速运动运动规律返回原来位置；凸轮转过

??其余30?时，从动件停歇不动。

(1)、试写出凸轮理论廓线和实际廓线的方程式。

(2)、画出凸轮的实际廓线，看看是否出现变尖、失真等现象。如果出现了这些现象，提出

xAB1?B???0B2?O题7-7图 改进设计的措施。

y解：(1)、摆杆的最大摆角为30?，推程为180?，回程为150?，远休止角为0?，近休止角为30?，确定从动件的运动规律为

?1?????30?sin(2?)??180?2???????30?2?30(??180)22?150?2?302??150?(??180)???2150???0?0????180?180????255? 255????330?330????360? 共69页 第34页

建立直角坐标系，将坐标原点选在点Ｏ，x轴沿OA方向，如上右图所示。 凸轮的基圆半径ro?lOB?40mm；

lOA?lAB?lOBlOBlAB22?80?40408022?89.44mm；

?0?arctan?arctan?26.57?；

由上图中的几何关系可以写出 ?xB1??lOA?lABcos(?0??)?OB1?????? y?B1???lABsin(?0??)?OB2??R???OB1

式中?R??????cos???sin?sin??? cos??所以凸轮理论轮廓线的方程式为 ?x??cos??????y???sin?sin???lOA?lABcos(?0??)?? ??cos????lABsin(?0??)?由于滚子半径rr???x?x?10???y??y?10???10mm，所以凸轮实际轮廓线的方程式为 ?dyd?(dyd?)?(dxd?)dxd?(dyd?)?(dxd?)222

2

(2)、画出凸轮的实际廓线如下图所示，从图中可以看出没有出现变尖、失真等现象。如果出现了这些现象，就应该减小滚子半径或增大基圆半径重新设计。

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8-3 推证渐开线齿轮法向齿距pn、基圆齿距pb和分度圆齿距p之间的关系为式为

pn?pb?pcos???mcos?。

证明：根据渐开线的性质：即渐开线的发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度有pn?pb

设齿轮的齿数为z，模数为m，基圆半径为rb，分度圆半径为r，压力角为?

因为 zpb?2?rb，zp?2?r 又因为 rb?rcos? 所以 pb?pcos? 因为 p??m

所以 pn?pb?pcos???mcos? 证毕。

ppbpn?rbrraO解题8-3图

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8-4 用范成法加工渐开线直齿圆柱齿轮，刀具为标准齿条型刀具，其基本参数为：

m?2mm，??20?，正常齿制。

122.5rads（1） 齿坯的角速度??时，欲切制齿数z?90的标准齿轮，确定齿坯

中心与刀具分度线之间的距离a和刀具移动的线速度v； （2） 在保持上面的a和v不变的情况下，将齿坯的角速度改为??123rads。这样所

切制出来的齿轮的齿数z和变位系数x各是多少？齿轮是正变位齿轮还是负变位齿轮？

（3） 同样，保持a和v不变的情况下，将齿坯的角速度改为??122.1rads，所切制

出来的齿轮的齿数z和变位系数x各是多少？最后加工的结果如何？ 解：（1）、由于是加工标准齿轮，齿坯中心与刀具分度线之间的距离为

a?mz2?2?902?90mm

刀具移动的线速度为

v?mz2???2?902?122.5?4mms

（2）、齿轮的齿数z为

z?2vm??2?42?123?92

变位系数x为

a?x?mz2?90?2?9222??1

m因为变位系数小于零，所以齿轮是负变位齿轮。 （3）、齿轮的齿数z为

z?2vm??2?42?122.1?88.4

变位系数x为

a?x?mz2?90?2?88.422?0.8

m因为变位系数为正，所以齿轮是正变位齿轮。但由于齿数不是整数，最后加工的结

果将产生乱齿现象，得不到一个完整的齿轮。

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8-5 一个渐开线标准正常直齿圆柱齿轮，齿轮的齿数Z=17，压力角??20?，模数m=3㎜。试求在齿轮分度圆和齿顶圆上齿廓的曲率半径和压力角。

解：如题34图所示，由已知条件得

r?mz2?3?172?25.5mm

rb?rcos??25.5cos20??23.96mm ra?r?ham?25.5?1?3?28.5mm

*?a?其中，h确定的。

*a?1是由齿轮为正常齿制齿轮

??arbrra根据渐开线的几何尺寸关系，可以得到在齿轮分度圆上齿廓的压力角和曲率半径分别为

??arccosrbr?arccos23.9625.5?20?

??rbtan??23.96tan20??8.72mm

在齿轮齿顶圆上齿廓的压力角和曲率半径分别为

O解题8-5图

?a?arccosrbra?arccos23.9628.5?32.79?

?a?rbtan?a?23.96tan32.79??15.44mm

8-6 推证渐开线齿轮不根切的最小变位系数xmin由式x?xmin?ha(zmin?z)zmin*确定。解释当

z?zmin时，xmin的物理含义。

证明：当被加工的齿轮的齿数z?zmin时，为了防止根切，刀具的齿顶线应移至点N1或点N1以下，如图所示，应使

N1Q?ham?xm

*即xm?ham?N1Q

Q*又因N1Q?PN1sin?

题8-6图

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而PN1?rsin??故N1Q?mz22mz2sin?

sin? z2sin?

2*所以x?ha?又因为zmin?z22ha2*sin?2，即sin??*22hazmin**，代入上式，得

x?h?*asin??h?*az2ha2zmin?ha(zmin?z)zmin

当z?zmin时，xmin的物理意义是指加工刀具可以向齿坯转动中心移动、而齿轮不

发生根切现象的最大变位系数。

8-7 用一个标准齿条形刀具加工齿轮。齿条的模数m*高系数ha?4mm，齿形角??200，齿顶

?1，顶隙系数c*?0.25，齿轮的转动中心到刀具分度线之间的距离为

H?29mm，并且被加工齿轮没有发生根切现象。试确定被加工齿轮的基本参数。

?mz2解：由于H一般与被加工齿轮的分度圆半径的大小相近，所以有H得 z?2Hm?2?294?14.5

，由此可

由于齿数数已经小于标准齿轮不根切的最小齿数17，所以只可能是正变位齿轮。如果将齿轮的齿数圆整为z定会发生根切现象。

将齿数圆整至整数z?14，则由

H?mz2?xm

?15，则H?15?42?30mm，为负变位齿轮，则齿轮一

H?mz2?29?4?1424?0.25

可得 x?m此时齿轮不根切的最小变位系数为

xmin?ha(zmin?z)zmin*?1?(17?14)17?0.176

故变位系数x?0.25?0.176满足齿轮不根切条件。

所以被加工齿轮为正变位齿轮，齿数为14，变位系数为0.25。

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分度圆半径为r?mz2?4?142?28mm

基圆半径为rb?rcos??28cos20??26.31mm

*齿顶圆半径为ra?r?(ha?x)m?28?(1?0.25)?4?33mm

齿根圆半径为rf?r?(ha?c*?x)m?28?(1?0.25?0.25)?4?24mm

例8-1 在下列情况下确定外啮合直齿圆柱齿轮传动的类型： （1）z1?14,z2?40,?**?15?,ha*?1,c*?0.25。

解：由式zmin?2ha2sin?可得zmin?30，由于 z1?z2?2zmin，这对齿轮传动

只能采用正传动。变位系数的选择应满足x1?x1min,x2?x2min。 （2）z1?33,z2?47,m?6mm,??*20?,ha?1,.a'?235mm

解：因为a?m(z1?z2)2?240mm?a'?235mm

所以，必须采用负传动。齿轮的变位系数由无齿侧间隙方程确定：

?'?arccos(?acos?a')?16.32?x1?x2z1?z22tan?

(inv16.32??inv20?)??0.763至于x1和x2各取什么值，还应根据其他条件确定。 （3）z1?12,z2?28,m?5mm,??*20?,ha?1,要求无根切现象。

解：由已确定的参数可知，不根切的最少齿数为17，根据各种传动类型的齿数条件可知：可以采用的齿轮传动类型是等变位齿轮传动、正传动和负传动。 （4）a'?138mm,m?4mm,??*20?,ha?1,i12?53.传动比误差不超过

?1%

解：z1?2a'm(1?i12)?25.875

若取z1?25, z2?42

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