静电场 恒定电流场

第一章 静电场 恒定电流场

主要内容：

第1节 第2节第3节第4节第5节第6节第7节 第8节 第9节静电的基本现象和基本规律

电场 电场强度 高斯定理

电势及其梯度 静电场中的导体 静电能

电容和电容器

静电场边值问题的唯一性定理

恒定电流场

1

第1节 静电的基本现象和基本规律

一、两种电荷 二、电荷守恒 三、库仑定律

f?qq0qq0???r2，f?k2 f? q r q0 f q对q?r

qq?0rr

0：f?kr2?r

q???0对q：f??f，k?9?109Nm2/C2

k?14??，?0：真空介电常数，?0?8.85?10?12C2N?1m?2 0 ?f?1qq?0r4??2? 0rr第2节 电场 电场强度

q1?电场?q2

一 电场强度 试验电荷q0：（1）电量很小，（2）体积很小

1、

，不同位置，?f/q0一般不同 2、

，同一位置，?? ??f,f?,?f??,? ? f/q0?f?/q?0??f??/q0???? f/q0与试验电荷无关仅与电场中位置有关定义：电场强度E???

f/q0，SI：N/C

（1）E???f，E??1q

（2）E?0与q0的正、负无关 （3）点电荷q??

0：f?q0E 二 电场强度的计算 1、

电荷的电场

?f?1qq?04???r ?f

0r2rE???f/q1q?0=

4??2?r， r? q0 0rr2

q0q0,q?0,q0??,? 点

E?1q4?? q

0r2

q?0 q?0

球对称电场

2、

电荷系 ?f?? f?????1?f2fn =1q?? q0

1q0r1r1 4???r? 0r21q11 ?r??2 rn ?1q2q0r24??2?? q2 0r2r2 ???1q?nq04??2?rn qn 0rn E??r?f?1qr?n??111q2r21qnrn2??2????2? E?q?E?04???0r1r?14??0r2r24??0rnrn1?E2???En 场强迭加原理例：电偶极子 ?q l?

q?电偶极矩P??ql?0

， P?

P?ql，?q指向q E?? （1）

? A E?垂线上某点??A E?A?E??E? A ? E1q??4??， E?? r 0r2?(l2)2? E??E?， ?q l/2 O l/2 q EA?E?cos??E?cos?=2E?cos?

=21ql/24??r2?(l/2)2r?(l/2)=1P220224??r?(l/2)]3/20[ E?1P?A??4??223/2 0[r?(l/2)] 点

中

3

r??l，E?1P?A??4??3 0r （2）延长线上某点B

? r EB ?q l/2 O l/2q E??? B E?

E???B?E??E?

E1q1q??4??，E??0(r?ll

2)24??0(r?2)2 E?E12rPB?E??=4??l

0(r?l)2(r?)22 E?12rP?2B?4??0(r?l)2(r?l

)22 r??l，E?12P?2B?4??3 0r3、

续电荷分布的电场 ?dE??1dqr?dE

4??2? r? P 0rrdE?1dq4??2 dq 0r E???dE???1dqr?4??2? 0rrOxyz：dE??dE???xi?dEyj?dEzk Ex??dEx，Ey??dEy，Ez??dEz

E??E???xi?Eyj?Ezk，一般情况下，E??dE （1）

荷线密度??dqdl dq dq??dl ? dl （2）

荷面密度??dqdS ? dSdq dq??dS

（3）

4

连

电

电

电

荷体密度??dqdV ? dq dq??dV dV

例： y 解：dq??dx dE? dEy dE?1dq4??=1?dx， dEx P 0r24??20r dEx?dEco?s a dE? ? r 1 ? ?2 y?dEsin?

? L O x dx xE??dE1?dx xx=?dEcos?=?4??2cos? 0r a/x?tg??tg(???)??tg?，x??act?g，dx?acsc2?d?

a/r?sin??sin?(??)?sin?，r?acs?c E?1?acsc2?d???2x?4??22cos?=0acsc?4??cos?d? 0a??1 =?4??a(sin?2?sin?1)

0E?dEsin?=??2y??dEy=4??sin?d?

0a??1 =?(cos?1?cos?2)E?4??

0a?E??j E?xi?Ey

讨论：?不变，L?? ?1?0，?2?? Ex?0

E?y?2?? 0a E??2??

0a 轴对称电场 例：

解：dq??dl，（??q2?R） dl dE?1dq4??2=1?dl??2， RO rdE?? x ? dEx x0r40rPcos? q dE ? dE?x?dE? dE dE??dEsin? dl??dl

5

?由于对称性，E??0

1?dlcos?

4??0r2x?cos??cos?qcos?cos?? ===，，r?x2?R2 dl2?R222?r4??0r4??0r4??0r1qx E?223/24??0(x?R)讨论：（1）x?0，圆心处，E?0

1q （2）x??R，E?

4??0x2

例：均匀带电圆盘

?求：轴线上E ? dr ?解：dS?2?rdr R r dE r O dq??dS??2?rd x P x

1xdq dE?

4??0(x2?r2)3/2?xrdr1x?2?rdr == 223/2223/22?0(x?r)4??0(x?r)R?xrdr E??dE??

02?(x2?r2)3/20122d(x?r)?xR?xR21?(?) = 223/2?2202?0(x?r)2?0x?r0?x11?x =(??)?(1?)

22222?0x2?0x?Rx?RE?Ex??dEx=?dEcos?=?讨论：?不变，R??，无限大均匀带电平面，E?? 2?0 ??0 ??0

? E

y 例：细圆环（R） d? ???0cos?

?dl R 求：圆心处E ???0cos?

dEx ? 解：dl?Rd?

O x dq??dl??0cos?Rd? ?dE dEy 6

dE?dq?0cos?d?4??R2? 04??0R dEx??dEco?s，dEy??dEsin?

E?x??dEx=??dEcos?=??2?004??cos2?d?

0R =??02?1?cos2?4??d=?0 0R?02??4?0RE2??y??dEy=??dEsin?=??004??cos?sin?d?=0

0RE????0?4?i

0R

例：无限长均匀

带电薄板（宽b，?）

求：P点E? ? 解：dE??2??1 0(a?b?x) a ????1?dx??dx O x dx P dE? x dE=?dx2??a?b?x)， b 0(E??dE??b?dx02??=?[?ln(a?b?b0(a?b?x)2??x)]00

=?a?b2??ln 0a第3节 高斯定理

一 电力线

E?d?dS E? E? d? ?E等于通过和电场

相垂直的单位面积 dS?上的电力线条数 性质：

1起自正电荷，终止于负电荷，在无电荷区域不能中断 2不能形成闭合曲线，任意两条电力线不能相交 二 电通量

穿过曲面S的电力线 S 条数?：电通量（标量）

1均匀电场 2、均匀电场

7

E ? S n n

?? n E ? ?S ? E

S?

??ES ??ES??EScos??EnS 3、任意电场中的任意曲面 ??n d??EdS??EdScos??EndS ? E ?? 定义：面元矢量dS?dS?n

?? E?dS?EdSco?s S dS ?? d??E?dS

?? ???d???E?dS ? S 闭合曲面：

?? ???E?dS

S? 取闭合曲面的外法线方向 ? n 为正法线方向

三 高斯定理 高斯面

??1 ???E?dS??qi

S????证明：1、???E?dS n E

S?0内 =?Ecos?dS， S r dS S =?dS， q O 4??0r2qq24?r? =，与r无关 4??0r2?0?? 2、???E?dS S S??球面 ??E?dS

q 球面q ?

Sq?0 3、

S

q ?? ???E?dS=0 S8

4、任意电场，任意闭曲面S

Q1 q1 S Q2 q2

E? ?E? ?Qm ? qn ???q1?Eq2???Eqn?EQ1?EQ2???E ???SE??dS?=?(E????Qm

?q1???Eqn?EQ1???EQm)?dS

=?SE??S??????q1?dS????SEqn?dS??SEQ1?dS????SEQm?dS

=

q1n????q0??0???0=

1?qi

0?0内?仅与?q?i有关，E与所有电荷及其分布有关

内四 高斯定理的应用

例：均匀带电球面

解：1、r?R dE?? E? n? E? ?

dS P dE Q Q

O dS? O R r

???SE??dS???SEcos?dS

=E?dS=E4?r2?QS?，E?Q04??0r2

2、r?R

?????SE?dS

Q =?SEcos?dS， O =E4?r2?0， r E?0

?r?R E??0?Q??4??2r?R S 0r E Q

E?1r2 R ??r ???QSE?dS??

0

9

例：均匀带电球体，??Q43?R3

解：1、r?R

?? ???E?dS Q R S =E4?r2? E?QQ?0

O r 4??0r22、r?R

?? ???E?dS Q R S =E4?r2

4 =???r3/?0

3 E?O 1 E?? E?2 Qr?r?R2??4??0r R r

?r 3?0??r??3?0r E r?R

Q2 Q1

? O O

场强计算与高斯定理习题课

例：E??解： E ??dE dE? P

? dl??dl O dl

???? ???E?dS n E SS? 2??0r?Ecos?dS =?， E

10

=?侧Ecos?dS， ? n?

+?左Ecos?dS， n? r +?右Ecos?dS， E? l =E?dS=E?2?rl=

?l侧?，E??

02??0r问题1、高斯面只包围了部分电荷，求出的场强是这一

部分电荷的场强还是整根均匀带电直线的场强？

问题2、对于一段有限长均匀带电直线段，能否用该方法 求其场强？

?

l

???SE??dS?=?l?

0

1 ?， 1 ?

轴对称电场

例：E??2?

0解： C A B ?

O dE?E? P dE??

C? A?

11

? B? n ??????E?dS ? E S?? =?Ecos?dS， n n

S?? =?Ecos?dS， E S S S E

侧 +?Ecos?dS， h h

左右 +?Ecos?dS =0+ES+ES=2ES=

?S?，E? ?02?0

E ? 2?0

O x

? 2?0例： ??0 ?? ? E? ?

????? E? E? E? E? E?

I， II III

?求：E

???解：E?E??E?

?I、E?0

II、E?E??E???III、E?0

??0 ?? ??0 E ??

O x

关于高斯定理：

??11、???E?dS??qi

S????? 2?02?0?0?0内12

?仅与?q?i有关，E与所有电荷及其分布有关

内2、如果?已知，?q?E??dS?i??0??0?

内S 但仅由?和高斯定理不能完全确定高斯面内电荷分布 如?=0，?qi?0

内判断下面几种说法的正确性：（1） 如果高斯面上E?

?????处处为零，则高斯面内必无电荷

SE?dS?0，?qi?0

内

Q ?Q S

（2） 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E?处处为零

?q??1q?i?0，???E?dS??i=0，?E?0

内S?0内

q S

（3） 如果高斯面上E?处处不为零，则高斯面内必有电荷（4） 如果高斯面内有电荷，则高斯面上E?处处不为零 由高斯定理求电场强度的思路：

电荷分布的对称性?电场分布的对称性

?适当的选取高斯面（E??n?，E?//n?） ?将E从积分号内提出，化积分方程为代数方程求E

补偿法求电场强度

例：求圆孔轴线上的E?

? ? ?? O x P =

O x P+ O x P R R

13

解：E?x?R?例：求轴线上的E

? ? ?? O x P= x P+ x P R1 R1 R2 R2

?x??x解：E?(1?)?(1?)

22222?02?0x?Rx?R21???x??(1?)=

2?02?02?0x2?R2x22

=

?xx(?)

222?0x2?R2x?R21例：求小球腔中的电场

P P ?? P ? O? ? + O?

O = O

??????EP?OP?O?P=(OP?O?P)=OO?

3?03?03?03?0?小球腔内是均匀电场 E E??OO?，方向OO? O? 3?0 O

例：求通过圆锥侧面的电通量

??解：?侧??E?dS

侧?????E?dS h q S????q =?E?dS??E?dS?

侧底?014

?q侧????底 R O r dr 0????? ?底??底E?dS??底Ecos??dS n E

dS?2?rdr，E?q4??22，cos??h/20[r?(h/2)]r2?(h/2)2 ?Rqh/2底??04??0[r2?(h/2)2]r2?(h/2)2?2?rdr

=qhRrdrqh1R4?/2)2]3/2=4?(?0?0[r2?(h0r2?(h/2)2)0 =

qqh2??04?0R2?(h/2)2

?qqqh侧????底=? 02?04?0R2?(h/2)2

例：无限长均匀带电半圆柱面 dl 沿轴向单位长度带电? R 求：轴线上E?

解：??????R，dE?2?? P 0R1 ????dl???Rdl dE? dE?1?2???Rdl??2?2?R2dl 0R0dEx??dEcos? y dEy??dEsin? dl=Rd?

Ex??dEx???dEcos? dE d? x =???? 0?2?2?2Rd?cos?， P x 0RdEy =??2?2?sin??0R0?0

Ey??dEy???dEsin?

=????0???2?2?Rd?sin?=cos??? 0R22?2?0R0?2?0RE??E????xi?Eyj???2?j

0R例：图为一球对称电荷分布的静电场的E~r曲线 E

15

?1 r2

R r 请指出它是下面哪一种带电体产生的？ （1）半径为R的均匀带电球面 （2）半径为R的均匀带电球体

（3）半径为R，电荷体密度??Ar（A为常数） 的非均匀带电球体

A（4）半径为R，电荷体密度??（A为常数）

r 的非均匀带电球体 解：（1）、r?R，E?0，（2）r?R，E??r 3?0??1 （3）、???E?dS?E4?r2?Sdr? dV?4?r?2dr? r? S dq??dV?Ar?4?r?2dr? O 内?0?q

i

?q??dq??4?Ar?3dr? r 0r =?Ar4， R 1A2 E4?r2??Ar4，E?r（r?R）

?04?0??1 （4）???E?dS?E4?r2??qi

S?0内 dV?4?r?2dr?

A dq??dV?4?r?2dr??4?Ar?dr?

r?

?q??dq??4?Ar?dr?

0r =2?Ar2

1A E4?r2?2?Ar2，E?（常数）（r?R）

?02?0

16

第4节 电势及其梯度

E?，q??q?0，F0E

一 静电力的功 环路定理 b

1、 点电荷的电场 q rb L

dA?F??dl? =q?? O r?dr 0E?dl， r K dr A??dA??ba(F?L?dl? r ?N a q0 ?d l =qb??)M ??0?a(EL)?dl， a F?q0E

=qb0?a(EL)cos?dl，OM?OK?r，KN?dr

?KNM??，dr?dlco?s，E?q4??2

0r A??rbqq0r4??r2dr?qq0(1r?1)

a04??0arb 点电荷的电场对q0作功与路径无关

2、 任意带电体的电场

b L

q??0 F?q0E a A??b??????a(F?L)?dl=qb?0?E?dl，E?E1?E2???En

A?qb??a(L)??0?a(L)(E1?E2???En)?dl

=qb??b??b??0?a(L)E1?dl?q0?a(L)E2?dl???q0?a(L)En?dl

任意的静电场对q0作功与路径无关 静电场：保守场 静电力：保守力

3、 静电场的环路定理 A?q?L?dl?b 0?E L2 L

=qb??a??0?a(EL1)?dl+q0?E?dl， L1

=qb??b(L2)b??0?a(EL1)?dl?q0?a(E?L?2)dl， aq0 17

=0 ?? ?E?dl?0 静电场的环路定理 L?

静电力作功与路径无关

例：静电场的电力线不能是闭合曲线 证：反证法，设静电场的某条电力线

是闭合曲线

?????E?dl??Ecos?dl?0 dl E

LL静电场的环路定理只适用于静电场 二 电势能

?R：参考点 E ?R?q0?E?dl R R? P?R?定义：电势能WP?q0?E?dl

P注意：

（1）WP与A的区别 Pq0 Q （2）A与?W的关系

???R?Q?Q? A?q0?E?dl=q0?E?dl+q0?E?dl

PRP??R?R? =q0?E?dl?q0?E?dl=WP?WQ??(WQ?WP)

PQ WQ?WP??W：电势能增量，A???W A?0，?W?0，W?；A?0，?W?0，W?

?R?（3）参考点：WR?q0?E?dl?0

R??? 理论上：“?”，WP?q0?E?dl

P 工程上：“大地”

?R???? ??q0?E?dl，WP?WP R：参考点，WPP 电势能的数值只具有相对意义

q0在静电场中任意两点上电势能的差值 与参考点的选择无关 三 电势 电势差

1 电势定义

??R?R?WP?q0?E?dl，WP?q0，WP/q0??E?dl

PP?R?电势：UP?WP/q0??E?dl

P注意：（1）标量，SI：J/C=V（伏） （2）WP?q0UP

（3）UP?UQ?UPQ：电压，SI：V

??R?R? UPQ?UP?UQ=?E?dl??E?dl

PQ18

??Q??Q?? =?E?dl+?E?dl=?E?dl

PRPR UQ??PQ??PE?dl

（4）qqQ??0：P?Q，A?0?PE?dl=q0UPQ

（5）电势与参考点的选择有关 电压与参考点的选择无关

UR??R??RE?dl?0

参考点=电势能零点=电势零点

2 电势的计算 1、 点电荷 E? ?

UR???P??PE?dl dl ?为参考点 U??? r P P??PE?dl q =??Ecos?dl，cos??1，dl?qPdr，E?4??20r =??qqr4??2dr=

0r4??0r R：参考点

U??RPE??d?Pl R =?aqr4??2dr， 0rr P a =q114??(?)。 q 0ra2、 点电荷系 P ?为参考点

U???dl?P??E r1 r2 rn E??E?P??1?E2???En q U????1 q2P(E??E? P1?E2???n)?dl qn

= ??PE??d?l+??PE?????12?dl????PEn?dl

=

q14??+

q2???qn

0r14??0r24??0rn UP?U1?U2???Un 电势迭加原理 3、 连续电荷分布的电势 P

r

19

dU?dq4??0r dU

dq4??0rdq U??dU??

两种方法：

??R?（1） 已知E，UP??E?dl

P??Ui点电荷系?（2） U??dq电荷连续分布（在空间有限区域）??4??r0?

例：电偶极子的电势 P(r,?)

r? r r?

? ?q l/2 O l/2 q 解：U?U??U?，?：参考点

qr??r?q?q= U??4??0r?4??0r?4??0r?r?r?2?r2?(l/2)2?2r(l/2)cos? r?2?r2?(l/2)2?2r(l/2)cos? r?2?r?2?(r??r?)(r??r?)?2rlcos?

r??l，r??r??2r，r??r??lcos?，r?r??r2

??qlcos?1Pcos?1Pcos?r1P?r=== U?32234??0r4??0r4??04??0rr例： dq q ? R r E ?O x P dl x

解：方法I： dqdqqq，U??dU??== dU?4??0r4??0r4??0r4??0x2?R2方法II：

????UP??E?dl=?Ecos?dl

PPcos??1，dl?dx，E?20

qx

4??0(x2?R2)3/21

E1?E0?rE2?E0 E1?E0?r1 E2?E0?r2 Q ?Q E2?E0/?r2

C?C1?C2 C?C1?C2 C?C1?C2

例：导体球，外包一层电介质 求：电容 Q ?r

O ? R 1 R2

r?R1?0???QR1?r?R2 解：E??2?4??0?rrQ?r?R2?4??r20? 导体球的电势

U=?Ecos?dl

R1? =?R2Q4??0?rr4??0rQ11Q1 = (?)+

4??0?rR1R24??0R2Q1111[(?)?] =

4??0?rR1R2R2Q4??04??0?rR1R2C?==

U1(1?1)?1R2?R1??rR1?rR1R2R2R1R2dr+?2?Q2dr

四 电容器储能（电能）

1、电容器的能量 Q ?Q 已搬运的电荷q 电势差uAB?q/C

46

搬运dq过程外力克服电场力

作功dA?udq

ABdq

外力克服电场力作功的总和：

电容器的能量 Aq C ?qB

W??QQ0u?qQ2ABdq=0Cdq=2C， Q，VAB，Q?CVAB W?Q22C=12QV12AB=2CVAB 电容器储能公式

对任意的电容器成立

Q2C?4??R，W?Q2孤立导体球：02C=8??

0R带电系统的能量就是它的电场的能量

2、电场的能量 Q d ?Q C??0?rSd，VAB?Ed S W?Q22C=12CV2AB =1?0?rS2d(Ed)2， ?r =1?1220?rE2Sd?2?0?rEV

能量分布在电场中 E? 电场是能量的携带者 dW 电场能量密度 dV w?dWdV

w?dW=12?E2?11??0?r2DE?2D?E，w?E2dV

均匀电场，W?wV

非均匀电场，dW?wdV

W??dW??wdV=?1?2VV20?rEdV

例：孤立导体球电场的能量

dr r dV?4?r2dr

Q O R

47

?0?解：E??Q2??4??0rr?Rr?R

?01?w??0?rE2??Q2224?32??r0?W??wdV??wdV??wdV

Vr?Rr?Rr?Rr?R

32??0r8??0R静电学，静电能?电容器的能量?电场能量 计算带电系统静电能或电场能量的方法：

Q2（1） 电容器， W?

2C?1（2） 已知E， W??wdV=??0?rE2dV

V2VR =??Q2244?rdr=

2Q2

（3） 搬运方法，W??u(q)dq

0Q1 w??0?rE2?0，W??wdV?0

V2第8节 静电场边值问题的唯一性定理

一.边界条件

? 每个导体的电势

? 每个导体的总电量 ? 一些导体的总电量和另一些导体的电势

二.唯一性定理

边界条件可将空间电场分布唯一地确定下来

48

证明：给定各导体的电势边界条件后，电势分布唯 一确定

假设u1(x,y,z)和u2(x,y,z)是满足给定边界条件

的

**

两个不同的电势分布。u两个电势的叠加， u在边 界各处都等于 零。u*? u1?u2假设p点是u的极值点，则包围p所作的高斯面通 量不为零，而面内无电荷。和高斯定理矛盾。以 *

u没有极值，只能处处为零。

即，u1?u2

*

利用唯一性定理解释静电屏蔽

闭合导体空腔的电位给定（如接地），空腔内的导体带电量给定，则空腔内空间的边界条件确定。根据唯一性定理腔内电场和腔内导体的电荷分布也就唯一确定，与腔外带电体无关。

电像法

+q

’

49

静电场习题课II

四、电荷与外电场的相互作用

?外电场，E外、U外

受力 电势能

??研 点电荷 F?q0E外 W?q0U外

??究

点电荷系 F??qiE外i W??qiU外i

对?? 象 带电体 F??E外dq W??U外dq

? 注意：E、U是外电场的场强和电势

外外 不包括研究对象自身产生的电场和电势 例：两块导体板的 Q ?Q

相互作用力 S 解：

?Q2 F?Q?2?02?0S

A B 例：电偶极子在均匀外电场中受力、力矩、电势能

??? P?ql，q F? ? ? E O ? F? ?q

?????解：受力：F?F??F?=qE?qE?0

ll力矩：M?F?sin??F?sin?=F?lsin?

22 =qElsin?=PEsin?

???M?P?E

电势能：W?W??W???qU??qU???q(U??U?)

?? =?qElcos?=?PEcos?=?P?E

???讨论（1）P//E E

??? F?0，M?0 P 稳定平衡 W??PE

??? （2）P?E P ? F?0，M?PE W?0

?? （3）P//(?E) 不稳定平衡

50

?求：E

解：Ex???U?U2x?U2yE??=?A2，=，=0 E???Azy222?z?xx?y?yx?y例：

Q2 Q1 R1 OP P P ?

R2 r?R1?0???Q1R1?r?R2 解：E??2?4??0r?Q1?Q2r?R2?4??r20?1、r?R1

???? U??E?dl=?Ecos?dl

=?Ecos?dl+?Ecos?dl+?Ecos?dl

PPR1PR2?R1R2Q1?Q2dr

R14??rR24??r200Q11Q2Q?Q21Q1 =1(?)+1=+

4??0R1R24??0R24??0R14??0R22、R1?r?R2

????R2? U??E?dl=?Ecos?dl=?Ecos?dl+?Ecos?dl

=?R2Q1dr+?2?PPPR2Q1?Q2dr

r4??rR24??r200Q2Q11Q?Q21Q =1(?)+1=1+

4??0rR24??0R24??0r4??0R23、r?R2

???? U??E?dl=?Ecos?dl

=?R2Q1dr+?2?PPQ1?Q2Q1?Q21Q1Q2dr==+

r4??r24??r4??r4??r0000 U

=??26

R1 R2 r

Q2 Q1

R1 O

R2 QQ 1、r?R U?1214??R+

014??0R2 2、R U?Q1Q21?r?R2 4??+

0r4??0R2 3、r?R U?Q1Q224??+

0r4??0r

静电场小结

库仑定律 高斯定理：???1SE?dS???qi0内场强迭加原理 环路定理：?E??dl?L?0

静电场是有源场，电荷是静电场的场源 静电场是保守场，是引入电势的先决条件 E?满足矢量迭加原理，U满足标量迭加原理

U??R??PE??dl，E???U??dUdnn? 静电场习题课

例：均匀带电球壳

求：腔内电势

? rdr O P R1

解：方法I：U???PE??d?l R2 方法II：dV?4?r2dr，dq??dV??4?r2dr

dU?dq?4?r2dr4???r=?0r4??0?rdr 0U??dU??R2?Rrdr??(R21?2?R21)

02?0 27

例：侧面均匀带电

证明：O的电势与高度无关 O ? x r dx ?

h R

x dxdx证：dS?2?r，dq??dS??2?r cos?cos?1?2?rdx/cos??1dq==dU?tg?dx

22224??04??0x?r2?0x?rh???RU??dU?? tg?dx=tg??h=

02?2?2?000***， O

R1 ?

R2，UO?

例：求轴线上U

? dr r

O x P x R

解：dS?2?rdr，dq??dS??2?rdr

?(R2?R1) 2?028

dU?1dq1?2?rdr?rdr4??0x2?r2=

4??x2?r2=

02?0x2?r2

U??dU??R?rdr02?x?r

022 =

?x2?r2R2?00??2?(x2?R2?x)

0

例：均匀带电球壳

求：壳中半径r处的电势 ? dr?

r? O rP R1

R2 解：U?U1?U2

q114?3 U332R11?4??r?4????(r?R1)?3?(r?)

00r30r dV?4?r?2dr?，dq??dV??4?r?2dr?

dUdq?4?r?2dr??2?4???=r?dr? 0r?4??0r??0U??R2?r?r?dr???(R22??dU22?r2)

02?0U?2R3U?2211?U2=6?(3R2?r?)

0r例：

? ? ?? d d d P Or O? = P O O? + d P Or O? R R 求：（1）O?处的场强

（2）P处的场强，O?OP三点共线，OP?d

解：（1）E???O??E1?E2

29

?d，方向O?O? 3?0 E2?0

? EO??d，方向O?O?

3?0???（2）EP?E1?E2

? E1?d，方向O?P

3?0 E1?143?r3 E2?，方向P?O ??r=224??0(2d)33?04d?r3 EP?E1?E2=(d?2)，方向O?P

3?04d例：无限大带电平板，??kx，0?x?b

S?1

x ??? O x dx b P dE x

?求：（1）板外的电场（2）板内的电场（3）E?0的位置 解：方法I： （1）dE? dE??，????1?dx??kx?dx?， 2?01kx?dx? 2?0b1k2 E??dE??kx?dx??b

02?4?00

S?1

x O x? dx? P b x

1kx?dx? （2）dE?2?0x1b1k2kkx?dx???kx?dx??x?(b2?x2) E??02?x2?4?04?00030

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