北京市东城区普通校2013届高三第二学期3月联考理科数学试卷

北京市东城区普通校2013届高三第二学期3月联考

数学（理科）

命题校：北京27中学 2013年3月

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷(选择题，共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知平面向量a?(1,2), b?(?2,m), 且a∥b, 则m的值为（ ） （A）?1 （B） （C）?4 （D）4 2．极坐标方程??4cos?化为直角坐标方程是（ ） （A）(x?2)?y?4 （B）x?y?4 （C）x?(y?2)?4 （D）(x?1)?(y?1)?4 3．平面?∥平面?的一个充分条件是（ ） （A）存在一条直线?，a∥?，a∥? （B）存在一条直线a，a??，a∥?

（C）存在两条平行直线a，b，a??，b??，a∥?，b∥? （D）存在两条异面直线a，b，a??，b??，a∥?，b∥? 4. 执行如图所示的程序，输出的结果为20， 则判断框中应填入的条件为（ ） （A）a≥2 （C）a≥4

（B）a≥3 （D）a≥5

22222222 第4题图

PBCO5. 如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点， PC?OP，

A 1 / 11

PC交⊙O于C，若AP?4，PB?2，则PC的长是（ ）

（A）3 （B）22 （C）2 （D）2 第5题图 6．已知函数y?Asin(?x??)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( ) ．．

O -1

第6题图

(A) y?(C) y?4545sin(2x?sin(415) (B) y?32sin(2x?15)

y

1 ?2? x 1441x?) (D) y?sin(x?) 555551a?1b7. 设a?0,b?0.若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )

14(A) 8 (B) 4 (C) 1 (D)

?a,a?b?1,?b,a?b?1.8.对实数a与b，定义新运算“?”：a?b??f(x)??x?2???x?x22 设函数

?,x?R.若函数y?则实数c的取值范围f(x)?c的零点恰有两个，

是（ ）

(A) ???,?2????1,??3?3?? (B) ??,?2??1,?????? 2?4??3??1??1??1???1,??,??????4 (C) ???,???,??? (D) 4??? ?4??4??

第Ⅱ卷(非选择题，共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 在(1?1x)的展开式中，含

61x项的系数是________.（用数字作答）

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10．由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.

11.从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中

a 0.030 0.020

0.010 0.005 频率

组距 40 50 60 70 80 90 分数(分)

a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为 . 第11题图

?y?x?1,?12.已知区域??{(x,y)?y?0,}，M?{(x,y)?x?1,??y??x?1,?}， ???y?0,向区域?内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为 .

13．如图，F1和F2分别是双曲线

xa22y yb22??1(a?0，b?0) A O 的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与 F 1 该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双

B F2 x 曲线的离心率为 . 第13题图 14.设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y?S，都有x?y,x?y,xy?S， 则称S为封闭集。下列命题：

①集合S＝{z|z= a＋bi（a,b为整数，为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0?S；③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

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三、解答题：本大题共6小题，共80分．

15. （本小题满分13分）

在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,C?（Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求cos(B?

16.（本小题满分13分）

甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求 (Ⅰ)摸出3个白球的概率； (Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；

（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。

17.（本小题满分14分）

已知几何体A—BCED的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求此几何体的体积V的大小;

（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值； （Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得

俯视图 4 1 4 正视图

4 侧视图

?3，a?5，?ABC的面积为103.

?3)的值.

AQ?BQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.

18.（本小题满分13分）

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已知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx

2(Ⅰ)若a?2，求函数f(x)在（1，f(1)）处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调区间

19.（本小题共14分）

已知椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为

63.

（I）若原点到直线x?y?b?0的距离为2,求椭圆的方程； （II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45?的直线和椭圆交于A，B两点. （i）当|AB|?3，求b的值；

（ii）对于椭圆上任一点M，若OM??OA??OB，求实数?,?满足的关系式.

20. （本小题满分13分）

设a1，a2，?a20是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足0?k?19的整数k，数列b1，

20?an?k，当1?n?20?k时b2，?b20 由? 确定。记M??anbn

，当20-k?n?20时an?1?n?k?20(Ⅰ)当k?1时，求M的值； (Ⅱ)求M的最小值及相应的k的值

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