微分几何试题库 (选择题)

微分几何试题库 选择题

二．单项选择题

1．P(t0)是曲线r=r(t)上一点，P1是曲线上P点附近的一点，

?S为弧PP1的长，??为曲线在P点和P1点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P点的曲率。则下面 不等于???lims?0|?s|。 ① k(t0) ② |r(t0)| ③ |?(t0)| ④ ?(t0) 2．曲线r=r(s)在P点的基本向量为?，?，?。 在P点的

曲率k(s)，挠率为?(s)，则?= 。

① k(s)? ② -k(s)?+?(s)?

③ -?(s)? ④ k(s)?-?(s)? 3．曲线r=r(s)在P（s）点的基本向量为?，?，?。 在P点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则?= .

① k(s)? ② ?(s)? ③-k(s)?+?(s)? ④ -?(s)?

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4. 曲线r=r(s)在P（s）点的基本向量为?，?，?。 在P点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则下式 不正确。

①?=- k(s) ? ②?= -k(s)?+?(s)? ③?= k(s)? ④?=-?(s)?

5．曲线r=r(s)在P（s）点的基本向量为?，?，?。

在P点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则k(s)= 。

① ?? ② ??

③ ?? ④ ??

6．曲线r=r(s)在P（s）点的基本向量为?，?，?。

则下式 不正确。

① ?=2? ② ?= 3?-2? ③?= -3?+2? ④? =2?

7．曲线r=r(s)在P（s）点的基本向量为?，?，?。 在P点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则?(s)= 。

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① ?? ② ?? ③ ?? ④ -??

③ (C)的曲率k=0； ④ (C)的挠率?=0。 11．已知曲线r=r(t)在r(t0)点的挠率为?，则?是

时，曲线在r(t0)点附近是右旋的。

8．曲线r=r(t)在P点的曲率k，挠率为?，则下式 不正确。

①k?|r'?r''||r'|2 ②k?|r'?r''||r'|3

③k?|r| ④??(r',r'',r''') (r'?r'')2 9．曲线r=r(t)在P点的曲率k，挠率为?，则下式 不正确。

① ??(r,r,r)(r,r,r2 ② ??r)k2 ③??(r',r'',r''')(r',r(r'?r'')2 ④??'',r''')|r'?r''| 10．设曲线 (C)：r=r(t)，以下 不是(C)为平面曲线的充要条件。

① (C)的密切平面固定；② (C)的副法向量?=常矢

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① —2 ②

2 ③ —

?2 ④ —2 12．若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是

。

①直线； ② 平面曲线；

③ 球面曲线； ④ 圆柱螺线。

13．若曲线?的曲率、挠率都为非零常数，则曲线?是 。

①平面曲线； ② 球面曲线； ③圆柱螺线； ④ 直线。

14．平面曲线 (C)的法线和它的渐缩线(C?)在对应点处 。

① 相交； ② 相离；

③ 相切； ④ 关系不确定。

15．平面曲线 (C)上两点的曲率半径之差 渐缩线上对应点之间的弧长。

① 等于； ②大于；

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③小于； ④ 不等于。

16．曲线 (C)是一般螺线，则以下命题 不正确。 ① (C)的切线与一固定方向成固定角； ② (C)的副法线与一固定方向成固定角； ③ (C)的主法线与一固定方向垂直； ④ (C)的副法线与一固定方向垂直。

17．曲线 (C)在条件 下不一定是一般螺线。 ① 其切向量与一固定方向成固定角； ② 其主法向量与一固定方向成固定角； ③ 其副法向量与一固定方向成固定角； ④ 其曲率与挠率之比为常数。 18．若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题 不正确。

① 曲线的主法线与固定方向垂直； ② 曲线的副法线与固定方向成定角； ③ 曲线的副法线与固定方向垂直； ④ 曲线的曲率与挠率之比为常数。 19．下述命题不正确的是 。

① 若曲线 (C)的密切平面固定，则(C)是平面曲线； ② 若曲线 (C)的密切平面垂直于某条固定直线，则(C)是平面曲线；

③ 若曲线 (C)的挠率?(s)=0，则(C)是平面曲线；

④ 若曲线 (C)的从切平面平行于固定直线，则(C)是平面曲线。

20．对曲面的第一基本形式??Edu2?2Fdudv?Gdv2，

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EG?F2

① > 0； ② < 0 ； ③ ≥0 ； ④ ≤ 0 。 21．球面r?{Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?}的第一基本形式I= 。

① R2d?2?R2cos2?d?2； ②R2cos2?d?2?R2d?2； ③ R2d?2?R2sin2?d?2； ④R2sin2?d?2?R2d?2。

22 . 正螺面r?{ucosv,usinv,bv}的第一基本形式是 。

① du2?(u2?b2)dv2 ② (u2?b2)du2?dv2 ③ u2du2?dv2 ④ du2?u2dv2

23．正螺面r?{ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是 。

① ?2bu2?b2dudv ②

bu2?b2dudv

③ (u2?b2)du2?dv2 ④ du2?(u2?b2)dv2

24．对于圆柱面r?{Rcos?,Rsin?,z}，以下结论 不正

确。

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①坐标网是正交网； ②沿同一直母线的切平面是同一个；③其上高斯曲率为零；④其上没有抛物点。 25．以下量中， 不是曲面的内蕴量。 ①曲面上两曲线的夹角；②曲面上曲线的弧长； ③曲面上曲面域的面积； ④曲面上一点沿一方向的法曲率 。 26．曲面r?r(u,v),n是其单位法向量。下列第二类基本量的计算中 是不正确的。

①L?ru?ru ； ②L?ruu?n ；③L??ru?nu ；④L??nu?ru 。

27．曲面r?r(u,v),n是其单位法向量。下列第二基本量的计

算中 是不正确的。

①M?ruv?n ；②M??ruv?n ；③M??ru?nv ；④M??rv?nu。

28．曲面r?r(s,t),n是其单位法向量。下列第二基本量的计

算中 是不正确的。

①N?rtt?n ；②N??rt?nt ；③N?rt?nt ；④N?n?rtt 。

29．以下说法正确的是 。

①法曲率是法截线的曲率； ②法曲率大于等于零； ③法曲率是曲率向量r在主法向量?上的投影； ④法曲率的绝对值是法截线的曲率。

30．曲面r?r(u,v)在P点的第一第二基本形式分别为?,??。

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过P点的曲线(C) 在P点的曲率为k，曲面在P点沿(C)的方向(d)的法曲率为kn，(C)在P点的主法线与曲面的法向n的夹角为?，则下式 正确。

①k??? ；②k ；③|k??n??n?kcos?n|?? ；④kn?ksin?。

31．在曲面的椭圆点处， 。

① LN?M20； ② LN?M20 ；

③ LN?M2?0 ； ④ L=M=N=0 .

32. 如果曲面上一点P处有LN?M2?0,则点P是 。 ①椭圆点； ②双曲点； ③平点； ④抛物点。

33．圆环面上的点是 。

①椭圆点； ②双曲点； ③抛物点；④ 或①或②或③。 34．一条有拐点的曲线绕一条直线旋转所得旋转曲面上的点是 。

①椭圆点； ②双曲点； ③抛物点；④ 或①或②或③。 35．(C)是曲面S上的曲线, (C)上的点满足 时，不一定是渐近线。（其中?n是沿(C)的法曲率，??是第二基本形式，?g是测地曲率）

① Kn?0 ; ② ???0 ; ③ K=0 ; ④ Kg=0 . 36.椭圆抛物面上的点是 。

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① 椭圆点； ② 双曲点； ③ 平点； ④ 抛物点。 37．曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是 。 ① E=G=0; ② L=N=0 ; ③ F=0 ; ④ M=0 .

38. 曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是 。 ① F=0 ; ② M=0 ; ③ L=N=0 ; ④ F=M=0 .

39. 曲面上的曲纹坐标网是正交网的充要条件是 。 ① F=0 ; ② M=0 ; ③E=G=0 ; ④ L=N=0 .

40. 曲面上的曲纹坐标网是曲率网的充要条件是 。 ① F=0 ; ② M=0 ; ③ F=M=0 ; ④ L=N=0 .

41．设L、N是曲面的第二类基本量，L=N=0是曲面的曲纹坐标网为 网的充要条件。

① 正交网; ②渐近网; ③曲率线网; ④半测地坐标网 . 42．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是 。(其中?r是另一方向)

① dn?d?r0 ； ② ??r使?n?dr?0 ； ③ ? ?r使dn??r?0; ④ ??r使?n?dr?0且dr??r?0. 43．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是 。(其中?r是另一方向)

① dn?d?r0 ； ② ??r使?n?dr?0 ； ③ ? ?r使dn??r?0; ④??r使dn??r?0且dr??r?0。 44．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是 。(其中?r是另一方向)

① dn?d?r0 ； ② ??r使?n?dr?0 ； ③ ? ?r使dn??r?0; ④ dn??dr 。

45．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是 。(其中?r是另一方向)

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① dn?d?r0 ； ② ??r使?n?dr?0 ； ③ ? ?r使dn??r?0; ④ dn‖dr 。

46．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向是dr，则dn??dr的充要条件是 。(其中?r是另一方向)

① dn??r?0 ； ② ??r使dr??r?0 ；

③ 沿dr有?n?0； ④ ??r使dn??r?0且dr??r?0。

47．下列 不是dr?du:dv与?r??u:?v共轭的充要条件。

① dn??r?0 ； ②?n?dr?0 ；

③ dn?dr?0 ; ④Ldu?u?M(du?v?dv?u)?Ndv?v?0。

48．F = M = 0是曲纹坐标网为 网的充要条件。

① 正交网； ② 共轭网； ③ 曲率网； ④ 渐进网。 49.以下说法不正确的是 。

①球面上的每个点都是圆点; ②平面上的每个点都是平点;③双曲抛物面上的点都是双曲点;④球面上也可以有双曲点。 50.以下结论不正确的是 。 ①球面上的每一条曲线是曲率线; ②平面上的每一条曲线是曲率线; ③圆柱面上的圆柱螺线是曲率线; ④旋转曲面上的纬圆是曲率线。 51．以下结论不正确的是 （其中n是曲面的单位法向量）。 ①在等距变换下，曲面的第一、第二基本量是不变的； ②如果dn??dr，则(d)是主方向；

③曲面上的直线既是渐近线又是测地线；

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