2018-2019学年人教版数学高考（文）一轮复习训练：第

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考点规范练54 古典概型

基础巩固

1.在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )

A. C. A. C. A. C.

B. D. B. D. B. D.

2.同时抛掷两枚骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )

3.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )

4.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为( ) A. C. ( ) A.0.4

B.0.6

C.0.8

D.1

6.某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票,小明口袋里有一元餐票2张,两元餐票2张,五元餐票1张,若他从口袋中随机地摸出2张,则其面值之和不少于四元的概率为( ) A. C.

B. D. B. D.

5.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为

7.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为( ) A. C.

B. D.

8.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .

9.已知蒸笼中共蒸有5个外形和大小完全相同的包子,其中2个香菇青菜包、1个肉包、1个豆沙包、1个萝卜丝包,现从蒸笼中任取2个包子,则取出的这2个包子中有香菇青菜包的概率为 .

10.为迎接校运动会的到来,某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜欢运动).

(1)若用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队,求女志愿者被抽到的人数;

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(2)若从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护),任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作,则抽出的2名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率是多少?

11.体育测试成绩分别为四个等级,优、良、中、不及格,某班55名学生参加测试的结果如表:

等不及优良 中 级 格 人225 5 数 1 4

(1)从该班任意抽取1名学生,求该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率;

(2)测试成绩为“优”的3名男生记为a1,a2,a3,测试成绩为“优”的2名女生记为b1,b2,现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛,求参赛学生中恰有1名女生的概率.

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能力提升

12.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( ) A. C. A. C.

B. D.

3

13.设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为( )

B. D.

2

2

14.抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,则使得直线bx+ay=1与圆x+y=1相交,且所得弦长不超过的概率为 .

15.(2017湖南邵阳一模)空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.

级类别 户外活动建议 别 0~50 Ⅰ优 可正常活动 51~10Ⅱ良 0 轻微污101~150 染 易感人群症状有轻度加剧,健康人群出现刺激症状,心脏病和呼吸系统疾病Ⅲ 轻度污患者应减少体力消耗和户外活动 151~200 染 中度污201~250 染 心脏病和肺病患者症状显著加剧,运动耐受力降低,健康人群中普遍出现症Ⅳ 中度重状,老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动 251~300 污染 健康人运动耐受力降低,有明显强烈症状,提前出现某些疾病,老年人和病301~500 Ⅴ 重污染 人应当留在室内,避免体力消耗,一般人群应尽量减少户外活动 指数

现统计邵阳市市区2017年10月至11月连续60天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求这60天中属轻度污染的天数; (2)求这60天空气质量指数的平均值;

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(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,……第五组.从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为x,y,求事件|x-y|≤150的概率.

高考预测

16.为了了解某学段1 000名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干名学生的百米成绩,成绩全部介于13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);…;第五组[17,18].由上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为3∶8∶19,且第二组的频数为8.

(1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米成绩在[16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数(精确到0.01秒);

(2)若从第一、五组中随机取出两个人的成绩,求这两个人的成绩的差的绝对值大于1秒的概率.

答案：

1.C 解析:由题意可知总的基本事件有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),共4种,

其中数字2是取出的三个不同数的中位数的有(2,0,5),(2,1,5),共2种, 故所求的概率为.

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2.C 解析:同时抛掷两枚骰子,基本事件总数为36,记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A,则事件A包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4个,故P(A)=.

3.B 解析:从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为.

4.B 解析:依题意,以(x,y)为坐标的点共有6×6=36个,其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率为.

5.B 解析:设合格品分别为A1,A2,A3,次品分别为B1,B2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有1件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,可知所求的概率为=0.6. 6.C 解析:小明口袋里共有5张餐票,随机地摸出2张,基本事件总数n=10,

其面值之和不少于四元包含的基本事件数m=5, 故其面值之和不少于四元的概率为. 7.A 解析:由题意可知向量m=(a,b)有

(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.

因为m⊥n,即m·n=0,所以a×1+b×(-1)=0,即a=b, 满足条件的有(3,3),(5,5),共2种,故所求的概率为.

8. 解析:(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为.

(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记A表示“向上的点数之和小于10”,则表示“向上的点数之和不小于10”,的基本事件共有6个,所以P()=,所以P(A)=1-P()=.

9. 解析:不妨将2个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为3,1个豆沙包编号为4,1个萝卜丝包编号为5,则所有的基本事件有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.

记“取出的2个包子中有香菇青菜包”为事件A,

则事件A包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共7个. 故所求的概率为P(A)=.

10.解:(1)由题意可知每个志愿者被抽中的概率是,

故女志愿者被抽到的人数为18×=6.

(2)设喜欢运动的女志愿者为A,B,C,D,E,F,其中A,B,C,D懂得医疗救护,

则从这6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种取法, 其中2人都懂得医疗救护的有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种取法. 设“抽出的2名志愿者都能胜任医疗救护工作”为事件A, 则抽出的2名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率P(A)=.

11.解:(1)因为在某班55名学生中,测试成绩为“良”或“中”的学生人数有21+24=45,

所以从该班任意抽取1名学生,该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为.

(2)由题意可知,从测试成绩为“优”的5人中任选2人参加学校的某项体育比赛,总的基本事件有10个,

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分别是(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2), 参赛学生中恰有1名女生包含的基本事件有6个, 故参赛学生中恰有1名女生的概率为.

12.D 解析:从5人中录用3人,总的基本事件有10个.设“甲或乙被录用”为事件A,则其对立事件表示“甲、乙两人都没有被录取”,可知从5人中录用3人,其中甲、乙两人都没有被录取的基本事件只有“丙丁戊”一种,故P()=.

因此P(A)=1-P()=1-.故选D.

13.C 解析:因为f(x)=x+ax-b,所以f'(x)=3x+a.因为a∈{1,2,3,4},所以f'(x)>0,

所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则f(1)f(2)≤0,解得a+1≤b≤8+2a. 因此,可使函数在区间[1,2]上有零点的情况为:

3

2

a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8,共有3种情况; a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况; a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况; a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12,共有2种情况.

所以有零点共有3+3+3+2=11种情况. 而构成函数共有4×4=16种情况, 根据古典概型可得有零点的概率为.

14. 解析:由题意可知抛掷两枚质地均匀的骰子得到的点数(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种.

因为直线bx+ay=1与圆x+y=1相交,且所得弦长不超过,所以1>,即1

2

2

2

2

bx+ay=1与圆x2+y2=1相交,且所得弦长不超过的(a,b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,因此所

求的概率为.

15.解:(1)依题意知,轻度污染即空气质量指数在151~200之间,共有0.003×50×60=9(天).

(2)由直方图知这60天空气质量指数的平均值为

=25×0.1+75×0.4+125×0.3+175×0.15+225×0.05=107.5.

(3)第一组和第五组的天数分别为60×0.1=6,60×0.05=3, 则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种,

由|x-y|≤150知两天只能在同一组中,而两天在同一组中的基本事件有18种, 用M表示|x-y|≤150这一事件,则P(M)=.

16.解:(1)设前三组的频率依次为3x,8x,19x,则3x+8x+19x=1-0.32-0.08=0.6,即x=0.02,

故第二组的频率为0.16,又第二组的频数为8, 所以抽取的学生总人数为=50,

由此可估计学生中百米成绩在[16,17)内的人数为0.32×50=16.

设所求中位数为m,由第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06,0.16,0.38, 则0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5, 解得m≈15.74.

故估计学生中百米成绩在[16,17)内的人数为16, 所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒.

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(2)记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A.

由(1)可知从第一组抽取的人数为0.02×3×50=3,不妨记为a,b,c; 从第五组抽取的人数为0.08×50=4,不妨记为1,2,3,4. 则从第一、五组中随机取出两个人的成绩有

ab,ac,a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4,12,13,14,23,24,34,共21种情况,

其中两个人的成绩的差的绝对值大于1秒是来自不同的组,共有12种情况. 故两个人的成绩的差的绝对值大于1秒的概率为.

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