北京市各区2012届高三上学期期中、期末考试分类解析(3)：导数及其应用

三、导数及其应用

1. （2012年昌平区高三期末考试理8）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)= 1，f (x)为f(x)的导函数.已知y f (x)的图象如图所示,若两个正数a,b满足f(2a b) 1，则

b 1

的取值范围是（ A ） a 2

11

A. ( , 1 ) B.( , ) ( 1 , )

88

C.( 8 , 1 ) D.( , 8 ) (1 , )

3. （2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理9）曲线y=为 。 答案：

1

在x=2处的切线的斜率x

1

。4

考点：8个基本函数的导数的求法；导数的几何意义。

4.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示10）设函数f(x),g(x)在(0,5)内导数存在，且有以下数据：

则曲线在点(1,f(1))处的切线方程是 ；函数f(g(x))在x 2处的导数值是 。

答案：y 3x 1，12。

20.（2012年西城区高三期末考试理19）已知函数f(x) x

12

其中a R.ax ln(1 x)，

2

（Ⅰ）若x 2是f(x)的极值点，求a的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）若f(x)在

[0, )上的最大值是0，求a的取值范围.

x(1 a ax)

,x ( 1, ). ……2分

x 1

1

依题意，令f (2) 0，解得 a . ……3分

3

1

经检验，a 时，符合题意. ………4分

3

x

（Ⅱ）解：① 当a 0时，f (x) .

x 1

（Ⅰ）解：f (x)

故f(x)的单调增区间是(0, )；单调减区间是( 1,0). ………5分 ② 当a 0时，令f (x) 0，得x1 0，或x2 当0 a 1时，f(x)与f (x)的情况如下：

1

1. a

1)；单调减区间是( 1,0)和( 1, ). …6分 aa

当a 1时，f(x)的单调减区间是( 1, ). ………7分

所以，f(x)的单调增区间是(0,

当a 1时， 1 x2 0，f(x)与f (x)的情况如下：

所以，f(x)的单调增区间是( 1,0)；单调减区间是( 1,

a 1)和(0, ). 8分 a

③ 当a 0时，f(x)的单调增区间是(0, )；单调减区间是( 1,0). …9分 综上，当a 0时，f(x)的增区间是(0, )，减区间是( 1,0)； 当0 a 1时，f(x)的增区间是(0,

11

1)，减区间是( 1,0)和( 1, )； aa

当a 1时，f(x)的减区间是( 1, )；

当a 1时，f(x)的增区间是( 1,0)；减区间是( 1,

1a1

1)和(0, ).…10分 a

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a 0时，f(x)在(0, )上单调递增，由f(0) 0，知不合题意.

当0 a 1时，f(x)在(0, )的最大值是f( 1)，

1a

由f( 1) f(0) 0，知不合题意. ……12分 当a 1时，f(x)在(0, )单调递减，

可得f(x)在[0, )上的最大值是f(0) 0，符合题意. 所以，f(x)在[0, )上的最大值是0时，a的取值范围是[1, ). ……14分 21.（2012年昌平区高三期末考试理19）已知函数f(x) (x2 x )eax（a 0）. （I）当a 1时，求函数f(x)的单调区间； （II）若不等式f(x)

1a

1a

5

0对x R恒成立,求a的取值范围. a

ax

解: 对函数f(x)求导得:f (x) e(ax 2)(x 1) ………2分

(Ⅰ)当a 1时, f (x) e(x 2)(x 1) 令f (x) 0解得 x 1或x 2 f (x) 0解得 2 x 1

所以, f(x)单调增区间为( , 2)和(1, ),

f(x)单调减区间为 (-2 ,1) . …5分

(Ⅱ) 令f (x) 0,即(ax 2)(x 1) 0,解得x 当a 0时,列表得：

2

或x 1 6分 a

……8分

对于x

22122

时，因为x 0, x ,a 0,所以x x 0， aaa

∴f(x)>0 … 10 分 对于x

21a

时，由表可知函数在x 1时取得最小值f(1) e 0 aa

所以，当x R时，f(x)min f(1) 由题意，不等式f(x) 所以得

1a

e 11分 a

5

0对x R恒成立， a

1a5

e 0，解得0 a ln5 …13分 aa

b

在x 1处取得极值． x

22.（2012年丰台区高三期末考试理19）设函数f(x) x alnx

（Ⅰ）求a与b满足的关系式；

（Ⅱ）若a 1，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若a 3，函数g(x) ax 3，若存在m1，m2 [,2]，使得

22

12

f(m1) g(m2) 9成立，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）f (x) 1

ab

2， ……2分 xx

由f (1) 0 得 b 1 a． ……3分

（Ⅱ）函数f(x)的定义域为(0, )， ………4分

a1 ax2 ax (1 a)(x 1)[x (a 1)]

由（Ⅰ）可得f (x) 1 2 ．

xxx2x2

令f (x) 0，则x1 1，x2 a 1． ……6分

因为x 1是f(x)的极值点， 所以x1 x2，即a 2． …7分

所以单调递增区间为(0,1)，(a 1, )，单调递减区间为(1,a 1)． ……8分 当1 a 2时，0 a 1 1，

所以单调递增区间为(0,a 1)，(1, )，单调递减区间为(a 1,1)． …9分 （Ⅲ）当a 3时，f(x)在[,1)上为增函数，在(1,2]为减函数，

所以f(x)的最大值为f(1) 2 a 0． ……10分

12

因为函数g(x)在[,2]上是单调递增函数， 所以g(x)的最小值为g()

12

1212

a 3 0．……11分 4

121

要使存在m1，m2 [,2]，使得f(m1) g(m2) 9成立，

2

11

只需要g() f(1) 9，即a2 3 (2 a) 9，所以 8 a 4．……13分

24

所以g(x) f(x)在[,2]上恒成立． ……12分

又因为a 3， 所以a的取值范围是a (3,4)． …14分

23.（2012年朝阳区高三期末考试理18）已知函数f(x) ln(ax 1) 正实数）.

（Ⅰ）若a 1，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)的最小值为1，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）当a 1时，f(x) ln(x 1) 则f (x)

1 x

（x 0，a为1 x

1 x

， 1 x

1 2

. ……… 2分

x 1(1 x)2

所以f (1) 0.又f(1) ln2，因此所求的切线方程为y ln2. …… 4分

a 2ax2 a 2

（Ⅱ）f (x) . …… 5分 22

ax 1(1 x)(ax 1)(1 x)

（1）当a 2 0，即a 2时，因为x 0，所以f (x) 0，所以函数f(x)在 0, 上单调递增. ……… 6分

2

（2）当a 2 0，即0 a 2时，令f (x) 0，则ax a 2 0（x 0），

所以x

时，f (x)

0，当x )时，f (x) 0. 因此，当x

所以函数f(x)的单调递增区间

为 )，函数f(x)的单调递减区间

为. ………… 10分 （Ⅲ）当a 2时，函数f(x)在 0, 上单调递增，则f(x)的最小值为f(0) 1，满足题意. … 11分

当0 a 2时，由（Ⅱ）知函数f(x

)的单调递增区间为 )，函数f(x)的单

调递减区间为，，则f(x

)的最小值为f而f(不合题意.所以a0)1 ，的取值范围是 2, . ……… 13分

24.（2012年海淀区高三期末考试文18）已知函数f(x) e(x ax a)，其中a是常数. （Ⅰ）当a 1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[0, )上的最小值. 解：（Ⅰ）由f(x) e(x ax a)可得

f'(x) e[x (a 2)x]. ………2分 当a 1时,f(1) e ,f'(1) 4e. ………4分

所以 曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y e 4e x 1 ，

即y 4ex 3e. ……6分 （Ⅱ）令f'(x) e[x (a 2)x] 0，

解得x (a 2)或x 0. ……8分

当 (a 2) 0，即a 2时，在区间[0, )上，f'(x) 0，所以f(x)是[0, )上的增函数.

所以f(x)的最小值为f(0)＝ a; ……10分

当 (a 2) 0，即a 2时, f'(x),f x 随x的变化情况如下表

x

2

x

2x

2

x

2

由上表可知函数f(x)的最小值为f( (a 2))

.……13分 ea 2

25.（2012年海淀区高三期末考试理18）已知函数f(x) e(x ax a)，其中a是常数.(Ⅰ)当a 1时，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程f(x) k在[0, )上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

解：(Ⅰ)由f(x) e(x ax a)可得

f'(x) e[x (a 2)x]. ……………2分 当a 1时,f(1) e ,f'(1) 4e. …………4分

所以 曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y e 4e x 1 ， 即y 4ex 3e. ………5分 （Ⅱ） 令f'(x) e(x (a 2)x) 0，

解得x (a 2)或x 0. ………6分

当 (a 2) 0，即a 2时，在区间[0, )上，f'(x) 0，所以f(x)是[0, )上的增函数.

所以 方程f(x) k在[0, )上不可能有两个不相等的实数根.…8分

当 (a 2) 0，即a 2时，f'(x),f x 随x的变化情况如下表

x

2

x

2x

2

x2

由上表可知函数f(x)在[0, )上的最小值为f( (a 2))

a 4

.………10分 ea 2

因为 函数f(x)是(0, (a 2))上的减函数，是( (a 2), )上的增函数， 且当x a时，有f(x) e( a) a. ……………11分

所以 要使方程f(x) k在[0, )上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是

a

(

a 4

, a]. 13分 a 2

e

13

x mx2 3m2x 1(m 0). 3

26.（2012年东城区高三期末考试文18）已知函数f(x）

（Ⅰ）若m 1，求曲线y f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间(2m 1,m 1)上单调递增，求实数m的取值范围． 解：（Ⅰ）当m 1时，f(x）

2

1385

x x2 3x 1，f(2） 4 6 1 . 333

f'(x） x 2x 3，f'(2） 4 4 3 5． ………3分 所以所求切线方程为y

2

5

5(x 2)即15x 3y 25 0． ……5分 3

2

x 2mx 3m. （Ⅱ）f'(x）

令f'(x） 0，得x 3m或x m. ……7分

由于m 0，f (x)，f(x)的变化情况如下表：

所以函数f(x)的单调递增区间是( , 3m)和(m, ). …9分 要使f(x)在区间(2m 1,m 1)上单调递增，

应有 m 1≤ 3m 或 2m 1≥m，

1

或m≥1． …11分 4

又 m 0 且m 1 2m 1， …12分

解得m≤

所以 1≤m 2．

即实数m的取值范围 m1 m 2． …13分

27.（2012年东城区高三期末考试理18）已知函数f(x) 2ax 3x，其中a 0． （Ⅰ）求证：函数f(x)在区间( ,0)上是增函数；

（Ⅱ）若函数g(x) f(x) f (x)(x 0,1 )在x 0处取得最大值，求a的取值范围． 证明：（Ⅰ）f (x) 6ax 6x 6x(ax 1)． 因为a 0且x 0，所以f (x) 0．

所以函数f(x)在区间 ,0 上是增函数． …6分

（Ⅱ）由题意g(x) 2ax (6a 3)x 6x,x 0,1 .

3

2

32

2

则g (x) 6ax 2(6a 3)x 6 6 ax (2a 1)x 1 . ……8分 令g (x) 0，即ax (2a 1)x 1 0. ①

由于 4a 1 0 ，可设方程①的两个根为x1，x2， 由①得x1x2

2

2

22

1

， a

由于a 0，所以x1x2 0，不妨设x1 0 x2，

g (x) 6a(x x1)(x x2)．

当0 x2 1时，g(x2)为极小值，

所以在区间 0,1 上，g(x)在x 0或x 1处取得最大值；

当x2≥1时，由于g(x)在区间 0,1 上是单调递减函数，所以最大值为g(0)， 综上，函数g(x)只能在x 0或x 1处取得最大值． ……10分 又已知g(x)在x 0处取得最大值，所以g(0)≥g(1)， 即0≥8a 9，解得a≤所以a （0,

9

，又因为a 0， 8

9］． …13分 8

28.（2012年昌平区高三期末考试理20）已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)与f(x)的图

象关于直线x 1对称，当x 2时，g(x) a(x 2) (x 2) (a为常数).（I）求f(x) 的解析式；（II）已知当x 1时，f(x)取得极值，求证：对任意

（III）若f(x)是[1, )上的单调函数，且当x1,x2 ( 1,1),|f(x1) f(x2)| 4恒成立；

3

x0 1,f(x0) 1时，有f(f(x0)) x0，求证：f(x0) x0.

解:(Ⅰ) 当x 0时，必有 x 0，则2 x 2,而若点P(x,y)在y f(x)的图象上，

则P(x,y)关于x 1的对称点P1(2 x,y)必在g(x)的图象上，即当x 0时，

y f(x) g(2 x) a[(2 x) 2] [(2 x) 2]3 ax x3

由于f(x)是奇函数，则任取x 0,有 x 0,且

f(x) f( x) [ a( x) ( x)3] ax x3

又当x 0时，由f( 0) f(0) 必有f(0) 0

综上，当x R 时f(x) x ax. ……5分

2

（Ⅱ）若x 1时f(x)取到极值，则必有当x 1时f (x) 3x a 0，即a 3

2

3

又由f (x) 3x 3 3(x 1)(x 1)知，当x ( 1,1)时，f (x) 0，f(x)为减函数

当x [ 1,1]时，f( 1) f(x) f(1) ( 1)3 3( 1) 2 f(x) f(1) 2 当x1,x2 ( 1,1)时 |f(x1) f(x2)| |f( 1) f(1)| 4 . ……9分

（Ⅲ）若f(x)在[1, ) 为减函数，则f (x) 3x a 0对任意x [1, )皆成立，这样的实数a不存在

若f(x)为增函数，则可令f (x) 3x a 0 .由于f (x)在[1, )上为增函数，可令

2

2

f (x) 3x2 a f (1) 3 a 0，即当a 3时，f(x)在[1, )上为增函数

由x0 1,f(x0) 1，f(f(x0)) x0 设f(x0) x0 1，则f[f(x0)] f(x0)

x0 f(x0)与所设矛盾

若x0 f(x0) 1

则f(x0) f[f(x0)] f(x0) x0与所设矛盾。故必有f(x0) x0 14分

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