2015年高中数学北师大版必修4导学案（全册共23套） 北师大版16（

第课时平面向量的坐标表示及其运算

.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.

.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.

.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. .理解用坐标表示平面向量共线的条件.

足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为υ. 能否建立适当的坐标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢?

问题:平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正交分解是平面向量基本定理的特例,即当基底、时的情况.

问题:平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内,分别取与轴轴方向相同的两个单位向量、作为基底为坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点为起点作,由平面向量基本定理可知,一对实数,使得此.我们把实数对叫作向量的坐标,记作.

问题:平面向量在坐标表示下的线性运算 ()向量和的坐标运算:若()(),则.

即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和. ()向量差的坐标运算:若()(),则.

即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. ()实数与向量的积的坐标运算:设λ∈(),则λ.

即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积. ()的坐标表示:若()(),则.

即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标. 问题:如何用坐标表示两个平面向量共线?

,因

由向量的共线定理可知:若(≠)共线,则存在唯一的实数使得.设()()≠,则()λ(),得即两式相减消去λ得,这就是两个向量平行的条件.由于规定向

量可与任一向量平行,所以在应用时可以去掉≠,即:当且仅当时,向量共线.若≠,且≠(也可写作≠),则可以写成(两向量平行的条件是相应坐标).

.已知、分别为与轴正方向、轴正方向相同的两个单位向量,若(),则可以用、表示为().

.已知平面向量()(),且∥,则2a().

.() .() .() .()

.设()(),若向量λ与向量()共线,则λ. .()设向量的坐标分别是(),(),求 2a. ()设的坐标分别是(),(),(),求3a的坐标.

平面向量的正交分解

在直角坐标系中,向量的位置如图所示,已知,且∠°,∠°,分别求向量的坐标及、点的坐标.

平面向量的坐标运算 已知点()()及

,求点、和

的坐标.

平行向量的坐标运算

已知四边形的顶点依次为()()()(),若∥,求的值.

在平面内以点的正东方向为轴的正方向,正北方向为轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.

()用向量表示沿东北方向移动了个长度单位; ()用向量表示沿西偏北°方向移动了个长度单位; ()用向量表示沿东偏南°方向移动了个长度单位.

已知、、的坐标分别为()、()、(),求向量

已知()(),当为何值时与平行?平行时它们是同向还是反向?

的坐标.

.设向量(),若点的坐标为(),则点的坐标为().

.().() .() .()

.已知点()(),则与向量同方向的单位向量为().

.() .() .(,) .(,)

.已知边长为单位长度的正方形,若与坐标原点重合,边分别落在轴、轴正方向上,则向量

的坐标为.

.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为()、()、(),求顶点的坐标.

(年·陕西卷)已知向量()(), 若∥,则实数等于(). .或 考题变式(我来改编):

答案

第课时平面向量的坐标表示及其运算

知识体系梳理

问题:相互垂直垂直 问题:有且仅有()()

问题:()()()()()(λ,λ)()()

问题λ (λ,λ) λ λ 零成比例

基础学习交流 ().

由()(),且∥,得××()?,从而(),那么2a×()×()(). ∵λ(λλ)与()共线,∴(λ)×()(λ)×(),解得λ. .解:()()()()()()()()()2a()()()(). ()3a()()()()()()()(). 重点难点探究

探究一:【解析】设()(),

∵∠°,∴ °× °×,

,

∴(), ∴点的坐标为(

).

将的起点平移至原点,令的终点为', 由题意可知∠'°, 所以 °×(), °×, ). , ()(,

). )点的坐标为(

)点的坐标为(

).

∴(,又∵∴故(

【小结】()相等向量的坐标是相同的,而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时,常常需要把始点不在原点的向量移到原点.

()起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.

()若已知向量()的模为的方向与轴正方向的夹角为θ,由三角函数的定义可知 θθ.要注意公式中的θ是向量的方向与轴正方向的夹角. 探究二:【解析】设点()(),由题意得()()(),

∵∴()()(),

()()(), 则有解得

和

,

和

().

【小结】求点的坐标时,可先设点的坐标,根据题中给出的关系,列出方程组求解即可. 探究三:【解析】∵∥,∴∥,

又∵()(), ∴()(), 解得或或.

[问题]上述解法正确吗?

[结论]不正确,错误一:没有注意四边形顶点的顺序,需满足,反向才行.

∴点、的坐标分别为()和(),

错误二:没有注意向量的平行与线段平行的不同,于是,正确解答如下: ()(),

∵在四边形中∥,∴与平行且反向.

∥时与可能平行也可能重合.

于是解得.

经检验满足题意.

【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况,但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况,如本题中要保证是四边形就要注意向量在同一条直线上且反向平行. 思维拓展应用

应用一:设()()()中的向量分别为

,并设()()().

,

不能

()如图,因为∠'°()因为∠'°, 所以 ,

所以(,). ()因为∠'°, 所以, 所以(). 应用二()、()、(),

得()()(),

,所以

,所以(

,

).

∴()()()

()()() ()() ().

应用三:(法一)()()(),

()()(). ∵()∥(),

∴()×()(),解得.

此时()(,)

()().

∴,且此时与平行,并且反向.

(法二)由题意知()(),当与平行时,存在唯一实数λ, 使λ(),由()λ(),

∴解得

∴当时与平行,

这时().

∵λ<,∴它们的方向相反. ∴,此时与平行,并且反向.

基础智能检测 设点的坐标为(),则(),所以

()

()

()(),∴(

),选.

解得

,这样同方向的单位向量是

.

()如图,建立直角坐标系, 有()()()(), 即()(), (),则有 ()()()().

.解:设顶点的坐标为(). ∵(())()(), 由,得()().

∴∴

∴顶点的坐标为().

全新视角拓展

因为()(),且∥,所以··?±,所以选.

思维导图构建

()(±±)(λ,λ)()

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