2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

2008年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛试题参考答案及评分标准

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）

1. 如果实数m，n，x，y满足m2?n2?a，x2?y2?b，其中a，b为常数，那么mx+ny 的最大值为 答：[B]

A.

a?b2 B.

ab C.

a?b222 D.

a?b222

解 由柯西不等式(mx?ny)2?(m2?n2)(x2?y2)?ab；或三角换元即可得到

mx?ny?ab，当m?n?a2，x?y?b2时，mx?ny?ab. 选B.

?11??24?2. 设y?f(x)为指数函数y?ax. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，N?,?四点中，函数 y?f(x)与其反函数y?f?1(x)的图像的公共点只可能是点 答：[D]

A. P B. Q C. M D. N

11 解 取a?116，把坐标代入检验，??11?1?4?1?2公共点只可能是 ??，∴??，而?24?16??16? 点N. 选D.

3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么x?y?z的值为 答：[A] A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的x?0.5，

y?5161 2 1 x y z 0.5 ，z?316，则x?y?z?1. 选A.

4. 如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别是?A2B2C2的三个内角的正弦值，那么

答：[B]

A. ?A1B1C1与?A2B2C2都是锐角三角形

B. ?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形 C. ?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D. ?A1B1C1与?A2B2C2都是钝角三角形

解 两个三角形的内角不能有直角；?A1B1C1的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若?A2B2C2是锐角三角形，则不妨设

cosA1=sinA2=cos?????A1?， ?2?????C1?. ?2? cosB1=sinB2=cos?????A2?， ?2?cosC1=sinC2=cos?则

A1?3?2?2?A2，B1??2?B2，C1??2?C2，

即 A1?B1?C1??(A2?B2?C2)，矛盾.

选B.

5. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a??，b??，且???”的平面

?， [D] ? 答：

A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对

解 任作a的平面?，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作?的垂线. b与 垂线确定的平面?垂直于?. 选D.

二、填空题（本题满分50分，每小题10分）

6. 设集合A??xx2??x??2?和B??xx?2?，其中符号?x?表示不大于x的最大整数，则 A?B???1,3?.

解 ∵x?2，?x?的值可取?2,?1,0,1.

当[x]=?2，则x2?0无解； 当[x]=?1，则x2?1，∴x=?1； 当[x]=0，则x2?2无解； 当[x]=1，则x2?3，∴x?3. 所以x??1或3.

7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P? 分数）. 解

91?5?考虑对立事件，P?1????216?6?391216(结果要求写成既约

.

8. 已知点O在?ABC内部，OA?2OB?2OC?0.?ABC与?OCB的面积之比为5：1. 解 由图，?ABC与?OCB的底边相同，

高是5：1. 故面积比是5：1.

9. 与圆x2?y2?4x?0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为y2?8x(x?0)或 y?0(x?0).

解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、x??2为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为y2?8x(x?0)，或

y?0(x?0).

ACOB

10. 在?ABC中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则

解 切割化弦，已知等式即 亦即

sinAsinBsinC22a?bc?222= 3 .

，

?1.

sinAsinBcosAcosB?sinAsinCcosAcosCsinBsinCcosBcosC?sin(A?B)cosC2，即

2sinAsinBcosCsinC22=1，即

abcosCc2

所以，

a?b?c2c2?1，故

a?bc2?3.

三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分） 11. 已知函数f(x)??2x2?bx?c在x?1时有最大值1，0?m?n，并且x??m,n?时，

?11?f(x)的取值范围为?,?.

?nm?试求m，n的值.

解 由题 f(x)??2(x?1)2?1， ??5分 ?f(x)?1，?1m?1，即m?1，?f(x)在?m,n?上单调减，

1m1n ?f(m)??2(m?1)2?1?且f(n)??2(n?1)2?1?1x2. ??10分

?m，n是方程f(x)??2(x?1)2?1?的两个解，方程即

=0，

(x?1)(2x?2x?1) 解方程，得解为1，

1?23，

1?1?233.

?1?m?n，?m?1，n?12. A、B为双曲线 （Ⅰ）求证：

x22. ??15分

412?y29?1上的两个动点，满足OA?OB?0。 12?为定值；

OAOB （Ⅱ）动点P在线段AB上，满足OP?AB?0，求证：点P在定圆上.

证 （Ⅰ）设点A的坐标为(rcos?,rsin?)，B的坐标为(r?cos??,r?sin??)，则r?OA，

r??OB，A在双曲线上，则

?cos2?sin2?r???49?2???1. ?? 所以

1r2?cos?42?sin?92.

??5分 由OA?OB?0得OA?OB，所以cos2???sin2?，cos2??sin2??. 同理，

1r?2?cos??42?sin??92?sin?42?cos?92，

所以

1|OA|2?1|OB|2?1r2?1r'2?14?19?536.

??10分

（Ⅱ）由三角形面积公式，得OP?AB?OA?OB，所以 OP?AB2222?OA?OB，即OP2???OA?22?OB???OA?22?OB.

即OP2??1???OA?22?12OB365????OP??2?11??????OP?49?2?5?????1. ?36? 于是，OP?.

655 即P在以O为圆心、为半径的定圆上. ??15分

13. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线

DC在平面N内. 已知?BDC??，?BDA??，?CDA??，且?，?，? 都是 锐角. 求二面角M?l?N的平面角的余弦值（用?，?，?的三角函数值表示）. 解 在平面M中，过A作DA的垂线，

交射线DB于B点；

在平面N中，过A作DA的垂线， 交射线DC于C点. 设DA=1，则

BMNCADAB?tan?，DB?，DC?1cos?1cos?，

， ??5分

AC?tan? 并且?BAC??就是二面角M?l?N平面角. ??10分

在?DBC与?ABC中，利用余弦定理，可得等式

BC2?1cos?2?1cos?2?2cos?cos?cos??tan22??tan??2tan?tan?cos?，

所以，

2tan?tan?cos??tan2??tan??21cos?2?1cos?2?2cos?cos?cos?

=

故得到

2(cos??cos?cos?)cos?cos?， ??15分

cos??cos??cos?cos?sin?sin?. ??20分

14. 能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；

（Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.

解（Ⅰ）不能. ??5分 因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是

2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×31?1?2?1?2?1=219·38不是立方数，故不能. （Ⅱ）可以. 36 2 24 ??15分 如右表

8 6 12 72 18 4 表中每行、每列及对角线的积都是26·23. ??20分

AB?tan?，DB?，DC?1cos?1cos?，

， ??5分

AC?tan? 并且?BAC??就是二面角M?l?N平面角. ??10分

在?DBC与?ABC中，利用余弦定理，可得等式

BC2?1cos?2?1cos?2?2cos?cos?cos??tan22??tan??2tan?tan?cos?，

所以，

2tan?tan?cos??tan2??tan??21cos?2?1cos?2?2cos?cos?cos?

=

故得到

2(cos??cos?cos?)cos?cos?， ??15分

cos??cos??cos?cos?sin?sin?. ??20分

14. 能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；

（Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.

解（Ⅰ）不能. ??5分 因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是

2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×31?1?2?1?2?1=219·38不是立方数，故不能. （Ⅱ）可以. 36 2 24 ??15分 如右表

8 6 12 72 18 4 表中每行、每列及对角线的积都是26·23. ??20分

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