2013届高考数学一轮复习讲义__6.2_等差数列及其前n项和

一轮复习讲义

等差数列及其前n项和

要点梳理

忆一忆知识要点

1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的

差都等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公 式是 an=a1+(n-1)d . 3.等差中项a+b 如果 A= 2 ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.

d 表示.

要点梳理

忆一忆知识要点

4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+ (n-m)d ,(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且 k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*), 则 ak+al=am+an . (3)若{an}是等差数列，公差为 d,则{a2n}也是等差数列，公 差为 2d . (4)若{an},{bn}是等差数列，则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列，公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m, (k, m∈N*)是公差为 md 的等差数列.

要点梳理

忆一忆知识要点

5.等差数列的前 n 项和公式n a1+an 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 2

n n-1 Sn= na1+ 2 d .

6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d d 2 Sn= n + a1-2 n. 2 数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn,(A、B 为常数). 7.等差数列的最值 在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则 Sn 存在最 大 值；若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最 小 值.

要点梳理[难点正本 疑点清源] 1.等差数列的判定

忆一忆知识要点

(1)定义法：an-an-1=d (n≥2); (2)等差中项法：2an+1=an+an+2. 2.等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)am,am+k,am+2k,am+3k, 仍是等差数列，公差为 kd. (2)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, 也是等差数列. (3)S2n-1=(2n-1)an. n (4)若 n 为偶数，则 S 偶-S 奇= d. 2 若 n 为奇数，则 S 奇-S 偶=a 中(中间项).

等差数列的判定或证明3 1 例 1 已知数列{an}中，a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数 5 an-1 1 列{bn}满足 bn= (n∈N*). an-1 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.(1)可利用定义证明 bn-bn-1 (n≥2)为常数来证明数列{bn}是等 差数列. (2)通过{bn}是等差数列，求得{an}的通项，然后从函数的观点 解决数列的最大项和最小项的问题.

1 (1)证明 ∵an=2- (n≥2,n∈N ),bn= . an-1 an-1 1 1 ∴n≥2 时，bn-bn-1= - an-1 an-1-1 1 1 = - 1 an-1-1 2 - a -1*

1

n-1

an-1 1 = - =1. an-1-1 an-1-11 5 又 b1= =- . 2 a1-1

5 ∴数列{bn}是以- 为首项，1 为公差的等差数列. 2

7 1 2 (2)解 由(1)知，bn=n- ,则 an=1+b =1+ , 2 2n-7 n 2 设函数 f(x)

=1+ , 2x-7 7 7 易知 f(x)在区间 -∞,2 和 2,+∞ 内为减函数. ∴当 n=3 时，an 取得最小值-1;当 n=4 时，an 取得最大值 3.

探究提高证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法： an+1-an=d;(2)等差中项法：2an+1=an+an+2.

变式训练 1Sn-1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn= (n≥2),a1 2Sn-1+1 =2. 1 (1)求证： S 是等差数列； n

(2)求 an 的表达式.

Sn-1 (1)证明 方法一 由 Sn= , 2Sn-1+1 1 2Sn-1+1 1 得S = = +2, Sn-1 Sn-1 n 1 1 ∴S - =2, Sn-1 n2 为公差的等差数列.

1 1 1 ∴ S 是以 即 为首项，以 S1 2 n

方法二

2Sn-1+1 1 1 1 ∵当 n≥2 时，S - = - Sn-1 Sn-1 Sn-1 n

2Sn-1 = =2, Sn-1 1 1 1 ∴ S 是以 即 为首项，以 2 为公差的等差数列. S1 2 n 1 1 3 (2)解 由(1)知S = +(n-1)×2=2n- , 2 2 n 1 ∴Sn= , 3 2n - 2 1 1 ∴当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1= - 3 7 2n- 2n- 2 2 -2 = ; 3 7 2n- 2n- 2 2

当 n=1 时，a1=2 不适合 an, 2 -2 故 an= 3 7 2n- 2n- 2 2 n=1 n ≥ 2 .

等差数列的基本量的计算例 2 设 a1,d 为实数，首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的 前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.

(1)由 S5S6+15=0 与 S5=5 可构建关于 a1,d 的方程组. (2)由 S5S6+15=0 可化为关于 a1 的一元二次方程，因为{an} 存在，所以关于 a1 的一元二次方程有解.

-15 解 (1)由题意知 S6= =-3,a6=S6-S5=-8. S5 5a1+10d=5, 所以 a1+5d=-8. 解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7. (2)方法一 ∵S5S6+15=0, ∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,2 即 2a1 +9da1+10d2+1=0.

因为关于 a1 的一元二次方程有解，所以 Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0, 解得 d≤-2 2或 d≥2 2.

方法二

∵S5S6+15=0,

∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,2 即 2a1 +9da1+10d2+1=0.

故(4a1+9d)2=d2-8.所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2.

探究提高(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1,an, d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解 决问题. (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用， 而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量， 用它们表示已知和未知是常 用方法.

变式训练 2(2011· 福建)已知等差数列{an}中，a1=1,a3=-3. (1) 求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35

,求 k 的值.解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d.

由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n, n[1+ 3-2n ] 所以 Sn= =2n-n2. 2 由 Sk=-35,可得 2k-k2=-35,即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5.又 k∈N*,故 k=7.

等差数列的前n项和及综 合应用例3 (1)在等差数列{an}中，已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最 大值； (2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和.(1)由 a1=20 及 S10=S15 可求得 d,进而求得通项，由通项得到此 数列前多少项为正，或利用 Sn 是关于 n 的二次函数，利用二次函 数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第 几项开始变号.

解

方法一 ∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 5 ∴10×20+ d=15×20+ d,∴d=- . 2 2 3 5 5 65 ∴an=20+(n-1)× -3 =- n+ . 3 3 ∴a13=0,即当 n≤12 时，an>0,n≥14 时，an<0,∴当 n=12 或 13 时， Sn 取得最大值， 且最大值为 S13=S12=12×20 12×11 5 + × -3 =130. 2 5 方法二 同方法一求得 d=- . 3 n n-1 5 25 2 3 125 5 2 125 5 - =- n + n- + ∴Sn=20n+ · n =- . 2 2 6 6 6 24 3 ∵n∈N*,∴当 n=12 或 13 时，Sn 有最大值，且最大值为 S12=S13=130.

方法三

5 同方法一得d=- . 3

又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即a13=0. ∴当n=12或13时，Sn有最大值. 且最大值为S12=S13=130.(2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25, ∴an+1-an=4=d,又a1=4×1-25=-21. 所以数列{an}是以-21为首项，以4为公差的递增的等差数列. ① an=4n-25<0, 令 ② an+1=4 n+1 -25≥0,1 1 由①得n<6 ;由②得n≥5 ,所以n=6. 4 4

即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为-4的等差数列，从 第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a7|=a7=4×7-24=3.设{|an|}的前n项和为Tn,则 21n+n n-1 × -4 n≤6 2 Tn= n-6 n-7 66+3 n-6 + ×4 n≥7 2 2 -2n +23n n≤6 , = 2 2n -23n+132 n≥7 .

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