2015青岛高三统一质量检测试题理科（含答案）

青岛市高三统一质量检测

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i为虚数单位，复数A．?1?i

2i等于 1?i

C．1?i

D．1?i

B．?1?i

2．设全集I?R，集合A?{y|y?log2x,x?2},B?{x|y?x?1}，则 A．A?B B．AB?A C．AB?? D．A(e IB)??

7 9 8 4 4 4 6 7 9 3 第3题图 3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所 剩数据的平均数和方差分别为

A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4 4．“?n?N*,2an?1?an?an?2”是“数列{an}为等差数列”的 A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

高三数学（理科）试题 第1页（共11页）

5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则 正视图中的x的值是

x211正视图 侧视图

93A．2 B． C． D．3

22x2y26．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线平行于直线

abl:x?2y?5?0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线方程为

俯视图 第5题图

x2y2x2y23x23y23x23y2??1 B．??1 C．??1 D．??1 A．

20552025100100257．设m,n是不同的直线，?,?是不同的平面，下列命题中正确的是

A．若m//?,n??,m?n，则??? B．若m//?,n??,m?n，则?//? C．若m//?,n??,m//n，则??? D．若m//?,n??,m//n，则?//? 8．函数y?4cosx?e(e为自然对数的底数)的图象可能是

A B C D 9．对于函数y?sin(2x?)，下列说法正确的是

O O xy y y y x O x x O x ?6A．函数图象关于点(,0)对称

?3

B．函数图象关于直线x?C．将它的图象向左平移

5?对称 6 个单位，得到y?sin2x的图象

?6D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的

1?倍，得到y?sin(x?)的图象 26高三数学（理科）试题 第2页（共11页）

10．已知点G是?ABC的外心，GA,GB,GC是三个单位向量，且2GA?AB?AC?0，如图所示，?ABC的顶点B,C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则OA的最大值为 A．2 B．3 C．2 D．3

y C A

第10题图

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知函数f(x)?tanx?sinx?2015，若f(m)?2， 则f(?m)? ; 12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;

开始 O B x

i?12,s?1 i?11? 是 否 输出s 结束 s?s ? i i?i?1 1213．设a??1(3x2?2x)dx，则二项式(ax2?)6展开

x式中的第6项的系数为 ;

第12题图 ?2x?y?1?

14．若目标函数z?kx?2y在约束条件?x?y?2下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则

?y?x?2?

实数k的取值范围是 ;

15．若X是一个集合，?是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于?，空集?属于?；②?中任意多个元素的并集属于?；③?中任意多个元素的交集属于?. 则称?是集合X上的一个拓扑．已知集合X?{a,b,c}，对于下面给出的四个集合?: ① ??{?,{a},{c},{a,b,c}}; ② ??{?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③ ??{?,{a},{a,b},{a,c}}; ④ ??{?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.

其中是集合X上的一个拓扑的集合?的所有序号是 .

高三数学（理科）试题 第3页（共11页）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）

设?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b?3.

a?ba?c，?sin(A?B)sinA?sinB（Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若sin A?

（本小题满分12分） 17．

某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：

学院 人数 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 3，求?ABC的面积. 34 6 4 6 （Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；

（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为?，求随机变量

?的概率分布列和数学期望.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧棱AA1?底面 ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，?BAD?90?， BC?1，E1为 AD?AA1?3， A1B1中点.

E1 B1 A1 C1

D1

（Ⅰ）证明：B1D//平面AD1E1；

（Ⅱ）若AC?BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值.

高三数学（理科）试题 第4页（共11页）

A B C

D

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10?19，S10?100；数列{bn}对任意n?N?，总有b1?b2?b3bn?1?bn?an?2成立.

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）记cn?(?1)n

20．（本小题满分13分）

4n?bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

(2n?1)2x2已知椭圆C:?y2?1与直线l:y?kx?m相交于E、F两不同点，且直线l与圆

2O:x2?y2?2相切于点W(O为坐标原点). 3（Ⅰ）证明：OE?OF； （Ⅱ）设??

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?EWFW，求实数?的取值范围.

12x?kx?1，g(x)?(x?1)ln(x?1)，h(x)?f(x)?g?(x). 2（Ⅰ）若函数g(x)的图象在原点处的切线l与函数f(x)的图象相切，求实数k的值； （Ⅱ）若h(x)在[0,2]上单调递减，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）若对于?t?[0,e?1]，总存在x1,x2?(?1,4)，且x1?x2满f(xi)?g(t)(i?1,2)，其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围.

高三数学（理科）试题 第5页（共11页）

理科答案

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D A B C D A C A B C

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 4028 12. 132 13.?24 14．(?4,2) 15．②④

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

a?ba?ca?ba?c解：（Ⅰ） ? …………………………2分 ??sin(A?B)sinA?sinBca?ba2?c2?b2ac1?? ………………………………5分 ?a?b?ac?c?cosB?2ac2ac2

?B?(0,?)，?B? ………………………………………………………6分

3ab3?（Ⅱ）由b?3，sin A?，，得a?2 ……………………………7分 sinAsinB36由a?b得A?B，从而cos A?， …………………………………………9分

33?32故sin C?sin(A?B)?sin Acos B?cos Asin B? …………………10分

6222高三数学（理科）试题 第6页（共11页）

所以?ABC的面积为S?13?32. ……………………………12分 absin C?22

17．（本小题满分12分）

3解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为C20，选出3人中任意两个均不属于同一学111111111111院的方法数为C4 ……………………4分 ?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C6111111111111C4?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C68所以P? …………………6分 ?3C2019（Ⅱ）?可能的取值为0,1,2,3

321C16C16C5?7?16288?15?48P(??0)?3??,P(??1)?34??,

C203?20?1957C203?20?1919123C16C4C416?6841…………10分 P(??2)?3??,P(??3)?3??C203?20?1995C203?20?19285所以?的分布列为

? P 0 1 2 3 28 57所以E(?)?8 198 951 285

2888157?0??1??2??3?……………………………………12分 5719952859518．（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G， 因为ABCD?A1B1C1D1为四棱柱， 所以四边形ADD1A1为平行四边形， 所以G为A1D的中点，

又E1为 A1B1中点，所以E1G为?A1B1D的中位线， 从而B1D//E1G ……………………………………4分 又因为B1D?平面AD1E1，E1G?平面AD1E1，

所以B1D//平面AD1E1． …………………………5分 B B1 E1 zA1 C1 G D1 x

（Ⅱ）因为AA1?底面ABCD，AB?面ABCD，AD?面ABCD，

A H C D y0所以AA1?AB,AA1?AD,又?BAD?90，所以AB,AD,AA1两两垂直. ……………6分

如图，以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设AB?t，则A?0,0C?t,1,0?，D?0,3,0?，C1?t,1,3?，D1?0,3,3?. ?，B?t,0,0?，

高三数学（理科）试题 第7页（共11页）

从而AC?(t,1,0)，BD?(?t,3,0).

2因为AC?BD，所以AC?BD??t?3?0?0，解得t?3. ……………………8分

所以AD1?(0,3,3)，AC?(3,1,0).

??3x1?y1?0?AC?n1?0,?设n1?(x1,y1,z1)是平面ACD1的一个法向量，则?即?

??3y1?3z1?0?AD1?n1?0.?令x1?1，则n1?(1,?3,3). …………………………………………………………9分

又CC1?(0,0,3)，CD?(?3,2,0).

?z2?0??CC1?n2?0,?设n2?(x2,y2,z2)是平面CDD1C1的一个法向量，则?即?

?3x?2y?0??22?CD?n2?0.?3令x2?1，则n2?(1,,0). ………………………………………………………10分

23|1?1??(?3)?3?0|n1?n212?? ?cos?n1,n2??73n1?n21?3?3?1??041?平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值. ……………………………12分

719．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，

10?9?d?100 2解得a1?1,d?2，所以an?2n?1 ………………………………………………………3分

则a10?a1?9d?19,S10?10a1?所以b1?b2?b3bn?1?bn?2n?1 …… ① 当n?1时,b1?3

当n?2时,b1?b2?b3bn?1?2n?1……②

①②两式相除得bn?2n?1(n?2) 2n?1因为当n?1所以bn?时,b1?3适合上式，（Ⅱ）由已知cn?(?1)得cn?(?1)nn2n?1(n?N?)………………………………6分 2n?14n?bn， 2(2n?1)4n11?(?1)n(?)

(2n?1)(2n?1)2n?12n?1则Tn?c1?c2?c3??cn

高三数学（理科）试题 第8页（共11页）

当n为偶数时，

11111??(1?)?(?)?(?)?33557?(?1)n(11?) ………………………7分 2n?12n?1当n为奇数时，

1111111Tn??(1?)?(?)?(?)??(?1)n(?)

335572n?12n?11111111?(?1?)?(?)?(??)??(?)

335572n?12n?112n??1??? ………………………………………………………………9分

2n?12n?11111111Tn??(1?)?(?)?(?)??(?1)n(?)

335572n?12n?11111111?(?1?)?(?)?(??)??(??)

335572n?12n?112n?2??1??? ……………………………………………………………11分

2n?12n?1?2n?,n为偶数??2n?1综上：Tn??… ………………………………………………………12分

2n?2??,n为奇数??2n?120．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为直线l与圆O相切 所以圆x?y?22m22222的圆心到直线l的距离d?，从而m?(1?k)…2分 ?3331?k2?x2??y2?1222由?2 可得：(1?2k)x?4kmx?2m?2?0 ?y?kx?m?设E(x1,y1)，F(x2,y2)

4km2m2?2则x1?x2??，x1x2? …………………………………………………4分

1?2k21?2k2所以OE?OF?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)

2m2?2?4k2m22?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m?(1?k)??m1?2k21?2k2 22223m?2k?22(1?k)?2k?2???0221?2k1?2k所以OE?OF ………………………………………………………………………………6分

222高三数学（理科）试题 第9页（共11页）

x12x222?y1?1,?y22?1, （Ⅱ）直线l与圆O相切于W，22EW????FWOE?r2OF?r222?2x?y?3?222x2?y2?32121x121?23 ………………………………8分 2x21?23由（Ⅰ）知x1x2?y1y2?0，

22 ?y12y2?x1x2??y1y2，即x12x22x12x24?2x122从而xx?(1?)(1?)，即x2?

222?3x122212x121?2?3x1223 ……………………………………………………………12分 ????24x21?231因为?2?x1?2，所以??[,2] ………………………………………………13分

221．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）

原函数定义域为(?1,??)，g?(x)?ln(x?1)?1，则

g(0)?0，g?(0)?1，?l:y?x ………………………………………………………2分

12??y?x?kx?1?x2?2(k?1)x?2?0 由?2?y?x?l与函数f(x)的图象相切，

???4(k?1)2?8?0?k?1?2………………………………………………………4分

121（Ⅱ）由题h(x)?x?kx?1?ln(x?1)?1,h?(x)?x?k?

2x?11令?(x)?x?k?,

x?11x(x?2)??(x)?1???0对x?[0,2]恒成立， 因为22(x?1)(x?1)1 所以?(x)?x?k?，即h?(x)在[0,2]上为增函数 ………………………………6分

x?17 ?h?(x)max?h?(2)?k?

3h(x)在[0,2]上单调递减

高三数学（理科）试题 第10页（共11页）

?h?(x)?0对x?[0,2]恒成立，即h?(x)max?k??k??7?0 37 …………………………………………………………………………………8分 3（Ⅲ）当x?[0,e?1]时，g?(x)?ln(x?1)?1?0 ?g(x)?(x?1)ln(x?1)在区间[0,e?1]上为增函数，

?x?[0,e?1]时，

10?g(x)?e …………………………………………………………………………10分

21f(x)?x2?kx?1的对称轴为：x??k，?为满足题意，必须?1??k?4……11分

212此时f(x)min?f(?k)?1?k，f(x)的值恒小于f(?1)和f(4)中最大的一个

2对于?t?[0,e?1]，总存在x1,x2?(?1,4)，且x1?x2满足f(xi)?g(t)(i?1,2)，1?[0,e]?(f(x)min,min{f(?1),f(4)})

2??4?k?1??1??k?4?12?f(x)?0?1?k?0min?2??1??? …………………………………………………13分 e?f(4)??1e?4k?9?2?2?1?e?f(?1)??1e?3?k?2??2219?e??k??2……………………………………………………………………14分 84

高三数学（理科）试题 第11页（共11页）

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