一阶倒立摆项目报告

一阶倒立摆

项 目 报 告

级自动化卓越班小组成员：李迎迎 张婧娴 姚红娟

李艳艳徐 山

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目录

一、系统概述………………………………………………………1 1.1系统介绍……………………………………………………………1

1.2项目内容……………………………………………………………1 1.3系统分析步骤………………………………………………………1

二、数学建模

2.1受力分析……………………………………………………………2 2.2方框图………………………………………………………………2 三、根轨迹分析

3.1 设计控制器…………………………………………………………7 3.2根轨迹图……………………………………………………………10 四、频域分析

4.1校正后传递函数……………………………………………………11 4.2校正前后波特图……………………………………………………12

五、PID控制

5.1系统加入PID………………………………………………………13 5.2自动调节PID参数…………………………………………………13 5.3加入PID后的阶跃响应……………………………………………13 5.4加入PID后的脉冲响应……………………………………………13

六、结论和分析

一、系统概述

1.1系统介绍：

如下图1所示为一由小车、摆杆、电机、皮带构成的直线一级倒立摆系统，在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，直线一级倒立摆系统可抽象成小车和匀质杆组成的系统。 1.2项目内容：

图2是系统中小车和摆杆的受力分析图，请以向右的加速度为输入，摆杆角度为输出，建立此系统的数学模型。试分析系统的稳定性、利用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统的要求如下：ts?0.5s,σ%<10% ,求此时各动态性能指标，单位脉冲信号下的稳态误差；利用频率特性设计控制器G c (s) ，使得系统的静态位置误差常数为

10，相位裕量为50o，增益裕量等于或大于10 分贝。

图1 图2 实际系统的模型参数如下：

M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.109Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m/sec

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m I 摆杆惯量 0.0034Kg*m*m 1.3系统分析步骤：

1、数学建模（确定传递函数）

2、时域分析（由于倒立摆是不稳定系统，通过MATLAB分析稳定性无 意义）

3、根轨迹（观察根轨迹图像，加入零极点让系统趋于稳定） 4 、频域分析

二、数学建模 2.1系统受力分析：

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统 抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示。

我们做了以下假设：

M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力

x 小车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 系统中小车和摆杆的受力分析图如下：

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。【注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。】 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

①

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

②

即：

③

把这个等式代入①式中，就得到系统的第一个运动方程

④

为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

⑤

⑥

力矩平衡方程如下：

⑦

注意：此方程中力矩的方向，由于θ= π+φ,cos?= -cosθ,sinφ= -sinθ，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：

⑧

设θ=π+φ （φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与 1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理 cos???1?sin?????(d?2)?0 dt ⑨

对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到

⑩

注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

⑾ ⑿

⒀

把上式代入方程组的第二个方程，得到：

⒁

系统的传递函数： G(s)?C(s)?R(s)ml(I?ml2)s2?mgl

代入实际数据，得到以加速度为输入，摆杆角度为输出的开环传递函数：

G(s)?C(s)0.02725?R(s)0.0102125s2?0.267052.2系统结构方框图： 计算机 运动控制卡 伺服驱动器 伺服电机 倒立摆 光电码盘2 光电码盘1 三.根轨迹分析

3.1 设计控制器：

设计控制器使得校正后系统的要求如下： 调整时间ts=0.5s(2%)最大超调量Mp?10%。根轨迹设计编写程序如下： >> num=[0.02725];den=[0.0102125 0 -0.26705]; G=tf(num,den)

[z,p,K]=tf2zp(num,den)

sys=zpk(z,p,K) %原系统零极点表达式

subplot(3,2,1),rlocus(sys); %绘制原系统根轨迹 t=0:0.005:10;

subplot(3,2,2),step(sys,t) %绘制原系统阶跃相应曲线 OverStep=0.1; %设置超调量 AdjustTime=0.5; %设置调整时间

zeta1=abs(sqrt((log(OverStep)^2)/(pi^2+(log(OverStep)^2)))) %计算满足设计要求的阻尼比 sita1=acos(zeta1)

wn=4/(zeta1*AdjustTime) %计算满足要求的自然振荡角频率 P=[wn*(-cos(sita1)+i*sin(sita1)),wn*(-cos(sita1)-i*sin(sita1))] %期望闭环主导极点用复数表示

zeroc=real(P(1))-imag(P(1))*tan(gama+sita1-pi/2) %校正环节零点

polec=real(P(1))-imag(P(1))*tan(gama+sita1-pi/2+fai) %校正环节极点

zg=[z;zeroc] %校正环节零极点加入原系统中 pg=[p;polec]

sys2=zpk(zg,pg,Kc*K) %校正后系统开环传递函数

subplot(3,2,3),rlocus(sys2); %绘制加入校正环节后系统根轨迹 T=feedback(sys2,1); %校正后系统闭环传递函数

subplot(3,2,4);step(T,t) %校正后系统阶跃相应 Transfer function: 0.02725

-------------------- 0.01021 s^2 - 0.2671 Empty matrix: 0-by-1 p =5.1136 -5.1136 K = 2.6683 Zero/pole/gain: 2.6683 ------------------- (s-5.114) (s+5.114) zeta1 =0.5912 sita1 =0.9383 wn =13.5328

P =-8.0000 +10.9150i -8.0000 -10.9150i zeroc =-6.9222 polec =-26.4567 zg =-6.9222

pg =5.1136 -5.1136 -26.4567 Zero/pole/gain: 141.1365 (s+6.922)

------------------

(s+26.46) Zero/pole/gain: 376.5944 (s+6.922) ----------------------------- (s-5.114) (s+5.114) (s+26.46) 3.2根轨迹图

原系统开环传递函数根轨迹图

原系统阶跃相应曲线

加入校正环节后系统根轨迹

校正后系统阶跃相应曲线

四. 频域分析

4.1校正后传递函数

利用频率特性设计控制器G c (s) ，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50o，增益裕量等于或大于10分贝.

0.02725 20.0102125S?0.267051?TS?1超前校正的一般形式：G(S)?

?TS?1 G0(S)?根据误差要求得校正前系统传递函数为

G(S)?10 20.0102125S?0.26705令?m?50o+5o=55o 得??1?sin?m?10.1

1?sin?m由10lg??20lg|G(ωm)|得 ωm=55.08

??1?m??0.0057

0.057S?1

0.0057S?1校正装置传递函数为 10.1Gc(S)?校正后系统的传递函数为

G(S)?10(0.057S?1) 2(0.0057S?1)(0.0102125S?0.26705)4.2校正前后波特图

校正前系统的波特图

校正后系统的波特图

五.PID控制

5.1系统加入PID：

5.2自动调节PID参数

5.3加入PID后的阶跃响应

5.4加入PID后的脉冲响应

6.结论和分析

经过用根轨迹分析法，频率响应分析和PID分析法，都可以 设计出满足所需要条件的校正装置。不过其中每种方法都有各自的特色。通过对matlab的使用和学习，更能明白自动控制的作用和意义。为以后从事自动控制方面的工作和学习，打下了更加牢固的基础，本次项目设计是不可多的机会。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2u55.html