第六章结构力学(李廉锟第五版)

结构力学第六章 结构位移计算§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 §6-7 §6-8 概 述 变形体系的虚功原理 位移计算的一般公式 单位荷载法

静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法 静定结构温度变化时的位移计算 静定结构支座移动时的位移计算 线弹性结构的互等定理退出 返回

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§6-1 概述

结构力学

一、结构的位移 (Displacement of Structures)

1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移(线位移和角位移)。思考：变形与位移的差别？ 变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。 两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一 定有形变。

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§6-1 概述2. 位移的分类A

结构力学

P

A

Ay 位移 A Ax

线位移转角位移

A A点线位移 Ax A点水平位移 Ay A点竖向位移 A截面转角退出 返回

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§6-1 概述C'CV CDV DV

结构力学C D

D'

截面C、D 的相对竖向 线位移为 :

A

B

CDV CV DV截面C、D 的相对角位移为:

C' D'C

D

C

D

Δ CD C DA B

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§6-1 概述3.位移产生的原因A

结构力学

引起结构位移的原因 Ay

P

A

A Ax

荷载

温度改变支座移动 制造误差 等 还有什么原 因会使结构产 生位移?

t

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§6-1 概述二、计算位移的目的

结构力学

(1) 刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600 跨度；

高层建筑的最大位移<1/1000 高度。 最大层间位移<1/800 层高。铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向静活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度<1/700 和1/900跨度

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§6-1 概述

结构力学

(2) 超静定结构、动力和稳定计算的基础超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须 考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。

(3)施工要求在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置， 以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。

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§6-1 概述三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), (3)理想联结 (Ideal Constraint)。

结构力学

叠加原理适用(principle of superposition)

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§6-1 概述四、 计算方法

结构力学

1.几何法研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程 式的办法求出某截面的位移(材料力学用过，但对 复杂的杆系不适用)。 2. 功能法

〈

虚功原理 应变能(卡氏定理)

本

章只讨论应用虚功原理求解结构位移。

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§6-2 变形体系的虚功原理 一、基本概念1.外力的实功

结构力学

实功： 力在其本身引起的位移上所作的功。 位移Δ是由外力F引起的，F 做的功可表示为:

W F ' dΔ'0

F Fl

A

F' O F'd '

B

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§6-2 变形体系的虚功原理设线弹性材料的弹性系数为k,则F F

结构力学

A

F kΔ'

'

l

F' O F'd '

所以W

B

0

1 2 1 F2 kΔ'dΔ' kΔ FΔ 2 2 2k

实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。 实功是外力的非线形函数，计算外力实功不能应 用叠加原理。

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§6-2 变形体系的虚功原理2.外力的虚功

结构力学

虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功， 即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。F F Al

tδW FΔtF

t

B Ot

虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。 虚功中的力与位移两者相互独立，计算外 力虚功可应用叠加原理。

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§6-2 变形体系的虚功原理F1

结构力学

例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实功为

1 W F1 Δ11 2

1 11F1

2

21F2

1 11

21

2

12

22

力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功为虚功为

δW F1 Δ12

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§6-2 变形体系的虚功原理3.广义位移和广义力

结构力学

广义位移 ——结构产生的各种位移，包括截面的 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一 组位移等等都可泛称为广义位移。 广义力 ——与广义位移对应的就是广义力， 可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方 向相反的力或力偶，也可以是一组力系。 注意：广义位移与广义力的对应关系，能够 在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组 广义位移对应的广义力。

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§6-2 变形体系的虚功原理4.内力功

结构力学

定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力 在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。γ

FNds d s+d λ

FNS

dη

d θM M

FSds

该微段上相应的变形为 轴向变形 弯曲变形d ds 1 d k ds退出

ds

剪力变形

d ds

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§6-2 变形体系的虚功原理内力实功

结构力学

如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内 力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功 之和： dw 1 F d 1 F dn 1 Md 因为 所以2 d dsN

2 d ds

S

2 1 d kds ds

1 1 1 dw FN ds FS ds Mκds 2 2 2

由胡克定律有：

FN FS , EA GA

,

故

2 1 FN 1 FS2 1 M2 dw ds d

s ds 2 EA 2 GA 2 EI

M EI

1

实功数值上就等于微段的应变能。

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§6-2 变形体系的虚功原理内力虚功

结构力学

若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功 是虚功，其为

dwi FN d FSd Md 对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：

Wi FN d FSd Md s s s

d , d 和 d 的具体表达式要视引起这个变形的具体原因而定。

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§6-2 变形体系的虚功原理 回顾(1)质点系的虚功原理具有理想约束的质点系，在某一位 置处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移，作用于 质点系的主动力所做虚功之和为零。 也即

结构力学

FP1

FN1

→. → Σfi δri=0 中南大学

FP 2

m1 m2FN 2

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§6-2 变形体系的虚功原理(2)刚体系的虚功原理

结构力学

去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移， 作用于刚体系的所有外力所做 虚功之和为零。

ΔP

FPΔB

-FP ΔP +FB ΔB=0

FAx

FAy

FB

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§6-2 变形体系的虚功原理 二、虚功原理1. 变形体的虚功原理

结构力学

设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由 于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力 系在位移上做的虚功的总和δWe,等于变形体的内力在变形 上做的虚功的总和δ Wi,即，

δWe δWi需注意：

——这就是虚功方程。 (证明略)

⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；

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§6-2 变形体系的虚功原理

结构力学

⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移； ⑶ 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平 衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微 小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移 状态的位移上做功之和(外力虚功)等于力状态的内力在位 移状态的变形上做功之和(内力虚功)。 ⑷ 对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚 设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功， 列出虚功方程，可以求解不同的问题。

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