09届高考理科数学第二次模拟考试题

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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 09届高考理科数学第二次模拟考试题

数学（理工类）试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：

如果事件A,B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A,B相互独立，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

kkPn?k??CnP?1?P?n?k

2球的表面积公式S?4?R，其中R表示球的半径 球的体积公式V?一、选择题

4?R3，其中R表示球的半径 31.cos(?)?( ) 4662622626????A． B． C． D．? 444444442?2i2)的值为( ) 2.计算(1?3iA．1?3i B．2?23i C．1?3i D． ?3?i

13.“a?1”是“?1”成立的 （ ）

aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 4.函数f(x)?(x?1)?1(x?1)的反函数为（ ） A．f?1??2(x)?1?x?1(x?1)

?1 B．f(x)?1?x?1(x≥1)

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?1C．f(x)?1?x?1(x≥1)

D．f?1(x)?1?x?1(x?1)

5.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）

A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 6.已知|p|?22,|q|?3,p与q的夹角为?4,则以a?5p?2q,b?p?3q 为邻边的平行四

边形的较短的对角线长为 （ ）

A．15 B．14 C．15 D．16

7.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1，2，3，4，5，6)。现定义数列

??1,点数不是3的倍数, 设Sn是其前n项和，那么S5?3的概率是( ) an???1,点数是3的倍数,A．

80102040 B． C． D． 2432432432438.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn?2,S3n?14，则S4n等于（ ） A．16

B．26

C．30

D．80

9.已知球O的半径为2cm，A、B、C为球面上三点，A与B，B与C的球面距离都是?cm，A与C的球面距离为 A．

D．

cm，那么三棱锥O—ABC的体积为（ ） B．

C

．

10.已知函数f(x)的导数f?(x)?a(x?1)(x?a),若f(x)在x?a处取到极大值，则a的取值范围是（）A．(??,?1) D．(0,??)

11.在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在线段AB上，则这个椭圆的离心率为（ ）

A．3? B．(?1,0)

C．(0,1)

6 B．2?1 2C．

6?3 D．6?3 2,fn?1(x)?f[fn(x)]12.对于函数f(x)?*x?1,设f2(x)?f[f(x)],f3(x)?f[f2(x)],x?1（n?N且n?2），令集合M?xf2009(x)?x,x?R，则集合M为（ ） A．空集 B.实数集 C.单元素集 D.二元素集

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第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.

2．请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 3．本卷共10小题，共90分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

x??e，（x＜0）13. 设函数f(x)??为R上的连续函数，则a= 。 2??a?x，（x?0）?x?y?3?0?14. 已知?x?2y?3?0，z?7x?3y，则z取得最大值时的最优解为 。

?2x?y?3?0?6215.若(1?mx)?a0?a1x?a2x??a6x6且a1?a2??a6?63,则实数m的值为

16. 给出下列命题：

①若{an}成等比数列,Sn是前n项和,则S4,S8?S4,S12?S8成等比数列；

②已知函数y?2sin(?x??)为偶函数(0????),其图象与直线y?2的交点的横坐标为x1,x2.若|x1?x2|的最小值为?,则?的值为2,?的值为；

?2③函数y?f(x)的图象与直线x?a至多有一个交点； ④函数y?2sin(2x??)的图象的一个对称点是(,0). 612?其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1? （1）求角A；

tanA2c． ?tanBb（2）若m?(0,?1)，n?cosB,2cos2C，试求|m?n|的最小值．

2 18．（本题满分12分）

?? 盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用?表示取出的3张卡片上的最大数字，求： （1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量?的概率分布和数学期望；

19．（本题满分12分）

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1. 将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上.

（Ⅰ）求证：平面ADC⊥平面BCD； （Ⅱ）求点C到平面ABD的距离；

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（Ⅲ）若E为BD中点，求二面角B-AC-E的大小.

D C

ADCEBA

20．（本题满分12分）

B

已知数列?an?的前n项之和为Sn，点(n,Sn)在直线y?2x?1上，数列?bn?满足 nb?1b1?1b2?1?2???nn?an(n?N*)。 333（1）求数列?an?的通项公式；

（2）求数列?bn?的前n项之和Tn； （3）是否存在常数p(p??1)，使数列?值；若不存在，请说明理由。

21．（本题满分12分）

?Tn?n??是等比数列？若存在，求出p的n?3(3?p)?3x与椭圆C在第一象限内的交点是29点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，另一个焦点是F1，且MF1?MF2?。 M，

4（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l过点(?1,0)，且与椭圆C交于P,Q两点，求?F2PQ的内切圆面积的最大值。

已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y? 22．（本题满分12分）

已知函数f(x)?x2?alnx在区间(1,2]上是增函数，g(x)?x?ax在区间(0,1)上为减函

数．

（1）求实数a的值； （2）设函数?(x)?2bx?1是区间(0,1]上的增函数，且对于(0,1]内的任意两个变量x2s,t，f(s)??(t)恒成立，求实数b的取值范围；

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（3）设h(x)?f'(x)?g(x)?2x?

3nnn*，求证：[h(x)]?2?h(x)?2(n?N) x 数学参考答案

一、选择题（12×5=60分） 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C 9 A 10 B 11 D 12 A 二、填空题（4×5=20分） 13.1 14.(3,3) 15.1或-3 16.②③④ 三、解答题：

17．（本题满分10分）

tanA2csinAcosB2sinC（1）1?， ??1??tanBbsinBcosAsinBsinBcosA?sinAcosB2sinC即， ?sinBcosAsinBsin(A?B)2sinC1∴，∴cosA?． ------------------3分 ?sinBcosAsinB2π∵0?A?π，∴A?． ------------------4分

3C（2）m?n ?(cosB,2cos2?1)?(cosB,cosC)， ------------------5分

22π1π?|mn|2?cos2B?cos2C?cos2B?cos2(?B)?1?sin(2B?)． ----7分

326π2π2π∵A?，∴B?C?，∴B?(0,)．

333ππ7π从而??2B??． ------------------8分

666ππ12∴当sin(2B?)＝1，即B?时，|m?n|取得最小值．

6322所以，|m?n|min?． ------------------10分

218. （本题满分12分） 解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，

3111C5C2C2C22 则P(A)??. ------------------4分 33C10 （２）由题意?有可能的取值为：２，３，４，５

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21122112C2C2?C2C2C4C2?C4C212P(??2)?P(??3)??.?. 333015C10C102112112C6C2?C6C2C82C2?C8C238P(??4)?P(??5)??.?. 331015C10C10所以随机变量?的概率分布为：

２ ３ ４ ５ ? 238 151015238131所以?的数学期望为Ｅ?＝2?＋3?＋4?＋5?＝ ----------------12分

151015330Ｐ 1 3019. （本小题满分12分） 方法1： （（Ⅰ）证明：∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线，∴平面ADC⊥平面BCD. -----------------------2分 （Ⅱ）∵DA⊥平面ABC. ∴平面ADB⊥平面ABC.过C做CH⊥AB于H，∴CH⊥平面ADB，

22即点C到平面ABD的距离为. -----------------7分 22（Ⅲ）解：取AB中点F，连EFE为BD中点?EF//AD

所以CH为所求。且CH=

由（Ⅱ）中结论可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC. 过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，

则GF为EG在平面ABC的射影，?EG?AC ∴∠EGF是所求二面角的平面角.

在△ABC中FG?AC,BC?AC?FG//BC

1111BC＝, 又EF//AD，∴EF＝ 2222?在Rt△EFG中容易求出∠EGF=45°.

FG＝

即二面角B-AC-E的大小是45°. . ----------------12分 20. （本小题满分12分） （1）由已知条件得

Sn=2n+1∴Sn=n(2n+1) . ----------------2分 n当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=4n-1∵a1符合上式∴an=4n-1; ---------------4分

b?1b1?1b2?1?2???nn?an 333b?1b?1b2?1?2???n?1?an?1 ∴1n?1333b?1∴nn?an?an?1?4∴bn=4×3n+1∴Tn=6(3n-1)+n; ---------------8分

3Tn?n2(3n?1)(3)设cn?，假设存在常数p(p≠-1)使数列{cn }为等比数列,则?nn3(3?p)3?p2有c2?c1?c3解得p=-81当p=-81时，c4不存在，∴不存在常数(p≠-1)使数列{cn }为等比

（2）∵

数列. ---------------12分 21.（本小题满分12分）

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x2y23（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，点M在直线y?x上，且点M在x轴上的

ab23射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c,0)， 则点M为(c,c)。-----------------------1分

2222?MF1?MF2?2a，而MF1F2为Rt?，则有MF1?MF2?F2F2

则有?MF1?MF2?4c，所以a?2c -----------------------2分 又因为MF1?MF2?(?2c,?所以c?1,a?2,b?339c)?(0,?c)? 2243 -----------------------3分

x2y2??1 -----------------------4分 所以椭圆方程为：43（2）由（1）知F1(?1,0),过点F1(?1,0)的直线与椭圆C交于P,Q两点，则

1?F2PQ的周长为4a?8，则S?F2PQ??4a?r（r为三角形内切圆半径），当?F2PQ的面

2积最大时，其内切圆面积最大。 -----------------------5分 设直线l方程为：x?ky?1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，则

6k??x?ky?1y?y?12??2?3k2?4222?(4?3k)y?6ky?9?0??--------------------7分 ?xy9?1???y?y??312?4?3k2?4?112k2?1所以S?F2PQ??F1F2?y1?y2?-------------------9分

23k2?4112令k2?1?t，则t?1，所以S?F2PQ?，而3t?在[1,??)上单调递增，

1t3t?t12所以S?F2PQ??3，当t?1时取等号，即当k?0时，?F2PQ的面积最大值为3，结

13t?t13合S?F2PQ??4a?r?3，得r的最小值为-----------------12分

24

22.解：(1) ∵f'(x)?2x?a(x?0)，依题意f'(x)?0,x?(1,2]， x2∴a?2x,x?(1,2]，∴a?2 ………………………1分

a(x?0)，依题意g'(x)?0,x?(0,1) 又∵g'(x)?1?2x∴a?2x,x?(0,1)，∴a?2 ………………………2分 ∴a?2 ………………………………………………………………3分

22(x?1)(x?1)?0,x?(0,1) （2）由（1）可知f'(x)?2x??xx∴f(x)在x?(0,1)上为减函数，且f(x)?f(1)?1

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∵?(x)在x?(0,1]上为增函数，∴?'(x)?2b?∴b??2?0,x?(0,1] x3………………………5分

1,x?(0,1]，∴b??1 3x?2b?1?1又∵在x?(0,1]上?(x)??(1)?2b?1，∴依题意有?

b??1?∴?1?b?1 ………………………………………………………………6分

31（3）证明：∵h(x)?f'(x)?g(x)?2x??x?(x?0) ………………7分

xx11nnn①当n?1时，[h(x)]?2?x??2,h(x)?2?x??2，原式成立………8分

xxn1??n1??nn②当n?2时，[h(x)]?h(x)??x????x?n?

x??x???Cx?Cx1n?1n0nn1n?1n?1??n1?2n?2?1?n?1?????Cnx????...?Cn????x?n?

x??x??x??x??2n?12n?1??1?2n?2?1?n?1?Cx????Cnx????...?Cnx???

?x??x??x?1n?22n?43n?6n?11 ……………………9分 ?Cnx?Cnx?Cnx...?Cnxn?21?1n?21111?23n?1??Cn(x?n?2)?Cn(xn?4?n?4)?Cn(xn?6?n?6)?...?Cn(n?2?xn?2)? 2?xxxx?……………10分

nn123n?1n由已知x?0，[h(x)]?h(x)?Cn?Cn?Cn?...?Cn?2?2，∴原不等式成立

∴综上所述，[h(x)]?2?h(x)?2(n?N)

nnn*………………………12分

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