电动力学复习题目及要点归纳

第一章

长安街～麦克斯韦方程

4．一圆柱形无穷长直导线，半径为a，载有稳恒电流I，

I均匀分布在横截面上．试求这导线内外磁场强度H的旋度．

?答案：导线内 ??H? 导线外

?J?a2；

???H?0.

解：由环路定理可得

?Ir?，r?a H?e2?2?a?I??， r?a H?e2?r以导线轴线为z轴取柱坐标系，并使z轴沿电流I方向，则 ??H???在导线内， 在导线外

5．试证明：在均匀介质内部，极化电荷密度?P与自由电荷密度

??1??rH?????z e??r?r???1??rH???I???z ??H??e??r?r?z?a2e?????H?0

?的关系为

?P????0

??1??，其中?是介质的电容率． ?????????证明：因为D??E，电容率?与坐标无关，由D??0E?P，和??D??f，得 ????P????P????D??0E?

???1??0/????D???1??0/???f??一般介质???0，因此?P与?f符号相反。

6．若在介质中挖一球形空腔，腔表面极化电荷密度为?'??Pcos?，证明在球心Ｏ点的电场为

??P E0?.

?0证明：E??'ds?P??S4??0R24??0cos?ds?P?SR2??0，( 立体角界定义中的cos? 为r、

ds 之夹角在球面上的ds，其cos?=1。这里的cos?？；P是常量未说明；中心电场为所有电荷引起电场的合，这里引起极化电荷和另一部分极化电荷未计入，可认为二者太远。本题有些问题)

考虑到方向，则有

??P E0?.

?0??r7．求电荷分布为??r???0e的电势和电场强度．其中?为常数．

?解：电荷球对称分布，所以

?0e??r?0e??r??r???dv??2?dr （该处dv?4?r2dr）

4??0r4??0r??r????0?2?r2???r???e? ?323??0r???????????r? ?r电势球对称分布，由梯度运算 E?????r???得

???0r E?r???0r3答案：??r???2?r22r2???r??3??????2??3??e?. ??????0?2?r2???r???e?， ?2?33??0r??????????0r E?r???0r3

?2?r22r2???r??3??????2??3??e?. ?????9．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为?1和?2．今在两极板间接上电动势为V的电池，求

⑴ 电容器两板上的自由电荷面密度； ⑵ 介质分界面上的自由电荷面密度．

若分界面是漏电的，电导率分别为?1和?2，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？

解 （1）（V→E→D→?0; 理想电阻或电流测量精度不足）求两板上自由电荷面密度?f1和

?f2，在介质绝缘情况下，电容器内不出现电流.

V0?E1l1?E2l2?l1D1?l2D2 (1)

?1?2如图所示，D1?D1n D2?D2n (2) 边值关系为 n?(D1?D2)??, (3) 在两种绝缘介质的分界面上，没有自由电荷分布，?f3?0

??∴ n?(D2?D1)?0 D2?D1 (4)

因为两极板中（导体中）电场为0，故从(3)得两种介质和导体板的分界面上有; 在分界面2处有

n?(D2?D1)???f2得 ?D2??f2 在分界面1处有

?n?(D2?D1)??f （5）

?n?(?D1)?D1??f 由（1）（4）（5）得

?f1?V0l1?1?l2 ?f2??V0l1?2f2?1?l2

?2可见，整个电容器保持?f1????f3?0（电中性）

（2）（J→E→D→?0;实际情况）当介质略为漏电，并达到稳恒时，要保持电流连续性条件成立

n?(J2?J1)?0 即 J1?J2

在两介质界面上有自由电荷积累，此时D1?D2，J3为导体板上电流密度。应有

J1?J2?J3 ∴ ?1E1??2E2?J

∵ 极板的电导率远大于?1和?2，故极板中电场近似为0 ∴ V0?E1l1?E2l2?(l1f1?1?l2f2?2)

?(l1?1?l2?)J

2V0∴

J?l1?1?l2

?2V0?2V0?1E? E2? 1l??l?l2?1?l1?22112根据边值关系最后得出：

?f1?

(????1?2)V0?1?2V0??2?1V0 , ?f2? ,?f3?21

l2?1?l1?2l2?1?l1?2l2?1?l1?2答案： 介质绝缘时，两极板上， ?s1??l1?1?l2???s2,

?2 介质分界面上， ?s?0. 介质漏电时，两极板上， ?s??1?1?,

?2l1??1l2 介质分界面上， ?s??

??2?1?.

?2l1??1l210．试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面．

证明：因为 E1t?E2t，导体内电场为0，所以导体外电场的切向分量为0，电场线总是垂直于导体表面。

???在恒定电流情况下，??J?0，则有Jn?0，又由欧姆定律J??E

故导体中En?0。 第一章注意: 麦氏方程, 边界条件

第二章

３．一很长的直圆筒，半径为R，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为?．在

外力矩的作用下，从t?0时刻开始，以匀角加速度?绕它的几何轴转动，如图所示． z?⑴试求筒内的磁感应强度B；

? ??⑵试求筒内接近内表面处的电场强度E和玻印廷矢量S；

?d??R2l2?⑶试证明：进入这圆筒长为l一段的S的通量为?． B???dt?2?0??? 答案： ⑴B??0?R?；

?1?r?e??； ⑵E??0?Rr?e2?1232?r． S???0?R?re22?Rl?解：⑴单位面电流i???R?

lT???z??0?R? B??0ie ⑵在圆筒的横截面内，以轴线为心，r为半径作一圆，通过这圆面积的磁通量为

??2 ???B?dS??r?0?R?

s由法拉第定律，得 E??因为 所以

E??1d?1d????0?Rr.

2?rdt2dt???t

1?0?rR? 2考虑到方向，则有

?1?r?e?z E??0?rR?e2在筒内接近表面处，

?12?r?e?z E??0?R?e2该处的能流密度为

???12?r?e?z????R?e?z? SR?ER?HR??0?R??e21232?r ???0?R?te2

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