考研数学公式大全打印整理版

高等数学 考研公式大全 z

导数公式：

(tgx)??sec2x(arcsinx)??1(ctgx)???csc2x1?x2(secx)??secx?tgx(arccosx)???1(cscx)???cscx?ctgx1?x2(ax)??axlna(arctgx)??11?x2(logax)??1xlna(arcctgx)???11?x2基本积分表：

?tgxdx??lncosx?C?dx2?tgx?C?ctgxdx?lnsinx?Ccos2x??secxdx?secxdx?lnsecx?tgx?C?dxsin2x??csc2xdx??ctgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?dx?cscx?ctgxdx??cscx?Ca2?x2?1aarctgxa?Cax?dx?axdx?lna?Cx2?a2?12alnx?ax?a?C?shxdx?chx?C?dx1a?xa2?x2?2alna?x?C?chxdx?shx?C?dxa2?x2?arcsinxa?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C??22In?1n??sinxdx??cosnxdx?n00nIn?22?x2?a2dx?x22a2x?a?2ln(x?x2?a2)?C?x2?a2dx?xx2?a2?a2lnx?x22?a22?C?a?xdx?x2222ax2a?x2?2arcsina?C三角函数的有理式积分：

sinx?2u1?u2x2du1?u2，　cosx?1?u2，　u?tg2，　dx?1?u2

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一些初等函数： 两个重要极限：

x?x双曲正弦:shx?e?e2limsinx x?0x?1 ex?e?x双曲余弦:chx?2limx??(1?1x)x?e?2.718281828459045...

shxex?e?x 双曲正切:thx?chx?ex?e?x arshx?ln(x?x2?1） archx??ln(x?x2?1) arthx?11?x 2ln1?x

三角函数公式： ·诱导公式：

函数 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin?sin??sin??2sin???cos(???)?cos?cos??sin?sin?2cos???2tgtg??tg?sin??sin??2cos??????(???)?1?tg??tg?2sin2cos??cos??2cos??????ctg(???)?ctg??ctg??12cos2ctg??ctg?cos??cos??2sin??????2sin2

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·倍角公式：

sin2??2sin?cos?cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?sin3??3sin??4sin3?ctg2ctg2????1cos3??4cos3??3cos?2ctg?tg3??3tg??tg3?tg2??2tg?1?3tg2?1?tg2?

·半角公式：

sin??cos??1?cos?2??12　　　　　　　　　　　　cos2??2tg???1?cos?21?cos??1?cos?sin??1?cos?1?cos?sin?sin??1?cos?　　ctg2??1?cos??sin??1?cos?·正弦定理：absinA?sinB?csinC?2R ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC

·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosx　　　arctgx??2?arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

n(uv)(n)??Ck(n?k)(k)nuvk?0

?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)u(n?2)v?????n(n?1)?(n?k?1)k!u(n?k)v(k)???uv(n)2!中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)柯西中值定理：f(b)?f(a)f?(?)F(b)?F(a)?F?(?)

当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：

弧微分公式：ds?1?y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K????s.??:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。M点的曲率：K??lim??s?0?s?d?ds?y??(1?y?2)3.

直线：K?0;半径为a的圆：K?1a.

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定积分的近似计算：

b矩形法：?f(x)?b?an(y0?y1???yn?1)ab梯形法：?f(x)?b?aan[12(y0?yn)?y1???yn?1]

b抛物线法：?f(x)?b?aa3n[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]定积分应用相关公式：

功：W?F?s水压力：F?p?A引力：F?km1m2r2,k为引力系数

b函数的平均值：y?1b?a?f(x)dxab均方根：1b?a?f2(t)dta空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y221)?(z2?z1)向量在轴上的投影：PrjuAB?AB?cos?,?是AB与u轴的夹角。Prj??a???u(a12)?Prja1?Prjaa??b??a??b?2cos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos??axbx?ayby?azbza2222x?ay?az?bx?b22y?bzijkc??a??b??axaya,c??a??b?sin?.例：线速度：v??w??r?z.bxbybzay向量的混合积：[a?b?axazc?]?(a??b?)?c??bxbb??b??c?yz?acos?,?为锐角时， cxcycz代表平行六面体的体积。

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平面的方程：?平面的方程：1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)?1、点法式：A(x?x)?B(y?y)?C(z?z)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)0?002、一般方程：Ax?0By?Cz?D2、一般方程：Axx?Byy?zCz?D?03、截距世方程：?y?z?1xa?b?c?13、截距世方程：abcAx?By?Cz?D平面外任意一点到该平面的距离：d?Ax0?By0?Cz0?D002A2?0B2?C平面外任意一点到该平面的距离：d?A2?B2?C2?x?x0?mtx?x0y?y0z?z0??x?xmt?0?空间直线的方程：???t,其中s?{m,n,p};参数方程：y?y?nt?0x?xy?yz?z???空间直线的方程：m0?n0?p0?t,其中s?{m,n,p};参数方程：y??zy0??ptnt?z?mnp二次曲面：二次曲面：x21、椭球面：y2z21、椭球面：xa22?y22?z22?1ax22?b22?c?1、抛物面：byc222?2?z（2、抛物面：2xp2yq,p,q同号）3、双曲面：2p?2q?z（,p,q同号）3、双曲面：单叶双曲面：x2y2??z2?1单叶双曲面：xa222?by222?zc222?1双叶双曲面：ax2?by2?cz2双叶双曲面：xa22a2?by22z22?（马鞍面）1b2?cc2?（马鞍面）1

多元函数微分法及应用

全微分：dz??z?xdx??z?ydy　　　du??u?u?u?xdx??ydy??zdz全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：z?f[u(t),v(t)]　　　dz?z?u?z?vdt??u??t??v??t　z?f[u(x,y),v(x,y)]　　　?z?z?u?z?v?x?　?u??x??v??x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?u?v?xdx??ydy　　　dv??xdx??v?ydy　隐函数的求导公式：隐函数F(x,y)?0，　　dydx??FxF，　　d2y?F?Fdydx2?(?x)＋?y(?xF)?y?xFyydx隐函数F(x,y,z)?0，　?z??Fx?zFy?xF，　　??z?yF

z

z?z00?pt- 5 -

??

函数展开成幂级数：

(x)?f(xf??(x(n)函数展开成泰勒级数：f0))2???f(x0)0)(x?x0)?(x?x0(x?xn2!n!0)??f(n?1)余项：R(?)n?(n?1)!(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limn??Rn?0

xx)?f(0)?f?(0)x?f??(0)(n)2f(0)n0?0时即为麦克劳林公式：f(2!x???n!x??一些函数展开成幂级数：

(1?x)m?1?mx?m(m?1)2m(m?1)2!x????(m?n?1)n!xn??　　　(?1?x?1)352n? sinx?x?xxx13!?5!???(?1)n?1(2n?1)!??　　　(???x???)欧拉公式：

?eix?cosx?isinx　　　或?eix?e?ix?cosx??2e ?ix?ix??sinx?e?2三角级数：

?(t)?Asin(n?t??a?f00??Ann)??n?12?(ancosnx?bnsinnx)n?1其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。

傅立叶级数：

(x)?a?f02??(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?n?1??a?1?n(n?0,1,2?)其中?????f(x)cosnxdx　　　????b?n?1???f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)?1?1?1?2111?21?　3252???822?32?42???6（相加）111?222?42?62???241?111?222?32?42???12（相减）正弦级数：a2?n?0，bn???f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??bnsinnx是奇函数0余弦级数：b2?n?0，an???f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)?a002??ancosnx是偶函数

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周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)，周期?2l2n?1lll?1n?xa?f(x)cosdx　　　(n?0,1,2?)?n?ll??l其中?l?b?1f(x)sinn?xdx　　　(n?1,2,3?)?nl?l?l?

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法： dxxydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?- 12 -

当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dy2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx全微分方程：

P(x)dxdx?C)e??P(x)dx

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)

?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)?0时为齐次d2ydy?P(x)?Q(x)y?f(x)， 2dxdxf(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r2

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r(*)式的通解 1，r2的形式 两个不相等实根(p2?4q?0) y?cx1er1?c2x2er 两个相等实根(p2?4q?0) y?(c1?c2x)er1x 一对共轭复根(p2?4q?0) y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i????p4q?p2 2，??2二阶常系数非齐次线性微分方程

y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；

f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

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高等数学 三角函数篇

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

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cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·推导公式

tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 ·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

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三角函数的角度换算 公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝ cosα sin（π/2－α）＝cosα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（π/2＋α）＝－sinα cos（π/2－α）＝sinα cos（3π/2＋α）＝ sinα tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα cot（π/2－α）＝tanα cot（3π/2＋α）＝－tanα (以上k∈Z) - 16 -

sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝ cotα cot（3π/2－α）＝ tanα

部分高等内容 ： ·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，

e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数， 其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

特殊三角函数值： a 0° 30° π/6 45°π/4 60°π/3 Sin a 0 1/2 √2/2 √3/2 Cos a 1 √3/2 √2/2 1/2 Tan a 0 √3/3 1 √3 Cot a N/A √3 1 √3/3

90°π/2 1 0 N/A 0 - 17 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2tha.html